专题2.23：对数函数图象与性质的研究与拓展

专题2. 23：对数函数图象与性质的研究与拓展

【探究拓展】

探究1：已知函数f(x)lgx，若ab，f(a)f(b)，则ab的取值范围是 . 变式1：已知函数fxlgx1，若ab，fafb，则a2b的取值范围是_________. 变式2：已知函数f(x)ln(x1)，若1ab且fafb，则ab的取值范围是_________.

0,

变式3：已知函数f(x)log2x，正实数m,n满足mn且f(m)f(n)，若f(x)在区间m2,n上的最大值为2，则mn的值为_________.

5 2拓展：（交大2002年保送）设f(x)lgx，a,b为实数，且0ab，若a,b满足 abf(a)f(b)2f. 试写出a与b的关系，并证明在这一关系中存在b满足3b4.

2【解】函数f(x)lgx在(0,1]上单调减，在[1,)上单调增，要使得f(a)f(b)，则必有0a1b. 从而条件转化为：lgalgb2lgab， 2∴ab1ab2lgalgb2lgab， 2ab1, ①∴2 2a(b2)20. ②11a,a,由①分别取3和4代入②式中，左边呈现异号，根据数形结合可知命题“这一关系中存在b满足

b4b33b4”成立.以及利用数形结合解决问题的能力.

y O 1 10 12 x

lgx，0x10探究2：函数fx，若a,b,c互不相等，且fafbfc，则abc的取

1x6，x102值范围是________.

探究3：当0x1时，分别比较以下两组式子的大小：

（1）lg(1x)和lg(1x)； （2）loga(1x)和loga(1x)

变式1：已知函数f(x)log2(x1)，实数m,n在其定义域内，且mn，f(m)f(n). 求证：（i）mn0；（ii）f(m2)f(mn)f(n2).

变式2：设a＞1，函数ylogax的定义域为[m，n],m＜n，值域为[0,1]，定义：区间 [m，n]的长度等于nm．若区间[m，n]长度的最小值为

*探究4：设tR，若nN时，不等式(tn20)ln()0恒成立，则t的取值范围是_____

5，则实数a的值为 6nt变式1：若关于x的不等式(ax20)lg是 .

2a0对任意的正实数x恒成立，则实数a的取值范围x10

变式2：关于x的不等式(2ax1)lnx0对任意x(0,)恒成立，实数a的值为_____．

探究5：在函数f(x)1gx的图象上有三点A、B、C，横坐标依次是m1,m,m1(m2). （1）试比较f(m1)f(m1)与2f(m)的大小； 函数的凹凸性

（2）求△ABC的面积Sg(m)的值域． 0，lg

233 变式：点A,B,C都在幂函数yx的图象上，它们的横坐标分别是a,a1,a2.又A,B,C在x轴上的射影分别为A,B,C，记ABC的面积为f(a)，ABC的面积为g(a).

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（1）求f(a)和g(a)的表达式；

（2）比较f(a)和g(a)的大小，并证明你的结论.

探究6：已知函数f(x)log9(9x1)kx(kR)是偶函数． （1）求k的值；

（2）若函数yf(x)的图象与直线y1xb没有交点，求b的取值范围； 2（3）设h(x)log9a3x4a，若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.

3(1) 因为yf(x)为偶函数，所以xR,f(x)f(x)， 即 log9(9x1)kxlog9(9x1)kx对于xR恒成立.

x1log(9x1)x恒成立, 于是2kxlog9(9x1)log9(9x1)log999x9而x不恒为零，所以k1.

2(2) 由题意知方程log9(9x1)1x1xb即方程log9(9x1)xb无解.

22令g(x)log9(9x1)x，则函数yg(x)的图象与直线yb无交点.

x91log11 因为g(x)log99x99x任取x1、x2R，且x1x2，则09x19x2，从而1. 1x1x2991于是log91x19log1199x2，即g(x)g(x)，

12所以g(x)在,上是单调减函数.

1因为11x1，所以g(x)log91x0.所以b的取值范围是,0.

99x4a有且只有一个实数根． (3) 由题意知方程3x1a333x令3xt0，则关于t的方程(a1)t24at10(记为(*))有且只有一个正根.

3若a=1，则t3，不合, 舍去；

4若a1，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟.

由0a3或－3；但a3t1，不合，舍去；而a3t1；

4422方程(*)的两根异号a110a1.

综上所述，实数a的取值范围是{3}(1,)．

变式1：设f(x)alog22xblog4x21，(a,b为常数）．当x0时，F(x)f(x)，且F(x)为R上的奇函数．

（1）若f()0，且f(x)的最小值为0，求F(x)的表达式； （2）在（1）的条件下，g(x)12f(x)k1在2,4上是单调函数，求实数k的取值范围．

log2x解：f(x)alog22xblog2x1

由f()0得ab10, f(x)alog22x(a1)log2x1．……3分 若a0，则f(x)log2x1无最小值．∴ a0．

12a0要使f(x)取最小值为0，必须4a(a1)2，∴a1,b2．

04a∴f(x)log22x2log2x1．

当x0，则x0，∴F(x)f(x)log22(x)2log2(x)1 又F(x)F(x)，∴F(x)log22(x)2log2(x)1

log22x2log2x1(x0)又F(0)0 ，∴ F(x)0 (x0)2log(x)2log2(x)1(x0)2log22x2log2x1k1klog2x2，x[2,4]． (2)g(x)log2xlog2xk2，t[1,2]．……13分 tk∴当k≤0，或k≤1，或k≥2时，yt2为单调函数．

t令log2xt，则yt综上所述：实数k的取值范围是k≤1或k≥4．

x探究7：试讨论超越方程alogax(a0,a1)的根的个数.

函数yax与ylogax(a0,且a1)图象的交点有如下情况：

当ae时，没有交点； 当ae时，有一个交点； 当1ae时，有两个交点；

1a1时,有一个交点； ee1当0ae时，有三个交点．

e1e1e1e当

探究8：已知a1，若函数f(x)axx4的零点为m，函数g(x)logaxx4的零点为n，则的取值范围是__________

【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？

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