一、选择题
1．下列函数为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A．y= B．y=﹣x2+1
C．y=lg|x| D．y=3x
2．不论m为何实数，直线（m﹣1）x﹣y+2m+1=0恒过定点（ ） A．（1，
） B．（﹣2，0） C．（﹣2，3） D．（2，3）
3．已知直线l过定点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3），B（﹣4，5）为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A．[﹣1，5] ∪（5，+∞）
4．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ）
B．（﹣1，5） C．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为（ ） A． +
B．1+
C．1+
D．2+
6．已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
7．四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（ ）
A． B．5 C． D．2
8．函数f（x）=log（|x|﹣4）的单调递减区间为（ ）
A．（﹣∞，﹣4） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0） D．（4，+∞） 9．已知f（x）=范围是（ ） A．（0，1） B．
C．
D．
是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值
10．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下四个命题： ①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n； ②若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n； ③若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n； ④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n． 其中正确命题的个数是（ ） A．4
B．3
C．2
D．1
11．已知函数f（x）=ax2+2ax+4（0＜a＜3），若x1＜x2，x1+x2=1﹣a，则（ ） A．f（x1）＜f（x2） B．f（x1）=f（x2）
C．f（x1）＞f（x2） D．f（x1）与f（x2）的大小不能确定
12．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．
B． C． D．
二、填空题 13．fx）=若函数（
2]，=的定义域为[0，则函数g（x）
的定义域为 ．14．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是 ． 15．fx）=2|x|﹣1，b=fc=f已知定义在R上的函数（记a=f（log0.53），（log25），（log2），则a，b，c的大小关系为 （用不等式由小到大连接）
16．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为 ．
三、解答题
17．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）． （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，E为DD1的中点． （1）求证：BD1∥平面EAC； （2）求点D1到平面EAC的距离．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=（Ⅰ）求证：PD⊥面ABCD； （Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣D的大小．
．
20．PB⊥BC，PD⊥CD，E点满足四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）在线段BC上是否存在点F使得PF∥面EAC？若存在，确定F的位置；若不存在，请说明理由．
21．已知定义域为R的函数f（x）=（Ⅰ）求a，b的值；
是奇函数．
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
22．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx，（k∈R）为偶函数． （1）求k的值；
（2）若方程f（x）=log4（a•2x﹣a）有且只有一个根，求实数a的取值范围．
2016-2017学年河南省南阳一中高一（上）第二次月考数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列函数为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A．y= B．y=﹣x2+1
C．y=lg|x| D．y=3x
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据奇函数、偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及二次函数和对数函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项． 【解答】解：A.
为奇函数，∴该选项错误；
B．二次函数y=﹣x2+1在（0，+∞）上单调递减，∴该选项错误； C．y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且lg|﹣x|=lg|x|； ∴该函数为偶函数； x＞0时，y=lg|x|=lgx；
∵y=lgx在（0，+∞）上单调递增；
∴y=lg|x|在（0，+∞）上单调递增，∴该选项正确；
D．指数函数y=3x的图象不关于y轴对称，不是偶函数，∴该选项错误． 故选C．
2．不论m为何实数，直线（m﹣1）x﹣y+2m+1=0恒过定点（ ） A．（1，
） B．（﹣2，0） C．（﹣2，3） D．（2，3）
【考点】恒过定点的直线．
【分析】将直线的方程（m﹣1）x﹣y+2m+1=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．
【解答】解：直线（m﹣1）x﹣y+2m+1=0可为变为m（x+2）+（﹣x﹣y+1）=0
令，解得
故无论m为何实数，直线（m﹣1）x﹣y+2m+1=0恒通过一个定点（﹣2，3） 故选C．
3．已知直线l过定点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3），B（﹣4，5）为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A．[﹣1，5] ∪（5，+∞）
【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．
【分析】先利用斜率公式求得直线PA，PB的斜率结合图象可得则直线l的斜率k的取值范围．
【解答】解：直线PA的斜率为 k1=
=5，直线PB的斜率为 k2=
=﹣1，
B．（﹣1，5） C．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）
结合图象可得则直线l的斜率k的取值范围是 k2≤k≤k1， 即则直线l的斜率k的取值范围是[﹣1，5]， 故选A．
4．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90° 【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】连接C1B，D1A，AC，D1C，将MN平移到D1A，根据异面直线所成角的定义可知∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角，而三角形D1AC为等边三角形，即可求出此角．
【解答】解：连接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A ∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角 而三角形D1AC为等边三角形 ∴∠D1AC=60° 故选C．
5．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为（ ） A． +
B．1+
C．1+
D．2+
【考点】平面图形的直观图．
【分析】根据斜二测画法还原出原平面图形，求出它的面积即可．
【解答】解：把直观图还原出原平面图形，如图所示； ∴这个平面图形是直角梯形， 它的面积为 S=×（1+1+=2+
．
）×2
故选：D．
6．已知函数
，则函数y=f（x）的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象与图象变化．
【分析】由函数不是奇函数图象不关于原点对称，排除A、C，由x＞0时，函数值恒正，排除D．
【解答】解：函数y=f（x）是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除选项A、C，
又当x=﹣1时，函数值等于0，故排除D， 故选 B．
7．四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（ ）
A． B．5 C． D．2
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，通过三视图的数据，求出最长的侧棱长度即可．
【解答】解：由题意可知几何体是底面为直角梯形，直角边长为：4，2，高为3的梯形，棱锥的高为2，
高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点，
所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶点与棱锥顶点连线， 所以长度为：故选：A．
8．函数f（x）=log
（|x|﹣4）的单调递减区间为（ ）
=
．
A．（﹣∞，﹣4） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0） D．（4，+∞） 【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】先求函数的定义域，根据复合函数的单调性“同增异减”求解． 【解答】解：由题意：函数f（x）=log4}．
令t=|x|﹣4，t＞0，则函数f（x）=log义域内是单调减函数．
而函数t=|x|﹣4，当x在（﹣∞，4）时，函数t是单调减函数，当x在（4，+∞）时，函数t是单调增函数．
根据复合函数的单调性“同增异减”，
（|x|﹣4）转化为g（t）=
在其定
（|x|﹣4），其定义域为{x|x＞4或x＜﹣
可得：函数f（x）=log故选D．
9．已知f（x）=范围是（ ） A．（0，1） B．
（|x|﹣4）的单调递减区间为（4，+∞）．
是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值
C． D．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】由f（x）在R上单调减，确定a，以及3a﹣1的范围，再根据单调减确定在分段点x=1处两个值的大小，从而解决问题． 【解答】解：依题意，有0＜a＜1且3a﹣1＜0， 解得0＜a＜，
又当x＜1时，（3a﹣1）x+4a＞7a﹣1， 当x＞1时，logax＜0，
因为f（x）在R上单调递减，所以7a﹣1≥0解得a≥ 综上：≤a＜ 故选C．
10．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下四个命题： ①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n； ②若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n； ③若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n； ④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n． 其中正确命题的个数是（ ） A．4
B．3
C．2
D．1
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】在①中，m与n平行或异面；在②中，由直线与平面垂直的性质得m⊥n；在③中，m与n相交、平行或异面；在④中，由面面垂直和线面垂直的性质得m
⊥n．
【解答】解：由两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，知： 在①中，若m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n平行或异面，故①错误；
在②中，若m⊥α，n∥β，且α∥β，则由直线与平面垂直的性质得m⊥n，故②正确；
在③中，若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故③错误； 在④中，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则由面面垂直和线面垂直的性质得m⊥n，故④正确． 故选：C．
11．已知函数f（x）=ax2+2ax+4（0＜a＜3），若x1＜x2，x1+x2=1﹣a，则（ ） A．f（x1）＜f（x2） B．f（x1）=f（x2）
C．f（x1）＞f（x2） D．f（x1）与f（x2）的大小不能确定 【考点】函数单调性的性质．
【分析】函数f（x）=ax2+2ax+4（0＜a＜3）为二次函数，开口向上，对称轴为x=﹣1，
比较f（x1）与f（x2）的大小即看x1和x2谁到对称轴的距离大．
【解答】解：已知函数f（x）=ax2+2ax+4（0＜a＜3），二次函数的图象开口向上，对称轴为x=﹣1，0＜a＜3，
∴x1+x2=1﹣a∈（﹣2，1），x1与x2的中点在（﹣1，）之间，x1＜x2， ∴x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离， ∴f（x1）＜f（x2）， 故选A．
12．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【分析】判定三棱锥的形状，然后求出它的外接球的半径，再求体积． 【解答】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1， 故外接球半径为故选C．
二、填空题 13．若函数f（x）=[0，1） ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】首先根据函数f（x）的定义域为[0，2]，得到函数g（x）的分子对应的函数y=f（2x）的定义域为2x∈[0，2]，解之得0≤x≤1，再结合分式的分母不等于0，列出不等式组，解之可得函数g（x）的定义域． 【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[0，2]，
∴函数y=f（2x）的定义域为2x∈[0，2]，解得0≤x≤1， 因此函数g（x）=∴函数g（x）=故答案为：[0，1）．
14．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是 0＜b＜2 ．
，外接球的体积为，
的定义域为[0，2]，则函数g（x）=的定义域为
的定义域满足：的定义域为：[0，1）．
，可得0≤x＜1．
【考点】函数的零点．
【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围
【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，
从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点， 结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件， 故答案为：0＜b＜2
15．fx）=2|x|﹣1，b=fc=f已知定义在R上的函数（记a=f（log0.53），（log25），（log2），则a，b，c的大小关系为 a＜c＜b （用不等式由小到大连接） 【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用函数的奇偶性与单调性即可得出．
【解答】解：∵log0.53=﹣log23∈（﹣2，﹣1），log25＞2，log2=﹣2， ∵f（x）=2|x|﹣1，∴函数f（x）为偶函数，
且：x≥0时，函数f（x）=2x﹣1，可得函数f（x）在x≥0时单调递增． 又a=f（log0.53）=f（log23），b=f（log25），c=f（log2）=f（2）， ∴b＞c＞a．
故答案为：a＜c＜b．
16．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为 ．
【考点】点、线、面间的距离计算．
【分析】A1B1∥EF，∴点G到平面D1EF的距离即为点A1到平面D1EF的距离，设这个距离为h，由
=
，能求出点G到平面D1EF的距离．
【解答】解：∵长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，
G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1）， ∴D1E=
=
，
∵A1B1∥EF，∴点G到平面D1EF的距离即为点A1到平面D1EF的距离， 设这个距离为h， ∵
==
∴
，
，
，
=
，
∴h===．
∴点G到平面D1EF的距离为故答案为：
．
．
三、解答题
17．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）． （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【考点】直线的截距式方程；确定直线位置的几何要素；过两条直线交点的直线系方程．
【分析】（1）先求出直线l在两坐标轴上的截距，再利用 l在两坐标轴上的截距相等 建立方程，解方程求出a的值，从而得到所求的直线l方程． （2）把直线l的方程可化为 y=﹣（a+1）x+a﹣2，由题意得式组求得a的范围．
【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2． 令y=0，得∵l在两坐标轴上的截距相等，∴
（a≠﹣1）．
，解不等
，解之，得a=2或a=0．
∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．
（2）直线l的方程可化为 y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限， ∴
18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，E为DD1的中点． （1）求证：BD1∥平面EAC； （2）求点D1到平面EAC的距离．
，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根
据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；
（2）设D1到平面EAC的距离为d，根据即可求出点D1到平面EAC的距离．
【解答】解：（1）证明：连接BD交AC于F，连EF．
建立等式关系可求出d，
因为F为正方形ABCD对角线的交点， 所长F为AC、BD的中点．
在DDD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点， 所以EF∥D1B．
又EFÌ平面EAC，所以BD1∥平面EAC． （2）设D1到平面EAC的距离为d． 在DEAC中，EF^AC，且所以于是因为又解得
19．如图，四棱锥P﹣ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=（Ⅰ）求证：PD⊥面ABCD； （Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣D的大小．
．
，即
，
．
，
．
，
，
，
，故D1到平面EAC的距离为
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）先根据边长之间的关系得到PD⊥CD；再结合PD⊥BC即可证明结论；
（Ⅱ）连接BD，设BD交AC于点O，过O作OE⊥PB于点E，连接AE，证得∠AEO就是二面角A﹣PB﹣D的平面角，最后通过求边长即可求出结果． 【解答】解；（Ⅰ）证明：∵PD=DC=1，PC=
，
∴△PDC是直角三角形，即PD⊥CD，… 又∵PD⊥BC，BC∩CD=C， ∴PD⊥面ABCD…
（Ⅱ）解：连接BD，设BD交AC于点O， 过O作OE⊥PB于点E，连接AE， ∵PD⊥面ABCD，∴AO⊥PD， 又∵AO⊥BD，∴AO⊥面PDB． ∴AO⊥PB，
又∵OE⊥PB，OE∩AO=O， ∴PB⊥平面AEO，从而PB⊥EO，
故∠AEO就是二面角A﹣PB﹣D的平面角．… ∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BD， ∴在Rt△PDB中，又∵
，∴
，…
，
tan∠AEO===，∴∠AEO=60°．
故二面角A﹣PB﹣D的大小为60°．…
20．PB⊥BC，PD⊥CD，E点满足四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）在线段BC上是否存在点F使得PF∥面EAC？若存在，确定F的位置；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）证明BC⊥PA，CD⊥PA，即可证明：PA⊥平面ABCD；
（2）当F为BC中点时，PF∥面EAC，证明PF∥ES即可． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB⊥BC 又∵PB⊥BC，AB∩PB=B， ∴BC⊥面PAB，∴BC⊥PA 同理CD⊥PA，
∵BC∩CD=C，∴PA⊥面ABCD
（2）解：当F为BC中点时，PF∥面EAC，理由如下： ∵AD∥2FC，∴又由已知有
，
=，∴PF∥ES
∵PF⊄面EAC，EC⊂面EAC， ∴PF∥面EAC．
21．已知定义域为R的函数f（x）=（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
【考点】指数函数单调性的应用；奇函数．
【分析】（Ⅰ）利用奇函数定义，在f（﹣x）=﹣f（x）中的运用特殊值求a，b的值；
（Ⅱ）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0， 即
是奇函数．
又由f（1）=﹣f（﹣1）知所以a=2，b=1．
．
经检验a=2，b=1时，是奇函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数． 又因为f（x）是奇函数， 所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0
，
等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2）， 因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2． 即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0， 从而判别式
所以k的取值范围是k＜﹣．
22．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx，（k∈R）为偶函数． （1）求k的值；
（2）若方程f（x）=log4（a•2x﹣a）有且只有一个根，求实数a的取值范围． 【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．
【分析】（Ⅰ）根据偶函数可知f（x）=f（﹣x），取x=﹣1代入即可求出k的值； （Ⅱ）根据方程
有且只有一个实根，化简可得
．
有且只有一个实根，令t=2x＞0，则转化成新方程有且只有一个正
根，结合函数的图象讨论a的取值，即可求出实数a的取值范围． 【解答】解：（I） 由题意得f（﹣x）=f（x）， 即化简得
，…
，
从而4（2k+1）x=1，此式在x∈R上恒成立， ∴
…
（II）由题意，原方程化为
且a•2x﹣a＞0
即：令2x=t＞0
…
函数y=（1﹣a）t2+at+1的图象过定点（0，1），（1，2）如图所示： 若方程（1）仅有一正根，只有如图的三种情况， 可见：a＞1，即二次函数y=（1﹣a）t2+at+1的
开口向下都可，且该正根都大于1，满足不等式（2），… 当二次函数y=（1﹣a）t2+at+1的开口向上， 只能是与x轴相切的时候， 此时a＜1且△=0，即综上：a＞1或
…
也满足不等式（2）
2017年4月10日
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