概率论与数理统计期末考试试卷

一、填空题：（每题3分，共30分.请把答案填在题中横线上.）

1．设A,B,C是三个随机事件，则事件“A,B,C不同时发生”可以表示为： .

2. 三个人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一个人能将此密码译出的概率是____________.

3．设离散型随机变量X的分布函数为F(x),则PaXb= .

11x1f(x)，则P1X0.5 . 4．设X的概率密度函数是2其它05．若XN(2,4)，令Y__________,则YN(0,1). 6. 设随机变量X的方差D(X)存在，则D(X) . 7．已知随机变量X有E(X),D(X)2，根据契比雪夫不等式，则

PX3 . 8．已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，则D(X) .

1n9．设X1,X2,Xn是来自总体X的样本，则XXi，S2 . ni110．评价估计量的标准有无偏性、有效性和 .

1．用3个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别为0.94，0.9，0.95，求全部产品中的合格率.

X2．已知随机变量X的分布律为p124，求F(x)及P1X2.5.

0.50.30.2ABe2x3．设连续型随机变量X的分布函数为F(x)0密度函数f(x).

x0其它，试求：（1）A、B的值;（2）概率

4. 已知随机变量X、Y相互独立，二维随机变量(X,Y)的联合概率分布如下，请将表内空白处填入适当的数.

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5. 袋中有2只

Y X y1 1 81 6y2 1 8 y3 pi 1 黑球，2只白球，3只红球，从中任取2

x1 x2 pj 只，用表示取到黑球的只数，以表示取到白球的只数（1）求(,)的联合分布律; （2）求P(2)，

P(221).

6．设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有E(Xi)i,D(Xi)5i,求 E(Y),

设Y2X1X23Xi1,2,3,4，314X，2D(Y),X1Y.

三、应用题（每题8分，共16分)

1．设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏开灯的概率是0.8，假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在7900与8100之间的概率.

2．一个车间生产铁钉，从某天的产品里随机抽取9个，量得结果如下（单位：毫米）： x15,s20.09，已知铁钉长度服从正态分布，求平均长度的双侧置信区间（0.05）. 以下数据有可能在计算过程中要用到 (2.5)0.9938,t0.025(8)2.306

测验题（一）

一、填空

1、设A1,A2,A3是三个事件，则这三个事件中至少有两个发生的事件是 。 2、若事件A与B互不相容，则P(AB)

3、如果P(A)0.3,P(B)0.2，且A,B互斥，则P(AB) 。 4、如果P(A)0.3,P(B)0.2，且A,B相互独立，则P(AB) 。 5、如果P(A)0.3,P(B)0.2，且P(BA)0.4，则P(AB) 。

6、如果P(A)0.3,P(B)0.2,P(C)0.1，且A,B,C相互独立，则 P(ABC) 。

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二、计算题

1、三个人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，求三人中至少有一个人能将此密码译出的概率

2、将3封信任意投到四个信箱中去，求下列事件的概率

（1）只有两个信箱有信的概率。（2）一个信箱最多只有1封信的概率 （3）前两个信箱没有信的概率。 3、盒子中有10个小球，其中6个黑色的，4个白色的，先后从中各取一球（不放回），已知第二次取出的是黑球，求第一次取到白球的概率。

4、已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，假设男女各占一半，现随机挑选一人，（1）求此人恰好是色盲的概率。（2）若随机地挑选一人，此人不是色盲者，问他是男人的概率是多大？ 三、独立试验序列概型计算题

1、某人射击，击中的概率为0.8，现射5次，求下列事件的概率 （1） 恰击中3次 （2） 至少击中1次 （3）全击不中 2、某人去抽彩票，中奖的概率为0.2，求去三次才中奖的概率。

测验题（二）

一、填空

1.已知连续型随机变量的概率密度是(x)c 则c . 1x22x0x12.设的概率密度函数是f(x)，则（P10.5） 。

0其它3.有一批灯泡，次品率为0.02，求从这批灯泡中任取100个，则100个灯泡中的次品个数的概率分布

为 ,100个灯泡中恰有2个次品的概率是 。

4.已知某厂出产的布匹上的疵点数服从0.2的泊松分布，则一批布匹上的疵点数的概率分布为 。恰有2个疵点的概率是 。

15.在[0,1]上服从均匀分布的概率密度为 。该随机变量落在[0,]内的概率为 。

26.已知某种电子管的寿命服从1000的指数分布，则这种电子管的寿命的概率密度为 。 7.已知~N(0,1)，则P(0.50.5)= 。

X8.设离散型随机变量X的概率分布为 p012，其分布函数为F(x)，则F(1.8) 。

0.50.30.29．设离散型随机变量X的分布函数为F(x),则P(aXb)= . 二、计算题

1.有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求3件中次品数的概率分布。

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1x1100e2.某电子元件的寿命（小时）服从指数分布，其概率密度为（x)1000x0其它，求（1）元件寿命至

少在200小时的概率 （2）将3只这种元件连接成为一个系统，且至少2只元件失效时系统失效，又设3只

元件工作相互独立，求系统的寿命至少为200小时的概率。

3.已知在正常情况下，学生的考试成绩服从正态分布，如果已知70，216，求某学生考试成绩在60到80分之间的概率。

4.已知某电话机在一小时内呼唤次数服从5的泊松分布，求某小时内呼唤次数不超过3次的概率。

1205.已知离散型随机变量的概率分布为，求的分布函数。

p0.20.30.5测验题（三）

一、填空

1.甲，乙两人独立地射击，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，甲共射3次，乙射两次，则甲，乙射中次数的联合概率分布、边缘概率分布为 。

2.已知随机变量X、Y相互独立，二维随机变量(X,Y)的联合概率分布如下，请将表内空白处填入适当的数。

3.已知二元随机

Y X y1 1 81 6y2 1 8 y3 pi 1 变量(,)的联合概率分布如下表，则

x1 x2 pj 13P(,04) ，P(12,34) 221 2 3 4 

1 1/4 0 0 1/16 2 1/16 1/4 0 1/4 3 0 1/16 1/16 0

1exeyexyxy,x0,y04.二维随机变量(X,Y)联合分布函数为F(x,y)，则边缘分布函数FX(x)0其他为 。

二、计算题

1.袋中有2只黑球，2只白球，3只红球，从中任取2只，用表示取到黑球的只数，以表示取到白球的只

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数（1）求(,)的联合分布律 （2）求P(2)，P(221)。

2.已知二元随机变量(,)的联合概率分布如下表，判断随机变量之间是否独立？

 -1 0 1 3/16 1/16 3/16 3/8 1/16 1/8 0 1

测验题（四）

一、填空

1．某人射击一次，击中的概率是0.8，则5次射击中平均击中次数为 。

2．用人工织布机所织布批上的平均疵点数为2，则这种布批上疵点数的概率分布为 。

3．某厂生产的电子元件的平均寿命为1000小时，则该厂生产的这类电子元件寿命的方差为 。 4．E，则E ，D 。 D25．已知E(X),D(X)，根据契比雪夫不等式，有PX2 .

二、计算题

1.共10件产品，其中6件正品，从中一次任取3件 ，求（1）3件中的次品数的概率分布 （2）3件中的次品数的数学期望 （3）3件中的次品数的方差。

120102.已知与相互独立，且，，求E()，D()。

p0.20.30.5p0.40.62x0x13.已知连续型随机变量的概率密度为(x)，求的数学期望及方差。

0其它14224.已知1,2,3是三个独立的随机变量，且Ei,Dii2（i1,2,3），16663，求E，D。

5．一箱饮料100瓶，饮料的平均重量是0.5kg，标准差是0.1kg，求一箱饮料重量不超过52kg的概率。 6．2008年元月，我国南方地区发生了严重的雪灾，我国人民和政府积极援助受灾地区的人民，我校管理学院

和法政学院的学生也参加到捐款行列中去，如果每个同学捐款的期望值是100元，标准差是2元，求这两个学院07级的225名学生捐款不少于22530元的概率。 7．已知~B(100,0.2)，求P(1030)。

8．设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏开灯的概率是0.8，假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开灯数在7900与8100之间的概率。

测验题（五、六、七）

一、填空

1．设X1,X2,Xn是来自正态总体N(,2)的样本，则 X～ ，

XX～ ，～ ，/nS/n第 5 页 共 12 页

(n1)S22～ 。

n2．设X1,X2,Xn相互独立且服从标准正态分布，则称统计量 Xi2服从自由度为 的 分布。

2i1记为 。

3.已知~N(0,1)，P(u)0.95，则u 。

224.已知~T(5)，P(t)0.95，则t 。

2222

5.已知~2(5)，则P(22)0.95，则， ，2 。

1222

126.设是总体参数，ˆ是的估计量，如果 ，就说ˆ是的无偏估计量。

ˆ是总体参数的估计量，如果 ，就说ˆ比ˆ是更有效的估计。 7.设ˆ1与122nn1128.XXi是总体 的无偏估计，S(XiX)2是总体 的无偏估计。 ni1n1i19.设是总体参数，如果P(12)1二、计算题

1．设总体X的概率分布为

^^(01)，就称(1,2)为的置信度为1的 。

^^X 0 1 2 3

p 2 2(1-) 2 1-2

其中（0<<1/2）未知参数，利用样本：3，1 ，3，0，3，1，2，3 ，求的矩估计值

x0x12．已知总体X的概率密度为(x；)，求的矩估计量

0其它3．某打包机所打的一批包的重量服从正态分布，已知总体方差D(X)0.01，现从中抽取9包，称得重量如下：

0.8 ，0.8 0.9 ，0.9 ，1.1 ，1.1 ，1.2 ，1.2 ，1 求总体数学期望的置信度为0.95的双侧置信区间。

4．一个车间生产铁钉，从某天的产品里随机抽取5个，量得长度如下（单位；毫米）

14.8 15.1 14.9 15.2 15

并已知铁钉服从正态分布，求平均长度的双侧置信区间（置信度为0.95）。

5．已知打包机所打的包的重量服从正态分布，从中抽取了9包，称得它们的重量，计算得样本标准差S =0.3，求包的重量方差的双侧置信区间（置信度为0.95）。

6．某机床加工的铁钉的长度服从正态分布，如果已知铁钉长度的方差为0.09，从中抽取了6个，量得长度如下：（厘米）

1.98 2.00 2.02 1.99 2.01 2.00 问铁钉的平均长度是否为2.01（=0.05）

7．已知我校京师家园每户人家的月用电量服从正态分布，现抽取了9户调查用电量，得样本平均值为X=102

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度，样本方差S2=36，试以0.05的显著性水平检验我校京师家园每户人家的月用电量否为100度。

测试（一）

1. A1A2A2A3A1A3 2. 0 ABAB=

3. 0.5 P(AB)P(A)P(B)

4. 0.44 P(AB)P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)P(A)P(B) 5. 0.38 P(AB)P(A)P(B)P(AB),P(AB)P(A)P(BA)

6. 0.496 P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)

或二：

P(ABC)1P(A+B+C)=1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)

1. 设三人破译密码的事件为A,B,C.三人至少有一人破译为D

P(D)P(ABC)1P(A+B+C)=1P(ABC)3 5223321C4A3C4A33C32A2C292311P(B)P(C)P(B)2. 1）。P(A) 2）。 3), 或 33334164848483. 设第一次取出白球事件为A，第二次取出黑球为B

11C4C622C10A2 P(AB)1C61C104 91(5%0.25%)0.02625 24. 设此人恰好色盲为A。P(A)2）。是色盲的事件为A，是男人的为B

P(BA)三

P(AB)P(B)P(AB)0.4878 P(A)P(A)131).P(A)C5(0.8)3(0.2)20.20482).P(B)1(0.2)50.999683).P(C)(0.2)50.000322.P(A)0.820.20.128

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测试（二）

一．1…….

(x)dx1c1C1dx11x2c(arctanx)1

,2.。0.25 P(10.5)0.51f(x)dx0dxdx2xdx0.25

1000.5k3.。。P{Xk}C100(0.02)k(0.98)100k2 C100(0.02)2(0.98)9 8k(0.1.2.3......100)

4.。P{Xk}e0.20.2kk!(k0.1.2.3.......) e0.220.2 2!15.。。f(x)010x111 P(0x)21dx

022其他1x11000e6. f(x)10000x0其他

7、2(0.5)1 8、0.8

9、P(axb)F(b)F(a0) 二、 1.

03C4C1P{X0}36...C10612C4C1P{X1}36...C102P{X2}CC3....3C10102416

3C41P{X3}3C1030x1100e1F(200)e2 1002. 1） P{x200}1P{x200}12） P{y2}C3(e3. P{60x80}(222200)(1e2)e(23)e34 e2807060705)()2()10.9596 442第 8 页 共 12 页

4. P{X3}P{X0}P{X1}P{X2}P{X3}0.265 5.

当x0时，，F(x)=00x1,,F(x)0.21x2,,F(x)0.5x2,,,F(x)1

测试（三） 1. 2.

X\\Yy1y2y3pix11111248124x1313 28844p111j6231P(133.

22,04)14, P(12,34)516,)4.Flim(1exeyexyxy)1exX(x)F(xy|ylim|F(x,y)00二．。 1. 略

0120361212121 P(2)27，P(221)57 164212102121002.独立

测试（四） 1. 4

2. P{Xk}e22kk!(k0.1.2.3.......)

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x0其他

3.。。DX10002 4.。EE(E1)E(E)0 DD DD(E1)D(E) 1DD5.. 根据契比雪夫不等式, PX23 4二．

1. 1）设X为抽出的三件产品中的次品数，则概率分布为 X 0 1 2 3 P C36C216C4C1C264C34C3 10C3 10C3 10C3 10

即 X 0 1 2 3 P 11316 2 10 30 （2）

E(X)011316122103301.2E(X2)011316124109302

D(X)E(X2)E(X)20.56 2

E()00.210.320.51.3E()00.410.60.6E()E()E()1.9 D()E(2)E()20.61D()E(2)E()20.24由于,相互独立，则D()D()D()0.85 3…EXxf(x)dx1x2xdx2 E(X2)0x2f(x)dx1230x2 DXE(X2)E(X)2118 4

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xd12x

142Ei,Dii2,,1236661427EE1E2E3

66662121624321164DD1D2D3363636365

n100.0.5.0.1100P{X52}P{100Xi50Xi50i1n5250n}P{i112}(2)

6

1．设Xi表示每名同学的捐款数，i1,2,225，由题意知，E(Xi)100,2，225Xin根据中心极限定理， Xi1n近似服从N(0,1)，所求概率为

P225Xi22530i1225Xin1Pi12253022500n152

1PX11(1)0.15877.

n100.p0.2EXnp20.DXnp(1p)16. P{102020420430204}P{2.542.5}

(2.5)(2.5)2(2.5)18

X1第i灯亮i0第i灯不亮P{X1}0.8P{X0}0.2np8000,,np(1p)1600

10000Xi是亮灯数。、满足拉普拉斯定理

i1第 11 页 共 12 页

则

10000100P{7900X8100}P{4010000Xi1i800040100}40

P{2.5

Xi1i80002.5}(2.5)(2.5)2(2.5)140第 12 页 共 12 页