圆中的辅助线

圆中的辅助线

模型1 连半径构造等腰三角形

已知AB是⊙O的一条弦， O 连接OA、OB，则∠A=∠B。 B A

模型分析

在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题。 模型实例

例1．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B， 且AB=OC，求∠A。 E

B

AOC

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1．如图，AB经过⊙O的圆心，点B在⊙O上， 若AD=OB，且∠B=54°。试求∠A的度数。

A

2．如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于M，且 PM=MO。求证：弧AP

1

DCDOBQB1弧BQ。 3APO

模型2 构造直角形

CABO图1OAEB2图

图①，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一 点，连接AC、BC，则∠ACB=90°。

如图②，已知AB是⊙O的一条弦，过点O作 OE⊥AB，则OE2AE2OA2。

模型分析

（1）如图①，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路，在证明有关问题中注意90°的圆周角的构造。

（2）如图②，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算。

D模型实例

例1．如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E， AE=2，BE=6，∠DEB=60°，求CD的长。 EBAO

C

例2．如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，

A AC交⊙O于点E，∠BAC=45°。 （1）求∠EBC的度数； （2）求证：BD=CD。 O E

C DB

2

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1．如图，⊙O的弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AE=5，BE=13，点O到AB 的距离为210，求点O到CD距离，线段OE的长及⊙O的半径。

C O

BA E

D

2．已知，AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD于点H，连接BC、AD，作 OE⊥AD于点E。求证：OE1BC。 3D E O

BH

C

3．如图，直径AB=2，AB、CD交于点E且夹角为45°， 则CE2DE2 。 CE AO

D

模型3 与圆的切线有关的辅助线

O BA C

（1）切线的性质；

（2）切线的判定方法。 模型实例

AB

3

例1．如图，OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q点的切线交OA的延长线于R。求证：RP=RQ。

B

APR O Q

例2．如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE=∠C，试确定直线 DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论。

C

B O

EAD

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1．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC、AC相交于点D、E， BD=CD，过点D作⊙O的切线交AC于点F。求证：DF⊥AC。

C FE

D

ABO

2．如图，AB是⊙O的直径，AC是它的切线，CO平分 ∠ACD。求证：CD是⊙O的切线。

AC

O

D B

4

3．如图，直线AC与⊙O相交于B、C两点，E是弧BC的中点，D是⊙O上一点，若∠EDA=∠AMD。求证：AD是⊙O的切线。 C

OEM

B D

A

补充：

1、如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（ ）

A B．C． D．

2、如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（ ）

5

A B C D

3、如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP= x，则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是【 】

4、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).

1.求A、B两点的坐标；

6

2.设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；

3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？

5、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且

∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H． （1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；

（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式； （3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．

7

6、如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．

（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；

（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．

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