北师大版九年级数学下册第三章：圆中十种常见辅助线模型

圆中十种常见辅助线模型

（一） 连半径，构建等腰三角形 例题

（二 ）遇见直径，构建直角三角形

例题

如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）

1

A．60°

【答案】B

【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．

B．50°

C．40°

D．20°

（三）添加弦心距，用垂径定理解决线段长

例题

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB的长为6米，∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB）.求点C到弦AB所在直线的距离.

（参考数据：sin41.3°≈0.66， cos41.3°≈0.75 ， tan41.3°≈0.88）

【解题过程】解：连接CO并延长，交AB于点D，所以CD⊥AB，所以D为AB

2

中点，所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离即为线段CD的长. ………………2分 在Rt△AOD中，∵AD=

1AB=3，∠OAD=41.3°， 2AD3≈=4，…………8分 00.75cos41.3∴OD=AD·tan41.3°≈3×0.88=2.64，OA=

∴CD=CO+OD=AO+OD2.64+4=6.64.………………10分

答：运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.

（四）同弧或等弧，构建圆周角与圆心角对应关系，圆周角与圆圆周角角对应关系

例题

3

答案：100度

（五）遇见切点，连接圆心，构建垂直

例题

1如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）

A．2 【答案】B

【解析】连接OA，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以PA=3.

2.(2019·泰安) 如图,△ABC是eO的内接三角形,∠A＝119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为

A.32

°

B.31°

C.29°

D.61°

B．

C．

D．

4

【答案】A

【解析】连接CO,CF,∵∠A＝119°,∴∠BFC＝61°,∴∠BOC＝122°,∴∠COP＝58°,∵CP与圆相切于点C,∴OC⊥CP,∴在Rt△OCP中,∠P＝90°－∠COP＝32°,故选A.

（六）切线判定：（1）有交点，做半径，证垂直

（2）无交点，做垂直，证垂直

例题

1．（2019·常德，22题，7分）如图6，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与

AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．

ADBECO图6

【解题过程】证明：（1）连接OD，∵DE∥OA，∴∠AOC＝∠OED，∠AOD＝∠ODE，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∴∠AOC＝∠AOD，又∵OA＝OA，OD＝OC，∴△AOC≌△AOD（SAS），∴∠ADO＝∠ACO．∵CE是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC，∴∠ OCA＝90°，∴∠ADO＝＝90°，∴OD⊥AB， ∵OD为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．

5

ADBECO

（2）∵CE＝6，∴OD＝OC＝3，∵∠BDO＝90°，∴BO2BD2OD2，∵BD＝4，∴OB＝4232＝5，

∴BC＝8，∵∠BDO＝∠ OCA＝90°，∠B＝∠B，∴△BDO∽△BCA，∴∴

2如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．

（1）先作∠ACB的平分线；设它交AB边于点O，再以点O为圆心，OB为半径作⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）证明：AC是所作⊙O的切线；

483，∴AC＝6． ACBDOD，BCAC

6

（七）遇见内切圆，做三角形角平分线

例题

7

（八）阴影部分面积，连接弧两个端点与圆心构建扇形进行割补转换 例题

8

如图,∠AOB＝90°,∠B＝30°,以点O为圆心,OA为半径作弧交AB于点A,点C,交OB于点D,若OA＝3,则阴影部分的面积为________.

【答案】

【解析】连接OC,过点C作CN⊥AO于点N,CM⊥OB于点M,∠AOB＝90°,∠B＝30°,∴∠A＝60°,∵OA＝OC,∴△AOC为等边三角形,∵OA＝3,∴CN＝＝CN＝,∴S

32扇形

3433,CM239,S△AOC＝3,在Rt△AOB中,OB＝3OA＝33,S△OCB＝249333,∠COD＝30°,S扇形COD＝,S阴影＝S扇形AOC－S△AOC+S△OCB－S扇形COD＝. 444AOC＝

（九）点圆最值

9

（1）折叠模型

例题 如图，在△ABC中，ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是 ▲ 。

（2）直角模型

例题 如图，RtABC中，ABBC,AB6,BC4.P是ABC内部的一个动点，且满足PABPBC.则线段CP长的最小值为

A．

32 B．2 C．813121313 D．13

（十）阿氏圆

例题

10

11

12

13