方法专题:中点的妙用
联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。
看到中点该想到什么？
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；
2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”； 3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；
4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；
5、有中点时常构造垂直平分线；
6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）； 7、倍长中线
8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理” 中点辅助线模型
一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
1、如图1所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（ ）
A．
二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”
2、如图，在Ｒｔ⊿ABC中，∠A=90°,AC=AB,M、N分别在AC、AB上。且AN=BM.O为斜边BC的中点.试判断△OMN的形状，并说明理由.
3、如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放
在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按ABCDA滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按BCDAB滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（ ） A. 2 B. 4－ C. D.1
691216 B． C． D．5555
A M N B O C AQMBDCF 第8题图.
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三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理” 4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）
如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC=BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？
5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）
如图所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6,AC=14，求DE的长
DAEFNMB图2-1C
6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）
如图所示，AB∥CD，BC∥AD ，DE⊥BE ，DF=EF，甲从B出发，沿着BA、AD、DF的方向运动，乙B出发，沿着BC、CE、EF的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B出发，则谁先到达F点？
7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）
ACD60，如图，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于点O，
DSC点S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点.
O求证：△SPQ是等边三角形。
P
A
图6-1
AD四、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，
常联想“八字型”全等三角形）
8、如图：梯形ABCD中，∠A=90°,AD//BC,AD=1,BC=2,CD=3,
EE为AB中点，求证：DE⊥EC
B
QBC.
.
9、如图甲，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B、C、G在同一直线上，M是AE的中点，（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，并证明；
（2）将图甲中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 F F E D A M A M D B E C
B C G
G A 图甲 图乙
五、有中点时常构造垂直平分线
110、如图所示，在△ABC中，AD是BC边上中线，∠C=2∠B.AC=2BC。
求证：△ADC为等边三角形。
六、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积） 11、（1）探索：已知ABC的面积为a， ①如图1，延长ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA，若ACD的面积为S1，则S1= （用含a的代数式表示）
②如图2，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE，若DEC的面积为S2，则S2= （用含
B D C a的代数式表示）
③在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD，FE,得到DEF（如图3），若阴影部分的面积为S3，S3= （用含a的代数式表示）
⑵发现：像上面那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF（如图4），此时，我们称ABC向外扩展了一次。可以发现，扩展一次后得到的DEF的面积是原来ABC面积的 倍 ⑶应用：如图5，若△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=AB，B1C= BC，C1A=CA，顺次连结A1，B1，C1，得到△A1B1C1. 第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1= A1B1，B2C1= B1C1，C2A1= C1A1，顺次连结A2，B2，C2，得到△A2B2C2，第三次操作… ，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2010，最少要经过 次操作. ．．．
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12、如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE 、 BE， 求证：S△ABE=
13、如图，M是ABCD中AB边的中点。CM交BD于点E,则图ABCD面积之比为
1S四边形ABCD。 2D E C 中阴影部分面积与
14、如图所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则
A M B S四边形AGCDS矩形ABCD等于：A、 B、 C、
564532 D、 43
七、倍长中线
15、如图，△ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。求证：AB⊥AD
16、如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：AB+AC>AD+AE
17、如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，
求证：△DEF为等腰直角三角形。
八、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
18、半径是 5 cm的圆中，圆心到 8 cm长的弦的距离是________
.
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19、半径为5cm的圆O中有一点P，OP=4，则过P的最短弦长_________， 最长弦是__________，
20、如图，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。
AOCBD
21、如图，在⊙O中，直径AB和弦CD的长分别为10 cm和8 cm，则A、B两点到直线CD的距离之和是_____.
22、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝2cm，BE＝6cm，∠CEA＝30， 求：CD的长；
23、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。
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0
B A
C .
倍长中线：
1．（2011平谷二模）24. 已知：如图①，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点， 过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
② 遇到中点引发六联想
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质 例1、如图1所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于【 】
69 B． C．12 D．16555 5分析：由AB=AC=5，所以，三角形ABC是等腰三角形，且边BC是底边；由点M为BC中点，如果连接AM，则根据等腰三角形的三线合一，得到AM是底边BC上的高线，这样就能求出三角形ABC的面积，而三角形AMC的面积是等腰三角形面积的一半，在三角形AMC中利用三角形的面积公式，求可以求得MN的长。
A．
解: 连接AM， ∵ AB=AC=5 , 点M为BC中点 ∴ AM⊥BC，
1BC=3, ∴ AM=AC2CM25232=4， 2111S△ABC= ×BC×AM=×6×4=12 , S△ACM= S△ABC =6；
222112∴ 6=×AC×MN， ∴ MN=. 所以，选择C。
25在直角三角形AMC中，AC=5，CM=
2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半” 例2、在三角形ABC中，AD是三角形的高，点D是垂足，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，
.
.
求证：四边形EFGD是等腰梯形。
分析：由点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，根据三角形中位线定理，知道FG∥BC,FE∥AC，FE=
11AC，由直角三角形ADC，DG是斜边上的中线，因此，DG=AC，所以，EF=DG，这样，我们就可以22证明：∵ 点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点， ∴ FG∥BC ， FE∥AC，FE=
∵ AD是三角形的高， ∴ △ADC是直角三角形， ∵ DG是斜边上的中线， ∴DG=
说明梯形EFGD是等腰梯形了。
1AC， 21AC， ∴DG=EF, ∴梯形EFGD是等腰梯形。 23、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”
例1 求证：顺次连结四边形四边的中点，所得的四边形是平行四边形。 已知：如图4所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。 分析：由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， 我们就自然联想到三角形的中位线定理，但是在这里，我们发现缺少三角形，因此，我们只要连接四边形的一条对角线，就出现我们需要的三角形了。
证明：连接AC，∵ E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
∴ EF∥AC ，EF =
11AC， GH∥AC，GH=AC， ∴ EF∥GH，EF=GH， 22∴ 四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形 例4、如图6所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE 、 BE。 求证：S△ABE=
1S四边形ABCD。 2分析：如果直接证明，是不容易，联想到AD∥BC，点E是CD的中点，我们延长AE，与BC 的延长线交于点F，这样，我们就构造出一对八字型的三角形，
并且这对三角形是全等的。这样，就把三角形ADE迁移到三角形ECF的位置上，问题就好解决了。
证明：如图7所示，延长AE，与BC 的延长线交于点F，
∵ AD∥BC， ∴ ∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE，
又∵ 点E是CD的中点， ∴ DE=CE， ∴ △ADE≌△FCE， ∴ AE=EF，∴ S△ABE= S△BEF， ∵ S△BEF= S△BEC+ S△ECF= S△BEC+ S△ADE， ∴ S△ABE= S△BEC+ S△ADE，
∵ S△ABE+ S△BEC+ S△ADE= S四边形ABCD， ∴ 2 S△ABE= S四边形ABCD， ∴ S△ABE= 5、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
1S四边形ABCD。 2.
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例5、如图8所示，AB是⊙O的弦，点C是AB的中点，若AB8cm，OC3cm，则⊙O的半径为 cm．
分析：由点C是AB 的中点，联想到圆的垂径定理，知道OC⊥AB，这样在直角三角形AOC中根据勾股定理，就可以求得圆的半径。
解：∵ 点C是AB 的中点， ∴ OC⊥AB， ∵ AB=8, ∴ AC=4
在直角三角形AOC中，AC=4,OC=3, ∴ OA=
半径是5cm。
6、遇到中点，联想共边等高的两个三角形面积相等 例6、如图9所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则
AC2OC23242=5(cm)，因此，圆的
S四边形AGCDS矩形ABCD等于：【 】
34A、5 B、 C、 D、2
4563分析：如果两个三角形有一个公共的高顶点，有一边在一条直线上，并且两个三角形的这个公共顶点，是这条共边线段的中点，那么，这两个三角形的面积相等。
解：如图10所示，连接BG， ∵ E是线段AB的中点， ∴ S△AEG= S△BEG=x， S△BGF= S△GCF=y， 设AB=2a，BC=2b， S矩形ABCD=2a×2b=4ab， 根据题意，得：2 y +x=
11ab×BC×BE=ab， 2x+y=×BA×BF=ab，∴ 2x+y=2y+x，即x=y=， 223∴ 4x=D。
S四边形AGCD24ab12=S矩形ABCD， ∴ S四边形AGCD= S矩形ABCD ∴ 等于， 所以，选
3333S矩形ABCD几何必考辅助线之中点专题
专题性总结
中点专题
角平分线专题 截长补短专题
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中点专题——看到中点该想到什么？ 1．两条线段相等，为全等提供条件 2．中线平分三角形的面积
3．倍长中线
4．中位线
5．斜边上的中线是斜边的一半
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【例1】(2008北京)如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的
中点，连结PGPC。若∠ABC＝∠BEF＝60°，
⑴探究PG与PC的位置关系及
PG的值。 PC
⑵将上图中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图)。你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。
【例2】如图所示，在△ABC中，AC＞AB，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD且交AD的
延长线于F，
求证：MF＝
1(AC－AB)。 2
.
.
【例3】如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME⊥AD且交AC的延长线于E，
CD＝2CE， 求证：∠ACB＝2∠B。
中点专题——看到中点该想到什么？ 1．两条线段相等，为全等提供条件 2．中线平分三角形的面积 3．倍长中线 4．中位线
5．斜边上的中线是斜边的一半
中点问题探究（1）
1、已知如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，BE垂直AD的延长线于E，M是BC的中点，求证：ME=
1(ABAC) 2A
M B D C
E
2、已知如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，（1）判断EF和DG有何关系并证明；（2）求证：S△OGD1S△ABC。 12E O B F A .
D G C .
3、已知如图，在四边形ABCD中，EF分别为AB、CD的中点； （1）求证：EF＜
1(ACBD) 2（2）四边形ABCD的周长不小于EF的四倍
（3）EF交BD、AC分别于P、Q，若AC=BD，求证：△OPQ为等腰三角形。
D
A O
F
E Q P
C B
4、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E为CD的中点，求证：AE⊥BE。
A D
E
C B
5、如图，已知AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE=AB，M、N分别为BC、AE的中点。 求证：MN∥AD A N
· E
C B D M
6、如图，以△ABC的AB、AC边为斜边向形外作Rt△ABD，和Rt△ACE，且使∠ABD=∠ACE=α，M是BC的中点，（1）求证：DM=ME；（2）求∠DME的度数。 A
D .
E B C M .
7、如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，求△ABC的周长。
A
N
C B M
中点问题探究（2）
8、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点。
求证：（1）BE⊥AC（2）EG=EF
A D
F O G E B C
9、如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使得BD=AB，E为AB中点，连接CE、CD求证：CD=2EC。 A E
B C
D 10、点O是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并把AB、OB、OC、CA的中点D、E、F、G顺次连结起来，设DEFG能构成四边形。
（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当O点移动到△ABC外时，（1）的结论是否成立？画出图形，说明理由； （3）若四边形DEFG是矩形，则点O所在的位置满足什么条件？试说明理由。 A
D G
O E F C B .
.
11、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形的高。
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）设AE=x，四边形DEFG的面积为y，求y关于x的函数关系式。
A D
E F C B G
12、（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），B、C、G在同一条直线上，M为线段AE的中点，探究：线段MD、MF的关系。
（2）若将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°，使得正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点，试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。 F E
F M D A A D M B E C
B G C
G
图1 图2
13、已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AF为∠BAC的平分线，交BD于E，BC于F．
求证：OE=
FC．
2012中考数学专题复习5
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图形的中点问题
一. 知识要点：
线段的中点是几何图形中的一个特殊点，与中点有关的问题很多，添加适当的辅助线、恰当地利用中点是处理中点问题的关键。
涉及中点问题的几何问题，一般常用下列定理或方法： (1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
(2)三角形中位线定理；
(3)等腰三角形三线合一的性质；
(4)倍长中线，构造全等三角形（或平行四边形）； (5)平行四边形的性质与判定. 二.例题精选
1、若一点是直角三角形斜边的中点或等腰三形底边的中点，则常过中点作中线，应用“直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半”性质或“等腰三角形三线合一”的性质。
例1. 如图，已知△ABC中，∠B =90°，AB=BC,D在AB上,E在BC上，BD=CE , M
是AC的中点，求证：△DEM是等腰直角三角形.
提示：连结BM,证明ΔBDM≌ΔCEM,得DM=ME，∠DMB=∠EMC, 则∠DME=
,
得ΔMDM为等腰直角三角形
2、三角形中遇到两边的中点，常应用“三角形的中位线定理”,若有一点是三
角形一边的中点或梯形一腰的中点，则常过中点作中位线。
例2.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别交MN的延
长线于E、F． 求证：∠DEN＝∠F．
提示：连结AC，作AC中点G，连结MG，NG。则MG=NG，MG∥BC，NG∥AD。∴∠MGN＝∠F ,∠GNM=∠DEN,∠MGN=∠GNM. ∴∠DEN＝∠F．
.
.
3、若有三角形的中线或过中点的线段，则通常加倍延长中线或过中点的线段，以构造两个三角形全等。
例3. 已知：如图2，AD为△ABC的中线，BE交AC于E，交
AD于F，且AE=EF， 求证：AC=BF
提示：延长AD至G，使DG=AD，连结BG，则ΔBDG≌ΔCDA，∴AC=BG=BF
4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想或构造“X字型”全等三角形.
例4. 如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，
C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则MF的长为 ．
提示：延长AD、FM交于点H，则AH=EF=3，DH=1=DF， ∴FH=
MF=
5、有关面积的问题中遇到中点，常用“等底等高的两个三角形面积相等”的性质。
例5.如图所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于
点G，则=______________
提示：连接BG， ∵ E是线段AB的中点， ∴ S△AEG= S△BEG=x， S△BGF= S△GCF=y，
设AB=2a，BC=2b，
.
=2a×2b=4ab，
.
根据题意，得：2 y +x=×BC×BE=ab， 2x+y=×BA×BF=ab，∴ 2x+y=2y+x，即x=y=， ∴ S
四边形AGCD
=4ab-4x = ∴ 等于，
三.能力训练
1. 已知AD是△ABC的角平分线，AB＝10，AC＝6，CN⊥AD于N，且M是BC的中点.则MN的长为_________.
2. 顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形MNPQ，给出以下6个命题： ①若所得四边形MNPQ为矩形，则原四边形ABCD为菱形； ②若所得四边形MNPQ为菱形，则原四边形ABCD为矩形； ③若所得四边形MNPQ为矩形，则AC⊥BD； ④若所得四边形MNPQ为菱形，则AC=BD； ⑤若所得四边形MNPQ为矩形，则∠BAD=90°； ⑥若所得四边形MNPQ为菱形，则AB=AD． 以上命题中，正确的是( )
A．①② B．③④ C．③④⑤⑥ D．①②③④. 3. 如图，在△ABC中，DC=4，BC边上的中线AD=2，AB+AC=3+
，则S△ABC等于( )
A． B． C． D．
4. 如图，在□ABCD中，
BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点,∠AEF=54°，则∠B= .
第3题
5. ABC中，AB=7,AC=3,则中线AD的取值范围是______________
.
.
6.
如图，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，BC上的中线AD=2，求BC的长.
7.
如图，已知△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G为垂足．求
证：(1)G是CE的中点；(2)∠B=2∠BCE．
8.
.
在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．
请判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程。
.
9. 如图,在ΔABC中, ∠ABC=2∠C,AD⊥BC于D,E是AC中点,ED的延长线与AB的延长线交于点F,
求证:BF=BD
10. 如图, ΔABC中，角平分线BE与BC边上的中线AD互相垂直,并且BE=4，AD=6,求AB的长
四.思维拓展
11.
如图，四边形ABCD中，E为BC的中点，AE与BD交于F，且F是BD
2
的中点，O是AC，BD的交点，AF=2EF，△AOD的面积是3cm，求四边形ABCD的面积．
.
.
12.
0
在图1，图2中，ABC和DEC
都是等腰直角三角形。∠ACB=∠DCE=90，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点. (1)如图1，点D,E分别在AC,BC的延长线上，求证：(2)将图1中的
FGH是等腰直角三角形.
FGH还是等腰直角三角形吗？若是,给
DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，
出证明;若不是请说明理由.
13. 如图1.在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD
的延长线交于点M、N,则∠BME=∠CNE(提示：参见例2).
问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于M、N，判断问题二：如图3，在
OMN的形状，请直接写出结论。
ABC中，AC>AB,D点在AC上，AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延
,连接GD,判断
AGD的形状并证明.
长，与BA的延长线交于点G,若∠EFC=
14. 如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点,点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接
EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。 （1）设AE=时，△EGF的面积为
.
,求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围；
.
（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。
15. 如图1，在等腰梯形
．
（1）求点（2）点
到为线段，连结
，
的距离；
上的一个动点，过，设
.
的形状是否发生改变？若不变，求出
的周长；
作
交
于点
，过
作
交折线
中，
.
，
是
的中点，过点
作
交
于点
于点①当点
在线段上时（如图2），
若改变，请说明理由； ②当点
在线段
上时（如图3），是否存在点
，使
为等腰三角形？若存在，请求出所
有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.
.
.
答案：
1. 2 2.B 3. D 4. 72° 5. 2 ∵ AD=ED，∠ADC=∠EDB， CD=BD， ∴ ΔACD≌ΔEBD. ∴ AC=BE， ∴BE=AC=3. 在ΔABE中，∵AE2+BE2=42+32=25=AB2 ，∴∠E=90°. ∴ BD= = = .∴ BC=2BD=2 7. (1)连接DE， 则在Rt△ABD中，DE是斜边上的中线， ∴DE=BE=DC ∵DG⊥EC ∴G是CE的中点 (2）∵ DE=BE ∴∠B=∠EDB , ∠EDB=∠ECD+∠CED=2∠ECD ∴∠B=2∠BCE 8. 延长CE交BA的延长线于点G． ∵E是AD中点，∴AE=ED， ∵AB∥CD，∴∠CDE=∠GAE，∠DCE=∠AGE， ∴△CED≌△GEA，∴CE=GE，AG=DC， ∴GB=BC=3，∴EB⊥EC． 9. ∵E是AC中点, AD⊥BC ∴DE=EC ∴∠C=∠EDC=∠BDF ∵∠ABC=2∠C=2∠BDF, ∴∠BDF=∠BFD, ∴BF=BD 10 .作DH//BE，交AC于点H， ∴DH=1/2BE=2，∵BE平分∠ABC，AD⊥BE ∴AF=FD=3 ∵BE//DH ∴FE=1/2DH=1 ∴BF=3, AB= 11. 四边形AFCD是平行四边形，所以四边形AFCD的面积是12 cm2 。 三角形FCD的面积是6 cm2 。 ∵F是BD的中点，∴△FBC的面积=△DFC的面积=6 cm2 。 ∵E为BC中点，∴△BEF的面积=△BCF面积的一半=3 cm2 。 又∵AF=2EF，∴△BFA的面积=△BEF的2倍=6 cm2 。 ∴四边形ABCD面积 = 24 cm2 12. （1）FH∥AD且FH＝AD/2，FG∥BE 且 FG∴FG⊥FH且FG＝∴△FGH是等腰直角三角形 （2）连接AD 、 易证得△ACD≌△BCE，∴AD⊥BE且AD＝BE， 可知FH∥AD且FH＝AD/2，FG∥BE 且 FG∴FG⊥FH且FG＝ ∴△FGH是等腰直角三角形 13. 问题一：OM=ON 问题二:△AGD是直角三角形． . ＝ BE/2 FH BE BE/2 FH ＝ . 证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE， ∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF=AB/2，∴∠1=∠3． 同理，HE∥CD，HE=CD/2， ∴∠2=∠EFC． ∵AB=CD ∴HF=HE，∴∠1=∠2． ∵∠EFC=60°，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°， ∴△AGF是等边三角形． ∵AF=FD，∴GF=FD，∴∠FGD=∠FDG=30° ∴∠AGD=90°即△AGD是直角三角形． . 、14 . 15．解:（1）如图1，过点作于点 ∵在 为的中点，∴中， ∴ ∴即点 到 的距离为在线段 上运动时，∴ ∴ 作 于 ，∵ ， （2）①当点∵∵同理如图2，过点 的形状不发生改变． ∴ ∴ ∴ 则 . . 在中， ∴的周长= ②当点在线段 上运动时， 的形状发生改变，但恒为等边三角形． 当 时，如图3，作 于 ，则 类似①，∴ ∵是等边三角形，∴ 此时， 时，如图4，这时 此时， 当时，如图5， 则又 ∴ 因此点与 重合， 为直角三角形． ∴ 此时， 综上所述，当或4或 时， 为等腰三角形． . 当 . 一.单选题(本大题共8小题， 共80分) 1.(本小题10分) 如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交ACDF=4cm ， 于AG=3cm G， 则 ，AC 的 AF=2cm长 为 ， ( ) • • • • A. 9cm B. 14cm C. 15cm D. 18cm 核心考点: 平行四边形的性质 相似三角形的判定与性质 类倍长中线 2.(本小题10分) 如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，M，N分别是AB，BC的中点，于 点 P ， 则 的 度 数 为 ( ) • . A. 40° . • • • B. 45° C. 50° D. 55° 核心考点: 菱形的性质 类倍长中线 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 3.(本小题10分) 如图，正方形ABCD，正方形CGEF的边长分别是2，3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接FM，则 • A. • B. • C. • D. 核心考点: 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 类倍长中线 . FM的长为( ) . 4.(本小题10分) 如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F．若 ，则AB的长为( ) • • • • A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 核心考点: 直角三角形斜边上的中线 等腰直角三角形 全等三角形的判定与性质 5.(本小题10分) 如图，在矩形ABCD中，AD 于点 E，连接 CE 交 BF 于点 ，BC=3，F为CD的中点，EF⊥BF交G，则 EG 的长为( ) • A. • B. • C. . . • D. 核心考点: 勾股定理 相似三角形的判定与性质 类倍长中线 6.(本小题10分) 如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，CF平分∠ACB交AB于点F，且BE，CF相交于点O，AG⊥BE于点G，AH⊥CF于点H．若AB=9，AC=14，BC=18，则GH 的 长 为 ( ) • • • • A. B. 5 C. 3 D. 6 核心考点: 角平分线的性质 三角形中位线定理 全等三角形的判定与性质 7.(本小题10分) 如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长 为 ( ) . . • • • • A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 核心考点: 三角形中位线定理 全等三角形的判定与性质 8.(本小题10分) 如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移 动 ， 且始终保持EF∥AB．设线段CF，DH的中点分别为M，N，则线段MN的长为( ) • A. • B. • C. • D. 核心考点: 梯形中位线 三角形中位线 . . 二.填空题(本大题共2小题， 共20分) 9.(本小题10分) 把一副直角三角板如图放置，已知E是AB的中点，连接CE，DE，CD，F是CD的中点，连接EF．若AB=8，则 =____． AFE 核心考点: 直角三角形斜边上的中线 BGDC10.(本小题10分) 如图，在四边形ABCD中，AC=8，BD=6，且AC⊥BD，E，F，G，H分别是 AB ， BC ， CD ， DA 的 中 点 ， 则 ____ ． 核心考点: 勾股定理 中点四边形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1、如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于D,E、F、G分别是AC、AB、BC的中点。 求证：四边形OEFG是等腰梯形。 . . 2、如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点 求证：MN⊥DE o 3、已知梯形ABCD中，∠B+∠C＝90，EF是两底中点的连线，明AB－AD＝2EF B A o B4、如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90，点M、 N分别是BD、AC的中点。MN、AC的位置关系如何？证明你的猜想。 CNMBDAAEND试说 MCEDFC . . 5、过矩形ABCD对对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交AB、DC于E、F，点G为AE的中点，若∠AOG ＝30o 求证：3OG=DC 6、如图所示；过矩形ABCD的顶点A作一直线，交BC的延线于点E，F是AE的中点，连接FC、FD。 求证：∠FDA=∠FCB . DFCOAGEBADFBCE长 . 23．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现： 在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1 所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 （填序号即可） ①AF=AG= 1AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB． 2●数学思考： 在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M．．是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探索： 在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状． 答： ． 【答案】 解： ●操作发现：①②③④ ●数学思考： 答：MD=ME，MD⊥ME， １、MD=ME； 如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG， ∵M是BC的中点， ∴MF∥AC，MF= 1AC． 21AC， 2又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线， ∴EG⊥AC且EG= ∴MF=EG． 同理可证DF=MG． ∵MF∥AC， ∴∠MFA＋∠BAC=180°． 同理可得∠MGA+∠BAC=180°， ∴∠MFA=∠MGA． 又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°． 同理可得∠DFA=90°， ∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA， 即∠DFM=∠MEG，又MF=EG，DF=MG， ∴△DFM≌△MGE（SAS）， . . ∴MD=ME． 2、MD⊥ME； 证法一：∵MG∥AB， ∴∠MFA+∠FMG=180°， 又∵△DFM≌△MGE，∴∠MEG=∠MDF. ∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°， 其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°， ∴∠DME=90°. 即MD⊥ME； 证法二：如图2，MD与AB交于点H， ∵AB∥MG， ∴∠DHA=∠DMG， 又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH, 即∠DHA=∠FDM+90°, ∵∠DMG=∠DME+∠GME， ∴∠DME=90° 即MD⊥ME； ●类比探究 答：等腰直角三解形 【考点解剖】 本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识，能力要求很高． 【解题思路】 （1） 由图形的对称性易知①、②、③都正确，④∠DAB=∠DMB=45°也正确；（2）直觉告诉我们MD和ME是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图1△DFM≌△MGE的启发，应想到取中点构造全等来证MD=ME，证MD⊥ME就是要证∠DME=90°，由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF, △DFM中四个角相加为180°，∠FMG可看成三个角的和，通过变形计算可得∠DME=90°． （3）只要结论，不要过程，在（2）的基础易知为等腰直角三解形. 【解答过程】 略. 【方法规律】 由特殊到一般，形变但本质不变（仍然全等） 【关键词】 课题学习 全等 开放探究 . 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容