控制系统综合课程设计—切换系统的仿真

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目 录

题目：切换系统的仿真 ................................................... 2 摘要 ................................................................... 3 1 引言 ................................................................ 4 2 一般控制系统 ........................................................ 4

2．1 控制器的设计 .................................................. 4 2．2 仿真实例 ...................................................... 5 2．3 改变参数对系统性能的影响 ...................................... 6

2.3.1 时滞环节对系统性能的影响 ................................. 7 2.3.2 切换函数对系统性能的影响 ................................. 8 2．4 状态观测器的设计 ............................................. 10

2.4.1 仿真实例 ................................................ 10

3 非线性系统 ......................................................... 12

3．1 非线性切换系统的稳定性 ....................................... 12 3．2 改变参数对非线性系统性能的影响 ............................... 16

3.2.1 时滞环节对系统性能的影响 ................................ 16 3.2.2 切换函数对系统性能的影响 ................................ 17 3．3 非线性系统的控制器设计 ....................................... 18

3.3.1 仿真实例 ................................................ 18

4 结论 ............................................................... 21 参考文献 .............................................................. 23

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题目：切换系统的仿真

问题描述：利用Matlab软件仿真如下随机切换系统

(t)Ax(t)Bx(t(t))Du(t) 1、一般控制系统：x第 2 页 共 23 页

其中x为状态，u为控制。

(t)Ax(t)Bg(x(t))Wg(x(td(t))) 2、非线性系统：x要求：

（1）给出仿真程序，系统的状态曲线；

（2）改变参数，探索控制算法的设计及其性能。

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课 程 设 计 报 告 摘 要

摘要：本文通过对两种切换系统的仿真，研究了切换系统的稳定性能。第一章简单介绍了切换系统的定义以及其稳定性能的特点。第二章通过对一般控制系统的仿真，探讨了状态反馈控制器的设计及对系统稳定性能的影响，改变时延函数，切换律，系统稳定性能的改变，最后引入了状态观测器来改善系统性能。第三章也是通过分析与仿真，探讨切换函数的引入以及各参数对系统稳定性能的影响，最后还在系统里加入一个状态反馈控制器有效提高了系统稳定性能。 摘要 切换系统 稳定性能 观测器 控制器 simulink仿真 控制系统综合课程设计报告

1 引言

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切换系统是一个由一个系列的连续或离散的子系统以及协调这些子系统之间起切换的规则组成的混合系统。关于切换系统最重要的研究是关于其稳定性能的研究，切换系统的稳定性具有三个基本问题：对于任意切换序列系统的稳定性；对给定的某类切换序列系统的稳定性；构造使系统能够稳定的切换序列，即镇定问题。切换系统的稳定性有一个显著的特点是，其子系统的稳定性不等于整个系统的稳定性，即可能存在这样的情形，切换系统的每个子系统的是稳定的，但是在按照规则进行切换时，会导致整个系统不稳定，与此相对，也可能存在这样的情形，尽管每个子系统是不稳定的，但是可以通过某种切换规则使整个系统稳定。切换系统是非线性系统，即使每个子系统都是线性定常系统。

2 一般控制系统

给定一般线性切换系统模型如下：

(t)Ax(t)Bx(t(t))Du(t) （1） x 其中，Ai、Bi、Di分别是第i个子系统的适当维数的矩阵，x∈Rn、u∈Rr分别为系统的状态和控制输入，σ：[0，+∞] → k={1,2，…，m}是切换函数[1]，τ(t)是一个延时环节。本文研究的是一个基于二维状态变量共两个切换模式的线性切换系统。

2．1 控制器的设计

切换系统是一个由一个系列的连续或离散的子系统以及协调这些子系统之间起切换的规则组成的混合系统。切换系统的稳定性是切换系统分析研究的重点问题。对于切换系统稳定性方面的研究，目前使用最广泛的一种方法是李雅普诺夫函数法。其主要思想为：对于切换系统，如果所含各子系统存在统一李雅普诺夫函数，那么系统对于任意的切换规则都是稳定的[2]。徐启程[1]等人通过构造Lyapunov函数，设计出鲁棒状态反馈控制器u=Kix，确保闭环系统在任意切换策略下是随机渐进稳定性。

(t)Ax(t)Bx(t(t))Du(t)x对系统（1）设状态反馈控制律为：u=Kix，则，

uKx(t)通过状态反馈形成的闭环系统如下：

(t)(ADK)x(t)Bx(t(t))，x(t0)x(0) （2） x控制系统综合课程设计报告

2．2 仿真实例

设系统（2）有两个切换模式：

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A1=[-4 0;0 -5];B1=[-1 0;0 -1];D1=[0.2;0.1];K1=[-4.1095 3.8660]

A2=[-8 0;0 -5];B2=[-2 0;0 -1];D2=[0.1;0.1];K2=[1.6342 1.0718] 设初始状态x0=[-1;1]，延时τ(t)=1s。

(1)搭建simulink模型。

图2.1 系统（1）simulink模型

(2)编写仿真程序，即在Function模块中编写状态方程以及切换函数。 function y = fcn(x,x1 ) %#codegen

A1=[-4 0;0 -5];B1=[-1 0;0 -1];D1=[0.2;0.1];K1=[-4.1095 3.8660]; A2=[-8 0;0 -5];B2=[-2 0;0 -1];D2=[0.1;0.1];K2=[1.6342 1.0718]; m=x(1)*x(2); if (m>0.5)

A=A1;B=B1;D=D1;K=K1; else

A=A2;B=B2;D=D2;K=K2; end

u=K*x;y = A*x+B*x1+D*u;

这里选择切换函数mx(1)*x(2),当乘积大于0.5时，选择第一个子系统，否则选择第二个子系统。

(3)在matlab命令行窗口分别输入如下指令，得到仿真结果。 plot(simout.time,simout.signals.values); x=simout.signals.values;plot(x(:,1),x(:,2),'-');

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状态响应曲线10.80.60.40.2x(1)x(2) 第 6 页 共 23 页

x(1),x(2)0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 012345t/s678910

图2.2 系统状态响应

状态轨迹曲线1.210.80.6x(2)0.40.20-0.2-1-0.8-0.6-0.4x(1)-0.200.20.4

图2.3 系统状态轨迹

由图2.3可以看出，系统状态由初始状态趋向于0，快速稳定，系统性能良好。

2．3 改变参数对系统性能的影响

在上述仿真实例中，影响系统性能的参数变量有延时时间，切换函数等，下面就对这两个参数分别进行讨论。

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2.3.1 时滞环节对系统性能的影响

对系统（2）取如下参数：

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A1=[-4 10;-100 -5];B1=[-1 0;0 -1];D1=[0.2;0.1];K1=[-4.1095 3.8660]

A2=[-8 100;-10 -5];B2=[-2 0;0 -1];D2=[0.1;0.1];K2=[1.6342 1.0718]

分别取延时τ(t)为0.2s,0.4s，0.8s，仿真观察状态曲线：

状态轨迹曲线1.51x(1),x(2)1.510.50-0.5-1 0x(1)x(2)状态响应曲线 x(2)0.50-0.5-1-0.50x(1)0.511.512t/s345

图2.4 延时0.2s时的状态响应和轨迹曲线

状态轨迹曲线1.51x(1),x(2)1.510.50-0.5-1 0x(1)x(2)状态响应曲线 x(2)0.50-0.5-1-0.50x(1)0.511.512t/s345

图2.5 延时0.4s时的状态响应和轨迹曲线

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状态轨迹曲线1.51x(1),x(2)第 8 页 共 23 页

x(1)x(2)状态响应曲线1.510.50-0.5-1 0x(2)0.50-0.5-1-0.50x(1)0.511.512t/s345

图2.6 延时0.8s时的状态响应和轨迹曲线

比较上面三组图得，在此时滞切换系统里，对于同一个系统，相同的控制器参数，当系统的时滞越小时，系统越快趋于稳定，振荡越小，性能越好。所以，时滞的大小不仅影响着系统的动态品质，也影响着系统的稳定性能。 2.3.2 切换函数对系统性能的影响

切换系统子系统的稳定性不代表整个系统的稳定性，即有可能每个子系统都是稳定的，但经过切换规则的选择导致整个系统不稳定，或者子系统都是不稳定的，但通过切换规则的选择，整个系统达到稳定。因此切换规则的选择对于整个切换系统的稳定性有十分重要的作用，下面通过对系统（2）进行不同切换规则下的仿真来验证这一点。

（1）对切换函数m取随机数mrand(1)*0.80.1

function y = fcn(x,x1 ) %#codegen

A1=[-4 10;-100 -5];B1=[-1 0;0 -1];D1=[0.2;0.1];K1=[-4.1095 3.8660]; A2=[-8 100;-10 -5];B2=[-2 0;0 -1];D2=[0.1;0.1];K2=[1.6342 1.0718]; m=rand(1)*0.8+0.1; if (m>0.5)

A=A1;B=B1;D=D1;K=K1; else

A=A2;B=B2;D=D2;K=K2; end

u=K*x;y = A*x+B*x1+D*u;

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状态响应曲线1.51x(1)x(2) 1.510.5第 9 页 共 23 页

状态轨迹曲线x(1),x(2)0.50-0.5-1-1.5 012t/s345x(2)0-0.5-1-1.5-1-0.50x(1)0.511.5

图2.7 系统状态响应 图2.8 系统状态轨迹

（2）对切换函数m取对数mlog(x(1)^2)log(x(2)^2)

function y = fcn(x,x1 ) %#codegen

A1=[-4 10;-100 -5];B1=[-1 0;0 -1];D1=[0.2;0.1];K1=[-4.1095 3.8660]; A2=[-8 100;-10 -5];B2=[-2 0;0 -1];D2=[0.1;0.1];K2=[1.6342 1.0718]; m=log(x(1)^2)-log(x(2)^2); if (m>0.5)

A=A1;B=B1;D=D1;K=K1; else

A=A2;B=B2;D=D2;K=K2; end

u=K*x;y = A*x+B*x1+D*u;

状态响应曲线1.51x(1)x(2) 1.510.5状态轨迹曲线x(1),x(2)0.50-0.5-1 0x(2)0-0.5-1-112t/s345-0.50x(1)0.511.5

图2.9 系统状态响应 图2.10 系统状态轨迹

（3）对切换函数m取指数mexp(x(1)x(2))

function y = fcn(x,x1 ) %#codegen

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m=exp(x(1)+x(2)); if (m>0.5)

A=A1;B=B1;D=D1;K=K1; else

A=A2;B=B2;D=D2;K=K2; end

u=K*x;y = A*x+B*x1+D*u;

状态响应曲线42x(1),x(2)第 10 页 共 23 页

A1=[-4 10;-100 -5];B1=[-1 0;0 -1];D1=[0.2;0.1];K1=[-4.1095 3.8660]; A2=[-8 100;-10 -5];B2=[-2 0;0 -1];D2=[0.1;0.1];K2=[1.6342 1.0718];

状态轨迹曲线 x(1)x(2)432x(2)010-2-1-4 012t/s345-2-4-3-2x(1)-101

图2.11 系统状态响应 图2.12 系统状态轨迹

由上面三组图可得，不同切换函数对系统稳定性能影响极大，当切换函数为指数函数时，系统持续振荡，不会趋于稳定。

2．4 状态观测器的设计

在控制系统的设计过程中，我们一般是设计各种满足一定性能指标的状态反馈控制器[3]，然而在很多实际控制系统中，状态是不易测量的，从而状态反馈控制器在物理上难以实现。解决这一问题的一个有效方法就是采用状态观测器来获得系统状态的估计值，设计出基于状态观测器的输出反馈控制器。文献[4]使用了线性矩阵不等式(LMI)来设计连续性不确定时滞系统的状态观测器。

对系统（1）设计一个状态观测器：

ˆAxˆ(t)Bxˆ(t(t))Du(t)L(yCxˆ(t))，xˆ(t0)xˆ(0) （3） x[4]

2.4.1 仿真实例

（1）设系统（2）有两个切换模式：

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0100000，B1000，D10，

A10-1100-50.01001.244K10.96812.51884.2190；

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1111600-2，B2491，D21，

A22174618424-4K2[30.9590134.68127.8113]

设初始状态x0=[0.8;0.7;-0.6]，延时τ(t)=0.4s。 仿真结果如下：

状态响应曲线211状态轨迹曲线x(1),x(2),x(3)00-1-11020-1-2-201020t/s304050

图2.13 系统状态响应和轨迹曲线

（2）加入状态观测器，系统仿真程序如下： function y = fcn(x,x1 ) %#codegen

182.6;442.2 -2147.3 -219.5];

A=A1-LC;B=[6 0 0;4 -9 1;-4 -2 -4];D=[-2;1;-4];K=[30.9590 -134.6812 -7.8113];

u=K*x;y = A*x+B*x1+D*u;

A1=[-1 -1 11;-2 -1 7;4 6 -18];LC=[425.9 -2088.1 -240.1;-224.1 1194.5

设初始状态x0=[0.1;0.1;0.1]

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状态响应曲线0.30.210.5第 12 页 共 23 页

状态轨迹曲线x(1),x(2),x(3)0.100-0.50.100.40.2-0.10-0.1012t/s345

图2.14 观测器状态响应和轨迹曲线

3 非线性系统

给定非线性系统模型如下：

(t)Ax(t)Bg(x(t))Wg(x(td(t))) （4） x 其中，Ai、Bi、Wi分别是第i个子系统的适当维数的矩阵，x∈Rn为系统的状态输入，σ：[0，+∞] → k={1,2，…，m}是切换函数[1]，d(t)是一个延时环节，g(x)为非线性环节。本文研究的是一个基于死区特性函数的非线性切换系统。

3．1 非线性切换系统的稳定性

切换系统的稳定性是研究的重点问题，下面通过实际的例子，给出各个子系统的状态曲线图，并与切换后的状态图进行比较，观察切换系统的作用。

（1）对系统（4）取如下参数：

-410100.82190.7732 A1，， B1W1-100-5010.41100.3866-8100200.16430.1072 A2，B201，W20.16430.1072 （5） -10-5 Simulink模型如下：

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第 13 页 共 23 页

图3.1 系统（4）simulink模型

仿真程序如下：

function y = fcn(x,x1,x2) %#codegen

A1=[-4 10;-100 -5];B1=[-1 0;0 -1];W1=[-0.8219 0.7732;-0.4110 0.3866]; A2=[-8 100;-10 -5];B2=[-2 0;0 -1];W2=[0.1643 0.1072;0.1643 0.1072]; m=mean(x); if (m>0)

A=A1;B=B1;W=W1; else

A=A2;B=B2;W=W2; end

y = A*x+B*x1+W*x2;

仿真结果如下：

状态响应曲线32x(1),x(2)状态轨迹曲线 x(1)x(2)32110-1-2 0x(2)0-1-2-112t/s345-0.50x(1)0.51

图3.2 子系统1的状态响应 图3.3 子系统1的状态轨迹

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状态响应曲线32x(1),x(2)第 14 页 共 23 页

状态轨迹曲线 x(1)x(2)1.511x(2)0.50-0.5-20-1-2 012t/s345-10x(1)123

图3.4 子系统2的状态响应 图3.5 子系统2的状态轨迹

状态响应曲线32x(1)x(2) 状态轨迹曲线32x(2)x(1),x(2)10-1-2 010-1-1.512t/s345-1-0.5x(1)00.51

图3.6 切换系统的状态响应 图3.7 切换系统的状态轨迹

比较上面三组图得，子系统1振荡较大，趋于稳定慢，动态响应性能较差，加入切换系统后，稳定性能有所改善。

（2）对系统（4）取如下参数：

A1=[-5 2;1 -6];B1=[-8 2;1 -3];W1=[0 0;0 0];

A2=[-8 3;1 -2];B2=[-10 2;1 -3];W2=[-3.5 -1.4;-21 -8.4];

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状态响应曲线10.5x(1)x(2) 第 15 页 共 23 页

状态轨迹曲线10.80.6x(1),x(2)0x(2)0.40.20-1-0.5-1 012t/s345-0.5x(1)00.5

图3.8 子系统1的状态响应 图3.9 子系统1的状态轨迹

状态响应曲线1510x(1)x(2) 1510x(2)状态轨迹曲线x(1),x(2)5500-5 012t/s345-5-20x(1)24

图3.10 子系统2的状态响应 图3.11 子系统2的状态轨迹

状态响应曲线10.5x(1)x(2) 状态轨迹曲线10.80.6x(1),x(2)0x(2)0.40.20-1-0.5-1 012t/s345-0.5x(1)00.5

图3.12 切换系统的状态响应 图3.13 切换系统的状态轨迹

比较上面三组图得，子系统2状态轨迹发散，系统不稳定，子系统1稳定，加入切换系统后，整个系统稳定，且动态响应性能良好。

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3．2 改变参数对非线性系统性能的影响

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与一般控制系统一样，影响系统性能的参数变量有延时时间，切换函数等，下面就对这两个参数分别进行讨论。 3.2.1 时滞环节对系统性能的影响

对系统（4）取如下参数：

A1=[-4 0;0 -5];B1=[-1 0;0 -1];W1=[-0.8219 0.7732;-0.4109 0.3866]

A2=[-8 0;0 -5];B2=[-2 0;0 -1];W2=[0.1634 0.1072;0.1634 0.1072]

对时滞环节，分别取常值延时和非线性延时，进行仿真。 （1）取常值延时，simulink模型如下：

图3.14 常值延时下的simulink模型

仿真结果为：

状态响应曲线10.5x(1)x(2) 状态轨迹曲线10.80.6x(1),x(2)0x(2)0.40.20-1-0.5-1 012t/s345-0.5x(1)00.5

图3.15 常值延时下的状态响应 图3.16 常值延时下的状态轨迹

（2）取非线性延时，simulink模型如下：

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图3.17 非线性延时下的simulink模型

仿真结果为：

状态响应曲线10.5x(1),x(2)状态轨迹曲线 x(1)x(2)10.80.60x(2)0.4-0.50.20-1-1 012t/s345-0.8-0.6-0.4x(1)-0.20

图3.18 非线性延时下的状态响应 图3.19 非线性延时下的状态轨迹

比较上面两组图得，在此时滞非线性切换系统里，对于同一个系统，相同的控制器参数，非线性延时下的系统更快趋于稳定，振荡更小，性能更好。所以，时滞的大小不仅影响着系统的动态品质，也影响着系统的稳定性能。 3.2.2 切换函数对系统性能的影响

与一般控制系统一样，切换规则的选择对于整个切换系统的稳定性有十分重要的作用，下面通过对系统（5）进行不同切换规则下的仿真来验证这一点。 （1）对切换函数m取最小值mmin(x(1),x(2)) function y = fcn(x,x1,x2) %#codegen

A1=[-4 10;-100 -5];B1=[-1 0;0 -1];W1=[-0.8219 0.7732;-0.4110 0.3866]; A2=[-8 100;-10 -5];B2=[-2 0;0 -1];W2=[0.1643 0.1072;0.1643 0.1072]; m=min(x(1),x(2)); if (abs(m)>0.04) A=A1;B=B1;W=W1;

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else

A=A2;B=B2;W=W2; end

y = A*x+B*x1+W*x2;

状态响应曲线32x(1)x(2) 321第 18 页 共 23 页

状态轨迹曲线x(1),x(2)10-1-2 0x(2)0-1-2-112t/s345-0.50x(1)0.51

图3.20 m取最小值时的状态响应 图3.21 m取最小值时的状态轨迹

把上述这组图与图3.6、3.7进行比较得，当切换规则选为状态量的最小值时，系统振荡更小，更快趋于稳定，系统动态响应性能更好。

3．3 非线性系统的控制器设计

为了提高系统的稳定性能，考虑对非线性时滞切换系统设计一个状态反馈控制器

u(t)Kx(t)，文献[5]在基于连续时间切换时滞系统的有限时间镇定问题上设计了一

个异步切换控制器使得闭环系统是有限时间稳定的。

对系统（4）增加一个状态反馈控制器uKx(t)，则

(t)Ax(t)Bg(x(t))Wg(x(td(t)))Du(t)，uKx(t) xx(t0)x(0)

3.3.1 仿真实例

本节通过一个数值例子来验证增加一个状态反馈控制器对系统稳定性能的影响。

(t)Ax(t)Bg(x(t))Wg(x(td(t)))考虑以下参数： （1）对系统x157.8529241.24140.20.2，，； A1B1W1217.2737126.42280.60.6353.1349575.13490.10.1A2，B20.4，W20.4； 676.7944280.4123控制系统综合课程设计报告

g1(x(t))sin(x(1))1.12sin(x(2))，g2(x(t))0.01sin(x(1))；

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g1(x(td(t)))0.5sin(x(1))，g2(x(td(t)))0.009cos(x(2))0.009；

d(t)=0.05s，x(0)=[-0.5;0.1]。 Simulink模型如下：

图3.22 无状态反馈控制的simulink模型

仿真程序如下：

① Matlab Function模块中： function y = fcn(x ) %#codegen

A1=[157.8529 241.2414;-217.2737 -126.4228];B1=[0.2;0.6]; A2=[353.1349 575.3646;-676.7944 -280.4123];B2=[0.1;0.4]; m=mean(x); if (m>0) A=A1;B=B1;

g1=sin(x(1))-1.12*sin(x(2)); else

A=A2;B=B2; g1=0.01*sin(x(1)); end

y = A*x+B*g1;

② Matlab Function1模块中： function y = fcn(x ) %#codegen

W1=[0.2;0.6]; W2=[0.1;0.4]; m=mean(x); if (m>0) W=W1;

g2=0.5*sin(x(1)) else

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W=W2;

g2=0.009*cos(x(2))-0.009; end y = W*g2;

第 20 页 共 23 页

仿真结果如下：

2.521.510.5x 1091状态轨迹曲线x(2)0-0.5-1-1.5-2-2.5-2-1.5-1-0.5x(1)00.511.5x 10291

图3.23 无状态反馈控制时的状态轨迹

（2）引入状态反馈控制器uKx(t)

(t)Ax(t)Bg(x(t))Wg(x(td(t)))Du(t)考虑如下参数： 对系统x6.79010.9287114K1*10，D111； 6.76380.92760.87611.2754113，。 D2K2*10110.57751.2213仿真程序如下：

① Matlab Function模块中：

function y = fcn(x ) %#codegen

A1=[157.8529 241.2414;-217.2737 -126.4228];B1=[0.2;0.6];D1=[1 1;1 1];K1=[-6.7901 -0.9287;6.7638 0.9276]*10^4;

A2=[353.1349 575.3646;-676.7944 -280.4123];B2=[0.1;0.4];D2=[1 1;1 1];K2=[-0.8761 1.2754;0.5775 -1.2213]*10^3; m=mean(x); if (m>0)

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A=A1;B=B1;K=K1;D=D1; g1=sin(x(1))-1.12*sin(x(2)); else

A=A2;B=B2;K=K2;D=D2; g1=0.01*sin(x(1)); end

u=K*x;y = A*x+B*g1+D*u;

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② Matlab Function1模块中与（1）中一样。 仿真结果如下：

状态轨迹曲线0.60.50.40.3x(2)0.20.10-0.1-0.2-0.5-0.4-0.3-0.2x(1)-0.100.10.2

图3.24 引入状态反馈控制器的状态轨迹

比较上述两图可得，引入状态反馈控制器后系统稳定性能明显提高，能清晰地看到闭环系统有限时间稳定[5]。

4 结论

本文主要通过对两种切换系统的仿真研究探讨了各个参数对系统稳定性能的影响，首先通过实例仿真，了解切换系统的稳点性能特点，子系统的稳定性不代表整个系统的稳定性，切换系统的加入会影响系统的稳定性能，通过合理地选择切换律将有效提高系统的稳定性，反正系统状态曲线可能会发散，永远不趋于稳定。然后通过改变系统参数，讨论了包括延时函数，切换函数对系统性能的影响，其中在一般控制系统里加入了状态观测器，在非线性系统里引入状态反馈控制器，皆提高了系统的稳定

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性能。通过本次课程设计，不仅对切换系统的稳定性研究有了初步的了解，也提高了matlab的实践应用能力，但由于知识能力水平的有限，很多问题没有透彻理解，比如构造统一李雅普诺夫函数法，时滞切换函数的有限稳定性的极点配置等，希望有机会能深入探讨。最后，感谢老师的指导！

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参 考 文 献

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[1] 徐启程，靖新，孙常春.基于LMIs的不确定随机切换系统的H∞鲁棒控制，计算技术与自动化，27（1）：9-11.

[2] 宋林.二阶线性切换系统稳定切换律的设计与仿真研究[D].河北：河北大学，2010:9.

[3] Hao Ho Choi and Myung Jin Chung,Memoryless H Control Design for Linear Systems with Delayed State and Control,Automatic.1995,Vol.31,No.6.917-919. [4] 黄成.基于观测器的线性时滞系统的控制器设计与分析—LMI方法论文[D].南京：南京理工大学，2003:11.

[5] 王瑞华.切换时滞系统的有限时间稳定性研究[D].济宁：曲阜师范大学，2012:25-46.

[6] G.Yin,and C.Zhu,“Randomly Switching Systems:Models,Analysis,and Applications,”CCDC,2009.