圆锥曲线的切线

“方向比努力更重要”！

对于圆锥曲线与直线的位置关系的考查，历来都是比较综合的。这类题往往集函数、方程、向量、不等式等知识点于一体。有变量多，关系复杂，运算量大，思维量大等特点。虽说“条条大路通罗马”，但如果解题方向不对，方法笨重，不仅耗时费力，问题得不到解决，而且极容易打击自己的自信心。所以方法的选择尤为重要，这就要求我们通过解一题探索出解一类题的万用方法。 下面通过五个题，简单介绍一下处理 “过圆锥曲线外一点作圆锥曲线的两条切线…… ”（为了方便，简称为圆锥曲线的双切线问题）的比较实用的两种方法。

例1、（2013广东卷）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F0,cc0到直线

l:xy20的距离为

32.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线2PA,PB,其中A,B为切点.(Ⅰ) 求抛物线C的方程；

(Ⅱ) 当点Px0,y0为直线l上的定点时,求直线AB的方程； (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AFBF的最小值.

fx = x2468gx = x 2421055102468 分析：这题的突破口不难找：紧扣切线，找出切线方程！我们知道，在这里找切线有两种途径：一是切线用P点表示，联立切线与抛物线（方程思想）；二是切线用切点 A、B表示（函数思想）。再看抛物线方程很容易转化为函数，且直线AB与切点A、B息息相关，所以此题用切点表示切线更为方便快捷！ 解:(Ⅰ) x4y.

(Ⅱ) 抛物线C的方程为x4y,即y设Ax1,y1,Bx2,y222121x,求导得yx 42x12x22,y2(其中y1),则切线PA,PB的斜率分别为44x1x12x111y1,即x1,x2,所以切线PA的方程为yy1xx1,即yx22222x1x2y2y10同理可得切线PB的方程为x2x2y2y20

因为切线PA,PB均过点Px0,y0,所以x1x02y02y10,x2x02y02y20 所以x1,y1,x2,y2为方程x0x2y02y0的两组解. 所以直线AB的方程为x0x2y2y00.

(Ⅲ) 由抛物线定义可知AFy11,BFy21, 所以AFBFy11y21y1y2y1y21 联立方程x0x2y2y002x4y,消去x整理得y22y0x02yy020

22由一元二次方程根与系数的关系可得y1y2x02y0,y1y2y0

所以AFBFy1y2y1y21y0x02y01

22又点Px0,y0在直线l上,所以x0y02,

19所以y0x02y012y02y052y0

2219所以当y0时, AFBF取得最小值,且最小值为.

222222x2y2练习1、椭圆221 (aabb，已知椭圆的短轴的两个0)的一个焦点为F为（1,0）

三等分点与一个焦点构成正三角形（1）求椭圆方程（2）已知Q（x0,y0）是椭圆上任一点，

求以Q点为切点的切线方程（3）设P是直线x=4上一动点，过P作椭圆的两切线PA、PB，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标。

x2y2(1)143xxyy(2)00143(3)设P(4，t),切点A(x1,y1),B（x2,y2),则以A、B为切点的椭圆的切线方程分别为：xx1yy1xxyy+=1，2+2=1,又P点在两切线上，所以：43434x1ty14xty+=1，2+2=1,所以直线AB的方程为：43434xtyt+=1,即：y(x1），所以直线AB恒过定点（1，0）433

练习2、A、B、C是长轴为4的椭圆E（焦点在x轴上）的三点，点A是长轴的右端点，BC过椭圆中心O，且ACBC0,BC2AC（1）求椭圆E的方程（2）在椭圆E上是否存

在Q，使得QBQA2? 若存在，有几个（不必求出Q的坐标）（3）、过椭圆E上异

224 的两切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、311y轴上的截距分别为m、n，求证： 为定值。 223mn于其顶点的任一点P作圆O：xy22分析:第(2)问用化归思想，解决这题的关键要理清Q点的来源，一是来源于椭圆，二是来源于QBQA2?，这个式子表示的什么曲线弄清楚了，问题就解决了。问题实际转化为椭圆与某曲线的交点个数。对于第(3)问，关于圆的问题，用几何法是往往是最简洁的。

22x2y2(1)1443(2)两个(3)法一：设P(x0,y0),M（x1,y1)、N（x2,y2),则以M、N为切点的圆的切线方程4分别为：xx1yy1=，xx2yy21,又P点在两切线上，所以：3444x1x0y1y0,x2x0y2y0,所以直线MN方程为：x0x+y0y333法二：设P(x0,y0),由题意：M、N、O、P四点共圆，且以OP为直径，其方程为：(x-x0)x(yy0)y0,即:4x2y2xx0yy00,有M、N在圆x2y2上，所以直线ＭＮ的方程为：3444xx0yy0,令y0,则m;令x0,则n=,又P（x0,y0)在椭圆上，所以：33x03y022x0y01131,所以22(定值）443mn43

x2y2例2：(2014广东卷)、已知椭圆C:221(ab0)的一个焦点为(5,0)，离心率

ab为

5，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C3的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

分析：这题同样是研究圆锥曲线双切线问题，但与上面几个题又有所不同，上面几个题侧重于两切点的关系，且后续部分是研究由两切点产生的直线问题。而此题更侧重于两切线的关系，讨论的是两垂直切线的交点问题，所以再用上面的方法就不太好操作了。我们还是顺从

出题人吧，老老实实把切线用P点表示，再耐心地算下去。注意：点斜式适用范围。然后呢？你懂的

x2y21 解：（1）94（2）当两条切线的斜率存在时，设过P(x0,y0)点的切线为yy0kxx0

yy0kxx0222联立x2y2消去y得49kx18ky0kx0x9y0kx0360

149判别式=18k22y0kx022223649k2y0kx040

22化简得y0kx09k40，即x09k22x0y0ky04

2y0422y013 依题意得k1k221，即x0x09当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图像得P是直线x3,x3,y2,y2

2222的四个交点，也满足x0y013，故点P的轨迹方程为xy13

x22练习、如图（6），设点F1(c,0)、F2(c,0)分别是椭圆C:2y1(a1) a的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且PF1PF2最小值为0． （1）求椭圆C的方程；

（2）若动直线l1,l2均与椭圆C相切，且l1//l2，试探究在x轴上是 F1oyxF2否存在定点B，点B到l1,l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B坐标； 若不存在，请说明理由．

图（6）分析：这个题第（2）问似乎比高考题更为复杂，两切线不是相交，而是平行，还得考虑特殊情形：重合。而且参数多，参数之间的关系不是一两句话就能说清楚的……别急，套路就是出路，选好参数，设出方程，联立方程，寻找关系，消参……按套路来，准没错！

x2y21 解：（1） 2（2）①当直线l1,l2斜率存在时，设其方程为ykxm,ykxn 把l1的方程代入椭圆方程得(12k)x4mkx2m20

222∵直线l1与椭圆C相切，∴16km4(12k)(2m2)0，化简得

2222m212k2同理，n212k2∴m2n2，若mn，则l1,l2重合，

不合题意，∴mn

设在x轴上存在点B(t,0)，点B到直线l1,l2的距离之积为1，则

|ktm||ktm|1，即|k2t2m2|k21 k21k2122把12km代入并去绝对值整理，k(t3)2或者k(t1)0

2222前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的kR恒成立则t10，解得t1 ②当直线l1,l2斜率不存在时，其方程为x22和x2，

定点(1,0)到直线l1,l2的距离之积为(21)(21)1； 定点(1,0)到直线l1,l2的距离之积为(21)(21)1； 综上所述，满足题意的定点B为(1,0)或(1,0)