人教A版必修第二册《6.4 平面向量的应用》练习卷（2）
一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）
1. 两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40゜，灯塔B在观察站南
偏东60゜，则灯塔A在灯塔B的( )。
A. 北偏东10゜ B. 北偏西10゜ C. 南偏东10゜ D. 南偏西10゜
2. 在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐴=30°，𝐶=45°，𝑎=2，则△𝐴𝐵𝐶的面积等于( )
A. √2 B. √3+1
C. 2√2
D. 2(√3+1)
1
3. 已知△𝐴𝐵𝐶内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴，则△𝐴𝐵𝐶的形
状是( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定
，则𝛥𝐴𝐵𝐶的形状为
4. 在𝛥𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴,𝐵,𝐶所对的边分别是𝑎,𝑏,𝑐，若
( )
A. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形
二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
B. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形
5. 已知𝑎>0，𝑏>0，且ℎ=𝑚𝑖𝑛(𝑎,𝑎2+𝑏2)，求h的范围______ ． 6. 在△𝐴𝐵𝐶中，sin2𝐴=sin2𝐵+sin2𝐶−𝑠𝑖𝑛𝐵⋅𝑠𝑖𝑛𝐶，则∠𝐴=______． 三、解答题（本大题共12小题，共144.0分）
𝑏
7. 如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．
(1)找出与向量⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵共线的向量． (2)找出与向量⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵相等的向量．
⃗ 与⃗ ⃗ =(2,𝑚)，⃗ 8. 已知不共线向量𝑎𝑏，𝑎𝑏=(1,−2)．
(1)若(𝑎⃗ +⃗ 𝑏)⊥⃗ 𝑏，求m的值；
(2)若向量2𝑎⃗ −⃗ 𝑏与𝑎⃗ +2⃗ 𝑏共线，求m的值．
⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ 9. 已知四边形ABCD中，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶.求证：⃗𝐴𝐷𝐵𝐶．
10. 已知△𝐴𝐵𝐶，AD为中线，求证：𝐴𝐷2=2(𝐴𝐵2+𝐴𝐶2)−(2)2．
E，F分别为AD，BC的中点，∠𝐵𝐷𝐶=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐷=2，11. 如图，在四面体𝐴−𝐵𝐶𝐷中，且𝐸𝐹=√2.
求证：𝐵𝐷⊥平面ACD．
1
𝐵𝐶
12. 据气象中心观察和预测：发生于甲地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度𝑣(𝑘𝑚/ℎ)与时
间𝑡(ℎ)的函数图象如图所示，过线段OC上一点𝑇(𝑡,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为𝑡(ℎ)内沙尘暴所经过的路程𝑠(𝑘𝑚)．
(1)当𝑡=15时，求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若乙城位于甲地正南方向，且距甲地575 𝑘𝑚，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到乙城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到乙城？如果不会，请说明理由．
⃗⃗⃗⃗⃗ +2⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 13. 已知在平面上不共线的四点𝑂,𝐴,𝐵,𝐶，若⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴−3⃗𝑂𝐵𝑂𝐶=⃗⃗⃗ 0，则求|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐴𝐵
14. 在平面四边形ABCD中，𝐷𝐴⊥𝐴𝐵，𝐷𝐸=1，𝐸𝐶=
(1)求sin∠𝐶𝐸𝐷的值； (2)求BE的长．
，𝐸𝐴=2，∠𝐴𝐷𝐶=，∠𝐵𝐸𝐶=．
15. 在△𝐴𝐵𝐶中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且𝑎+𝑏+𝑎+𝑐=𝑎+𝑏+𝑐
(1)求角A 的大小；
(2)若𝑏=2+√3，𝑎=√15，求b的值．
𝑐
1
1
1
3
B、C的对边分别为a、b、𝑐.已知𝑏2−𝑎2+𝑐2−√2𝑏𝑐=0，𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵−𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑎． 中，角A、16. 在△𝐴𝐵𝐶，
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)若𝑎=√2，求c．
17. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎=3，𝑏−𝑐=2，𝑐𝑜𝑠𝐵=−2．
(Ⅰ)求b，c的值； (Ⅱ)求sin(𝐵–𝐶)的值．
1
⃗⃗⃗ =(𝑐𝑜𝑠𝐶,sin)，向量𝑛⃗ =(sin,𝑐𝑜𝑠𝐶)，18. 在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量𝑚22
⃗⃗⃗ //𝑛⃗ ． 且𝑚
(1)求角C的大小；
(2)若𝑎2=2𝑏2+𝑐2，求tanA的值．
𝐶
𝐶
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：两座灯塔A和B与海岸观察站的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°， 灯塔B在观察站的南偏东60°，如图：
三角形是等腰三角形，∠𝐴=∠𝐵=50°，则灯塔A在灯塔B的北偏西10°． 故选B．
通过两座灯塔A和B与海岸观察站的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯
塔B在观察站的南偏东60°，得到三角形的形状，直接判断灯塔A在灯塔B的方位角即可． 本题是基础题，考查三角函数解三角形问题，方位角的应用，注意三角形是等腰三角形是解题的关键．
2.答案：B
解析：解：因为△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐴=30°，𝐶=45°，所以𝐵=180°−30°−45°=105°． 因为𝑎=2，也由正弦定理𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐶，𝑐=所以△𝐴𝐵𝐶的面积，
𝑆=2𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵=2×2×2√2𝑠𝑖𝑛105° =2√2(𝑠𝑖𝑛45°𝑐𝑜𝑠60°+𝑐𝑜𝑠45°𝑠𝑖𝑛60°) =2(2+
1
√3
)21
1
𝑎
𝑐
𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐴
=
2×
√2
212
=2√2．
=1+√3．
故选：B．
利用三角形内角和求出B，利用正弦定理求出c，然后利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查三角形中正弦定理的应用，三角形的面积的求法，两角和正弦函数的应用，考查计算能力．
3.答案：C
解析：
本题考查三角形形状的判断，着重考查正弦定理与诱导公式的应用，考查转化思想． 依题意，利用正弦定理可知sin(𝐵+𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐴=sin2𝐴，易求𝑠𝑖𝑛𝐴=1，从而可得答案．
解：△𝐴𝐵𝐶中，∵𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴， ∴由正弦定理得：𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵=sin2𝐴， 即sin(𝐵+𝐶)=sin(𝜋−𝐴)=𝑠𝑖𝑛𝐴=sin2𝐴，又𝑠𝑖𝑛𝐴>0， ∴𝑠𝑖𝑛𝐴=1，𝐴∈(0,𝜋)， ∴𝐴=2．
∴△𝐴𝐵𝐶的形状是直角三角形， 故选：C．
𝜋
4.答案：D
解析：
本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用与化简运算的能力，属于中档题． 解：∵𝑐−𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵=(2𝑎−𝑏)𝑐𝑜𝑠𝐴，𝐶=𝜋−(𝐴+𝐵)， ∴由正弦定理得𝑠𝑖𝑛𝐶−𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵=2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐴−𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐴， ∴𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵−𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵=2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐴−𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐴， ∴𝑐𝑜𝑠𝐴(𝑠𝑖𝑛𝐵−𝑠𝑖𝑛𝐴)=0， ∴𝑐𝑜𝑠𝐴=0或𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐴，
∴𝐴=或𝐵=𝐴或𝐵=𝜋−𝐴(舍去)，
2∴△𝐴𝐵𝐶为等腰或直角三角形． 故选D．
25.答案：(0,√] 2
𝜋
解析：解：∵𝑎>0，𝑏>0， ∴𝑎2+𝑏2≥2𝑎𝑏， ∴𝑎2+𝑏2≤2𝑎，
令𝑎=2𝑎(𝑎>0)，则𝑎=√，
2
1
2𝑏
1
令𝑎>2𝑎，则𝑎>√，
2
1
2令𝑎<2𝑎，则0<𝑎<√，
2
1
2
∵ℎ=𝑚𝑖𝑛(𝑎,𝑎2+𝑏2)， ∴ℎ∈(0,
√2]． 2
2𝑏
故答案为：(0,√]．
2
利用基本不等式，可得𝑎2+𝑏2≤2𝑎，再分类讨论，即可得出结论． 本题考查函数最值的应用，考查基本不等式的运用，属于中档题．
𝑏1
6.答案：3
解析：
本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于中档题．
利用正弦定理化简已知的等式，再利用余弦定理表示出cosA，将化简后的式子整理后代入求出cosA的值值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值． 解：由正弦定理化简sin2𝐴=sin2𝐵+sin2𝐶−𝑠𝑖𝑛𝐵⋅𝑠𝑖𝑛𝐶， 得：𝑎2=𝑏2+𝑐2−𝑏𝑐，即𝑏2+𝑐2−𝑎2=𝑏𝑐， ∴𝑐𝑜𝑠𝐴=
𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
𝜋
=2𝑏𝑐=2，
𝑏𝑐1
又∠𝐴为三角形的内角， 则∠𝐴=3． 故答案为3．
⃗⃗⃗⃗ 与⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 与⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，⃗7.答案：解：(1)依据图形可知，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝐷，⃗𝐸𝐶𝐴𝐵方向相同，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷，⃗𝐷𝐸𝐶𝐸𝐴𝐵方向相反，⃗⃗⃗⃗ ，⃗⃗⃗⃗⃗ ． ⃗⃗⃗⃗⃗ ，⃗所以与向量⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵共线的向量为⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝐷，⃗𝐷𝐸𝐸𝐶𝐶𝐸
(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝐷与⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵长度相等且方向相同， 所以与向量⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵相等的向量为⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶和⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝐷．
𝜋𝜋
解析：本题考查共线和相等向量的概念，考查推理能力，属于基础题． (1)利用共线向量的定义即可得解； (2)利用相等向量的定义即可得解．
⃗ 与⃗ 8.答案：解：(1)∵不共线向量𝑎𝑏， ⃗ =(2,𝑚)，⃗ 𝑎𝑏=(1,−2)， ∴𝑎⃗ +⃗ 𝑏=(3,𝑚−2)， ∵(𝑎⃗ +⃗ 𝑏)⊥⃗ 𝑏，
⃗ )⋅𝑏⃗ =3−2(𝑚−2)=0， ∴(𝑎⃗ +𝑏解得𝑚=2．
(2)2𝑎⃗ −⃗ 𝑏=(3,2𝑚+2)， ⃗ +2⃗ 𝑎𝑏=(4,𝑚−4)， ⃗ 与𝑎⃗ 共线， ∵向量2𝑎⃗ −𝑏⃗ +2𝑏∴=
43
2𝑚+2𝑚−4
7
，
解得𝑚=−4．
解析：本题考查向量的坐标运算，向量垂直、共线的判定与证明，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．
(1)求出𝑎⃗ +⃗ 𝑏=(3,𝑚−2)，由(𝑎⃗ +⃗ 𝑏)⊥⃗ 𝑏，能求出m．
(2)求出2𝑎⃗ −⃗ 𝑏=(3,2𝑚+2)，𝑎⃗ +2⃗ 𝑏=(4,𝑚−4)，由向量2𝑎⃗ −⃗ 𝑏与𝑎⃗ +2⃗ 𝑏共线，能求出m． ⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以四边形ABCD为平行四边形.所以|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |，且𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ .所9.答案：证明：因为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ． 以𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ |=|⃗⃗⃗⃗⃗ 解析：本题考查了向量平行判断与证明，由四边形ABCD为平行四边形.所以|⃗𝐴𝐷𝐵𝐶|，且⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷𝐵𝐶，可证得答案．
10.答案：证明：以BC所在直线为x轴，以点B为原点，
建立平面直角坐标系，则𝐵(0,0)， 设𝐶(𝑐,0)、𝐴(𝑎,𝑏)，则𝐷(2,0)， ∴𝐴𝐷2=(𝑎−2)2+𝑏2=𝑎2+𝑏2−而(𝐴𝐵2+𝐴𝐶2)−()2=
22𝑏2−
𝑐241
𝐵𝐶
𝑐
𝑐24
𝑐
−𝑎𝑐，
−
𝑐24
𝑎2+𝑏2+[(𝑎−𝑐)2+𝑏2]
2
=𝑎2+
−𝑎𝑐，
∴𝐴𝐷2=2(𝐴𝐵2+𝐴𝐶2)−(2)2．
1𝐵𝐶
解析：建立适当的坐标系，求出有关点的坐标，利用两点间的距离公式，证得结论． 本题主要考查用坐标法证明线段长度之间的关系，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
11.答案：证明：取CD的中点为G，连接EG，𝐹𝐺.
∵𝐸，F分别为AD，BC的中点， ∴𝐸𝐺//𝐴𝐶，𝐹𝐺//𝐵𝐷.
又𝐴𝐶=𝐵𝐷=2，则𝐸𝐺=𝐹𝐺=1. ∵𝐸𝐹=√2，
∴𝐸𝐹2=𝐸𝐺2+𝐹𝐺2， ∴𝐸𝐺⊥𝐹𝐺， ∴𝐵𝐷⊥𝐸𝐺. ∵∠𝐵𝐷𝐶=90°， ∴𝐵𝐷⊥𝐶𝐷. 又𝐸𝐺∩𝐶𝐷=𝐺， ∴𝐵𝐷⊥平面ACD．
解析：本题考查线面垂直的证明，属基础题．
取CD的中点为G，连接EG，𝐹𝐺.根据中位线定理及勾股定理逆定理经过计算证明𝐸𝐺⊥𝐹𝐺，然后再根据线面垂直判定定理证明．
12.答案：解：(1)由图象可知：当𝑡=15时，
𝑠=2×10×30+30(15−10)=300． (2)当0≤𝑡≤10时，𝑠=2⋅𝑡⋅3𝑡=2𝑡2；
当10<𝑡≤20时，𝑠=2×10×30+30(𝑡−10)=30𝑡−150；
当20<𝑡≤35时，𝑠=2×10×30+10×30+(𝑡−20)×30−2×(𝑡−20)×2(𝑡−20) =−𝑡2+70𝑡−550． 综上，可知
1
1
11
3
1
𝑠=
{
32
𝑡,𝑡∈[0,10]2
30𝑡−150,𝑡∈(10,20]
−𝑡2+70𝑡−550,𝑡∈(20,35]
(3)沙尘暴会侵袭到乙城．
∵𝑡∈[0,10]时，𝑠max=2×102=150<575， 𝑡∈(10,20]时，𝑠𝑚𝑎𝑥=30×20−150=450<575， ∴当𝑡∈(20,35]时，令−𝑡2+70𝑡−550=575． 解得𝑡1=25，𝑡2=45.∵20<𝑡≤35，∴𝑡=25． ∴沙尘暴发生25 ℎ后将侵袭到乙城．
3
解析：本题考查的是分段函数在实际生活中的运用，比较复杂，解答此题的关键是根据图形反映的数据进行分段计算，难度适中．
(1)考查函数解析式的求法及解析式的应用.先利用直线OA对应的解析式，由图象就可求得三角形面积
(2)分类讨论：当0≤𝑡≤10时；当10<𝑡≤20时；当20<𝑡≤35时； (3)根据t的值对应求S，然后解答．
13.答案：2．
解析：
本题考查了平面向量基本定理的运用，是基础题
22
⃗⃗⃗⃗⃗ =1⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵𝑂𝐴+𝑂𝐶𝑂𝐴+𝐴𝐵=𝑂𝐵𝑂𝐴+𝑂𝐶，所以⃗⃗⃗⃗⃗ 解：由题意得3⃗，所以𝑂𝐵𝑂𝐴+2⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶，⃗𝐴𝐵=3333⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ )=2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −1𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =1𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，且𝐵𝐶(𝑂𝐶=2． 与𝐴𝐵𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 333332
|𝐵𝐶|
故答案为2
14.答案：解：(1)设𝛼=∠𝐶𝐸𝐷，
在△𝐶𝐷𝐸中，由余弦定理得𝐸𝐶2=𝐶𝐷2+𝐸𝐷2−2𝐶𝐷⋅𝐷𝐸𝑐𝑜𝑠∠𝐶𝐷𝐸， 即7=𝐶𝐷2+1+𝐶𝐷，则𝐶𝐷2+𝐶𝐷−6=0， 解得𝐶𝐷=2或𝐶𝐷=−3，(舍去)， 在△𝐶𝐷𝐸中，由正弦定理得
，
则
即sin∠𝐶𝐸𝐷=√;
721
，
(2)由题设知而
，由(1)知，
，
，
在𝑅𝑡△𝐸𝐴𝐵中，cos∠𝐴𝐸𝐵=𝐵𝐸=𝐵𝐸， 故BE
．
𝐸𝐴
2
解析：本题考查正余弦定理在解三角形计算中的综合应用．
(1)在△𝐶𝐷𝐸中，由余弦定理得CD，然后在△𝐶𝐷𝐸中，由正弦定理求解即可; (2)求出cos∠𝐴𝐸𝐵，然后在𝑅𝑡△𝐸𝐴𝐵中求解即可．
15.答案：解：(1)由题意
𝑎+𝑏+𝑐𝑎+𝑏
+
𝑎+𝑏+𝑐𝑎+𝑐
=3，即𝑎+𝑏+𝑎+𝑐=1，
𝑐𝑏
整理得：𝑏2+𝑐2−𝑎2=𝑏𝑐， 由余弦定理知𝑐𝑜𝑠𝐴=
𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
=2，
1
∵在△𝐴𝐵𝐶中，0<𝐴<𝜋， ∴𝐴=；
3
(2)由正弦定理得：𝑏=𝑠𝑖𝑛𝐵=所以
𝑠𝑖𝑛𝐴
31
𝑐
𝑠𝑖𝑛𝐶
sin(𝐴+𝐵)𝑠𝑖𝑛𝐵1
𝜋
=
𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵
𝑠𝑖𝑛𝐵
，
√
+𝑐𝑜𝑠𝐴=+2=2+√3， 𝑡𝑎𝑛𝐵2𝑡𝑎𝑛𝐵
1
解得𝑡𝑎𝑛𝐵=2，
则cos2𝐵=sec2𝐵=1+tan2𝐵=5，又𝐵∈(0,𝜋)， 所以𝑠𝑖𝑛𝐵=√1−=√，
55又𝑎=√15，𝑠𝑖𝑛𝐴=√，
234
51
1
4
由正弦定理得𝑏=
𝑎𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴
=
√15×5√32
√5=2．
解析：此题考查了正弦定理、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式．熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
(1)在已知的等式两边同时乘以𝑎+𝑏+𝑐，变形后得到一个关系式，利用余弦定理表示出cosA，把得到的关系式代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数； (2)根据正弦定理𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐶化简已知的等式，然后由𝐴+𝐵+𝐶=𝜋，利用诱导公式及两角和的正弦cosA的值代入即可求出tanB的值，函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简，把sinA，然后再由同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由a，sinA及sinB的值，利用正弦定理即可求出b的值．
𝑏
𝑐
16.答案：解：(Ⅰ)∵𝑏2−𝑎2+𝑐2−√2𝑏𝑐=0，
∴𝑐𝑜𝑠𝐴=
𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
=
√2， 2
∵0<𝐴<𝜋， ∴𝐴=．
4
(Ⅱ)∵𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵−𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑎， ∴sin2𝐵−sin2𝐶=𝑠𝑖𝑛𝐴=
√2， 2
3𝜋
𝜋
∴𝑐𝑜𝑠2𝐶−𝑐𝑜𝑠2𝐵=√2，即𝑐𝑜𝑠2𝐶−cos(2−2𝐶)=√2 ∴𝑐𝑜𝑠2𝐶+𝑠𝑖𝑛2𝐶=√2， ∴sin(2𝐶+4)=1，
∴2𝐶+=2𝑘𝜋+，𝐶=+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，
428∵𝐶∈(0,
𝜋
3𝜋4𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
)，
∴𝐶=， 8∵sin8=√∴𝑐=
𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐴𝜋
1−cos2
𝜋4=
𝜋
𝑐√2−√2，𝑠𝑖𝑛𝐶2
=𝑠𝑖𝑛𝐴，
𝑎
=2𝑠𝑖𝑛8=√2−√2．
解析：(Ⅰ)利用余弦定理和已知𝑏2−𝑎2+𝑐2−√2𝑏𝑐=0可求得cosA的值，进而求得A．
(Ⅱ)利用正弦定理把𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵−𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑎转化成角的正弦，化简整理求得sin(2𝐶+4)的值，进而求得C，最后利用正弦定理求得答案．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题过程中的sin8的值，可利用二倍角公式通过cos4求得．
𝜋
𝜋
𝜋
17.答案：解：(Ⅰ)∵𝑎=3，𝑏−𝑐=2，𝑐𝑜𝑠𝐵=−2．
∴由余弦定理，得𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵 =9+(𝑏−2)2−2×3×(𝑏−2)×(−)，
2∴𝑏=7，∴𝑐=𝑏−2=5；
(Ⅱ)在△𝐴𝐵𝐶中，∵𝑐𝑜𝑠𝐵=−2，∴𝑠𝑖𝑛𝐵=√，
2
1
3
1
1
由正弦定理有：𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑠𝑖𝑛𝐵， ∴𝑠𝑖𝑛𝐶=
𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵𝑏
𝑐𝑏
=
5×
√32
7
=
5√3， 14
∵𝑏>𝑐，∴𝐵>𝐶，∴𝐶为锐角， ∴𝑐𝑜𝑠𝐶=14，
∴sin(𝐵−𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶−𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶 =
=
4√3
． 7
11
15√3√311
×−(−)×
214214
解析：(Ⅰ)利用余弦定理可得𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵，代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可；
(Ⅱ)sin(𝐵−𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶−𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶，根据正弦定理可求出sinC，然后求出cosC，代入即可得解． 本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题．
⃗⃗⃗ =(𝑐𝑜𝑠𝐶,sin2)，向量𝑛⃗ =(sin2,𝑐𝑜𝑠𝐶)，且𝑚⃗⃗⃗ //𝑛⃗ ， 18.答案：解：(1)∵向量𝑚
∴cos2𝐶−sin2
𝐶
=0 2
𝐶
𝐶
∵𝐶∈(0,𝜋)
∴𝐶=；
3
(2)由余弦定理，𝑎2=2𝑏2+𝑐2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴， ∴𝑏=−2𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴，
正弦定理得𝑠𝑖𝑛𝐵=−2𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴，𝐶=3 ∴sin(3−𝐴)=−√3𝑐𝑜𝑠𝐴， 即√𝑐𝑜𝑠𝐴+𝑠𝑖𝑛𝐴+√3𝑐𝑜𝑠𝐴=0，
2
2
31
2𝜋
𝜋
𝜋
∴
∴𝑡𝑎𝑛𝐴=−3√3．
3√31
𝑐𝑜𝑠𝐴=−𝑠𝑖𝑛𝐴 22
解析：(1)先利用向量平行的充要条件，得三角等式，即可求得角C；
(2)先利用余弦定理化简已知等式，再利用正弦定理将等式中的边化为角，并利用(1)和三角变换公式化简，最后利用同角三角函数基本关系式即可得所求
本题考查三角变换公式在三角化简和求值中的应用，向量平行的充要条件，正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
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