圆中的辅助线

1．圆中作辅助线的常用方法：

（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。

（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。

（3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。

（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。

（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆O中，BD⊥OA于D，经常是：①如图1（上）延长BD交圆于C，利用垂径定理。 ②如图1（下）延长AO交圆于E，连结BE，BA，得Rt△ABE。

图1（上） 图1（下）

（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径， （7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。

（8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。 （9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。 （10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。

例题1：如图2，在圆O中，B为∠CBD的度数。

1例题2:如图3,在圆O中,弦AB、CD相交于点P，求证：∠APD的度数=（弧AD+

2的中点，BD为AB的延长线，∠OAB=500，求

弧BC）的度数。

图3

一、造直角三角形法 1.构成Rt△,常连接半径 例1. 过⊙O内一点M ,最长弦AB = 26cm,最短弦CD = 10cm ,求AM长;

2.遇有直径,常作直径上的圆周角

例2. AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,过D作⊙O的切线,交AC于E. 求证:CE = AE;

3.遇有切线,常作过切点的半径

例3 .割线AB交⊙O于C、D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF切⊙O于F. 求证:∠OAE = ∠OBF;

4.遇有公切线,常构造Rt△(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长)

例4 .小 ⊙O1与大⊙O2外切于点A,外公切线BC、DE分别和⊙O1、⊙O2切于点B、C和D、E，并相交于P，∠P = 60°。 求证：⊙O1与⊙O2的半径之比为1：3； 5．正多边形相关计算常构造Rt△

例5.⊙O的半径为6,求其内接正方形ABCD与内接正六边形AEFCGH的公共部分的面积.

二、欲用垂径定理常作弦的垂线段

例6. AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.(1)求证:EC = DF; (2)若AE = 2,CD=BF=6,求⊙O的面积;

三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形

AC上一点,AM延长线交DC延长线于F. 例7. AB是⊙O直径,弦CD⊥AB,M是求证: ∠F = ∠ACM;

四、切线的综合运用

1．已知过圆上的点，常_________________

例8.如图， 已知：⊙O1与⊙O2外切于P，AC是过P点的割线交⊙O1于A，交⊙O2于C，过点O1的直线AB ⊥BC于B.求证：

AO1PCBBC与⊙O2相切. 例9.如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于E，过E点作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB于C点．

求证：CD与⊙O相切于点E．

2.两个条件都没有,常___________________

例10. 如图，AB是半圆的直径， AM⊥MN，BN⊥MN，如果AM+BN＝AB，求证: 直线MN与半圆相切；

例11.等腰△ABC中,AB=AC,以底边中点D为圆心的圆切AB边于E点. 求证:AC与⊙D相切;

例12．菱形ABCD两对角线交于点O，⊙O与AB相切。 求证：⊙O也与其他三边都相切； 五、两圆相关题型

1．两圆相交作_____________________

例13.⊙O1与⊙O2相交于A、B，过A点作直线交⊙O1于C点、交⊙O2于D点，过B点作直线交⊙O1于E点、交⊙O2于F点. 求证:CE∥DF;

2.相切两圆作________________________

例14. ⊙O1与⊙O2外切于点P,过P点的直线分别交⊙O1与⊙O2于A、B两点，AC切⊙O1于A点，BC交⊙O2于D点。 求证：∠BAC = ∠BDP；

3．两圆或三圆相切作_________________

例15.以AB=6为直径作半⊙O,再分别以OA、OB为直径在半⊙O内作半⊙O1与半⊙O2，又⊙O3与三个半圆两两相切。 求⊙O3的半径；

4．一圆过另一圆的圆心，作____________

例16.两个等圆⊙O1与⊙O2相交于A、B 两点，且⊙O1过点O2，过B点作直线交⊙O1于C点、交⊙O2于D点. 求证：△ACD是等边三角形； 六、开放性题目

例17．已知：如图，以△ABC的边AB为直径的O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC．

（1）BC与O是否相切？请说明理由；

（2）当△ABC满足什么条件时，以点O，B，E，D为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由． C

C

E D

E D

B A OA O B

例题1：如图2，在圆O中，B为

的中点，BD为AB的延长线，∠OAB=500，求

∠CBD的度数。

解：如图，连结OB、OC的圆O的半径，已知∠OAB=500 ∵B是弧AC的中点 ∴弧AB=弧BC ∴AB==BC

又∵OA=OB=OC

∴△AOB≌△BOC（S.S.S） 图2

∴∠OBC=∠ABO=500

0

∵∠ABO+∠OBC+∠CBD=180 ∴∠CBD=1800 - 500- 500 ∴∠CBD=800

答:∠CBD的度数是800.

1例题2:如图3,在圆O中,弦AB、CD相交于点P，求证：∠APD的度数=（弧AD+

2弧BC）的度数。

证明：连接AC，则∠DPA=∠C+∠A

1∴∠C的度数=弧AD的度数

21∠A的度数=弧BC的度数

21∴∠APD=（弧AD+弧BC）的度数。

2