宜春市第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 设函数的集合

，平面上点的集合

，则在同一直角坐标系中，P中函数

的图象恰好经过Q中

两个点的函数的个数是A4B6C8D10

2． 以过椭圆A．相交

A．1,3

+

=1（a＞b＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（ B．相切

C．相离

D．不能确定）

C．1,

D．e,3）

3． 集合Ax|lnx0,Bx|x9,则AB（

2B．1,3

4． 如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．

①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等

④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（　　）

A．①②B．②③C．③D．③④

）

）

5． 设集合M={x|x＞1}，P={x|x2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（ A．M=PB．P⊊MC．M⊊PD．M∪P=R

6． （m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ A．（1，+∞）

B．（﹣∞，﹣1）

第 1 页，共 17 页

C．D．

）

D．260　

7． 在下面程序框图中，输入N44，则输出的S的值是（ A．251

B．253

C．255

【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类.8． 已知全集U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,6，B1,3,5,7，则A(ðUB)（ A．2,4,6

B．1,3,5

C．2,4,5

）

D．2,59． 直线2x+y+7=0的倾斜角为（　　）A．锐角B．直角C．钝角D．不存在

x2y210．F1，F2分别为双曲线221（a，b0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足PF1PF20，

ab第 2 页，共 17 页

若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为A.2 B.3C.

31，则该双曲线的离心率为（ ）221D. 31【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．

11．圆xy2x2y10上的点到直线xy2的距离最大值是（ A．

B．21

C．）

22）

21 2D．22112．下列结论正确的是（

A．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β．B．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β．C．若直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2

D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等，则l∥α　

二、填空题

13．（本小题满分12分）点M（2pt，2pt2）（t为常数，且t≠0）是拋物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，过M作倾斜角互补的两直线l1与l2与C的另外交点分别为P、Q.

（1）求证：直线PQ的斜率为－2t；

（2）记拋物线的准线与y轴的交点为T，若拋物线在M处的切线过点T，求t的值．14．如果椭圆

+

=1弦被点A（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是　　　　　　．　

15．将一张坐标纸折叠一次，使点0,2与点4,0重合，且点7,3与点m,n重合，则mn的值是 ．16．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值　　　　　　．　

17．抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为　　　　　　．三、解答题

18．已知△ABC的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC的面积．

第 3 页，共 17 页

19．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．

20．（本小题满分12分）

已知数列an的各项均为正数，a12，an1an（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）求数列4.

an1an1的前n项和Sn．

an1an第 4 页，共 17 页

21．（本小题满分12分）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线．（1）求证：AD＝12b2＋2c2－a2；2

（2）若A＝120°，AD＝19，sin B＝3，求△ABC的面积．

2

sin C5

22．已知函数f（x）=lg（2016+x），g（x）=lg（2016﹣x）（1）判断函数f（x）﹣g（x）的奇偶性，并予以证明．（2）求使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合．　

23．如图，已知椭圆C，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C的另外一个交

点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上．（1）求直线AB的方程；

（2）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，直线BM交椭圆C于另外一点Q．①证明：OM•ON为定值；②证明：A、Q、N三点共线．

第 5 页，共 17 页

第 6 页，共 17 页

宜春市第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】本题考查了对数的计算、列举思想

a＝－时，不符；a＝0时，y＝log2x过点(，－1)，(1,0)，此时b＝0，b＝1符合；a＝时，y＝log2(x＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b＝0，b＝1符合；

a＝1时，y＝log2(x＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b＝－1，b＝1符合；共6个2． 【答案】C

【解析】解：设过右焦点F的弦为AB，右准线为l，A、B在l上的射影分别为C、D连接AC、BD，设AB的中点为M，作MN⊥l于N根据圆锥曲线的统一定义，可得

=

=e，可得

∴|AF|+|BF|＜|AC|+|BD|，即|AB|＜|AC|+|BD|，

∵以AB为直径的圆半径为r=|AB|，|MN|=（|AC|+|BD|）∴圆M到l的距离|MN|＞r，可得直线l与以AB为直径的圆相离故选：C

【点评】本题给出椭圆的右焦点F，求以经过F的弦AB为直径的圆与右准线的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．　

3． 【答案】B 【解析】

试题分析：因为Ax|lnx0Ax|x1,Bx|x9Bx|3x3,所以AB2x|1x3，故选B.

第 7 页，共 17 页

考点：1、对数函数的性质及不等式的解法；2、集合交集的应用.4． 【答案】D

【解析】

【分析】对于①可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定；对于②，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；对于③取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r，可判定④的真假．

【解答】解：∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，∴AC=BC=，AB=

当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确

使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；

取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确故选D

5． 【答案】B

【解析】解：P={x|x=3}，M={x|x＞1}；∴P⊊M．故选B．　

6． 【答案】C

【解析】解：不等式（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，即（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立若m+1=0，显然不成立若m+1≠0，则 解得a故选C．

【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需　

7． 【答案】B

．

．

第 8 页，共 17 页

8． 【答案】A

考点：集合交集，并集和补集．

【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.9． 【答案】C

【解析】【分析】设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣2，即可判断出结论．【解答】解：设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣2，则θ为钝角．故选：C．10．【答案】D

【解析】∵PF1PF20，∴PF1PF2，即PF1F2为直角三角形，∴PF12PF22F1F224c2，|PF1PF2|2a，则2PF1PF2PF12PF22(PF1PF2)24(c2a2)，

(PF1PF2)2(PF1PF2)24PF1PF28c24a2.所以PF1F2内切圆半径

rPF1PF2F1F231c，整理，得2c2a2c，外接圆半径Rc.由题意，得2c2a2c22c()2423，∴双曲线的离心率e31，故选D.a11．【答案】B【解析】

试题分析：化简为标准形式x1y11，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半

22径，d11222，半径为1，所以距离的最大值是21，故选B.

考点：直线与圆的位置关系 112．【答案】B

【解析】解：A选项中，两个平面可以相交，l与交线平行即可，故不正确；B选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；

C选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；

第 9 页，共 17 页

D中选项也可能相交．故选：B．

【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．　

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：（1）证明：l1的斜率显然存在，设为k，其方程为y－2pt2＝k（x－2pt）．①将①与拋物线x2＝2py联立得，x2－2pkx＋4p2t（k－t）＝0，

解得x1＝2pt，x2＝2p（k－t），将x2＝2p（k－t）代入x2＝2py得y2＝2p（k－t）2，∴P点的坐标为（2p（k－t），2p（k－t）2）．

由于l1与l2的倾斜角互补，∴点Q的坐标为（2p（－k－t），2p（－k－t）2），

2p（－k－t）2－2p（k－t）2

∴kPQ＝＝－2t，

（－－）－（－）kt2pkt2p即直线PQ的斜率为－2t.

2x（2）由y＝得y′＝x，2pp∴拋物线C在M（2pt，2pt2）处的切线斜率为k＝2pt＝2t.其切线方程为

y－2pt2＝2t（x－2pt），

p又C的准线与y轴的交点T的坐标为（0，－p）．

2

∴－p－2pt2＝2t（－2pt）．

2

解得t＝±1，即t的值为±1.22

14．【答案】　x+4y﹣5=0　．

【解析】解：设这条弦与椭圆

+

=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2），

由中点坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把P（x1，y1），Q（x2，y2）代入x2+4y2=36，得

，

①﹣②，得2（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，

第 10 页，共 17 页

∴k==﹣，

∴这条弦所在的直线的方程y﹣1=﹣（x﹣1），即为x+4y﹣5=0，

由（1，1）在椭圆内，则所求直线方程为x+4y﹣5=0．故答案为：x+4y﹣5=0．

【点评】本题考查椭圆的方程的运用，运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键．　

15．【答案】【解析】

345考

点：点关于直线对称；直线的点斜式方程.16．【答案】　5

半径为3，

|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：故答案为：5

﹣4．

﹣4=5

﹣4．

﹣4　．

【解析】解：如图，圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），

第 11 页，共 17 页

【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．　

17．【答案】　3x﹣y﹣11=0　．

【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），即有y12=6x1，y22=6x2，

相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2），即有kAB=

=

==3，

则直线方程为y﹣1=3（x﹣4），即为3x﹣y﹣11=0．

将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0，故所求直线为3x﹣y﹣11=0．故答案为：3x﹣y﹣11=0．　

三、解答题

18．【答案】

【解析】解：由题意设a=n、b=n+1、c=n+2（n∈N+），∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A，由正弦定理得∴

，则，得cosA=

，

，

第 12 页，共 17 页

由余弦定理得，cosA=∴

化简得，n=4，

∴a=4、b=5、c=6，cosA=，又0＜A＜π，∴sinA=∴△ABC的面积S=

=

=

=

，

=，

，

=

．

【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．　

19．【答案】

【解析】解：（1）投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元，由题设f（x）=k1x，g（x）=k2由图知f（1）=，∴k1=又g（4）=，∴k2=从而f（x）=

，g（x）=

（x≥0）

，（k1，k2≠0；x≥0）

（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业的利润为y万元y=f（x）+g（10﹣x）=令

，∴

，（0≤x≤10），

（0≤t≤

）

当t=，ymax≈4，此时x=3.75

∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．

【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题．解题的关键是换元，利用二次函数的求最值的方法求解．　

20．【答案】（本小题满分12分）解： （Ⅰ）由an1an24222得an1an4，∴an是等差数列，公差为4，首项为4， （3分）

an1an∴an44(n1)4n，由an0得an2n． （6分）

第 13 页，共 17 页

（Ⅱ）∵

111(n1n)， （9分）

an1an2n12n21 ∴数列的前n项和为

an1an1111(21)(32)(n1n)(n11)． （12分）222221．【答案】【解析】解：

（1）证明：∵D是BC的中点，∴BD＝DC＝a.

2

法一：在△ABD与△ACD中分别由余弦定理得2

2

b2＝AD2＋a－2AD·a·cos∠ADC，②

42

2

①＋②得c2＋b2＝2AD2＋a，

2

2222即4AD＝2b＋2c－a，

∴AD＝12b2＋2c2－a2.2

法二：在△ABD中，由余弦定理得AD2＝c2＋a－2c·acos B

42

2＋c2－b22a＝c2＋a－ac·

42ac2＋2c2－a22b＝，

4

∴AD＝12b2＋2c2－a2.2

（2）∵A＝120°，AD＝119，sin B＝3，2sin C5

由余弦定理和正弦定理与（1）可得

2

c2＝AD2＋

a24

－2AD·

acos∠ADB，①

a2＝b2＋c2＋bc，①2b2＋2c2－a2＝19，②

第 14 页，共 17 页

b＝3，③c5

联立①②③解得b＝3，c＝5，a＝7，

153∴△ABC的面积为S＝1bc sin A＝1×3×5×sin 120°＝.

422

即△ABC的面积为153.4

22．【答案】

【解析】解：（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）=lg（2016+x）﹣lg（2016﹣x），h（x）的定义域为（﹣2016，2016）；h（﹣x）=lg（2016﹣x）﹣lg（2016+x）=﹣h（x）；∴f（x）﹣g（x）为奇函数；

（2）由f（x）﹣g（x）＜0得，f（x）＜g（x）；即lg（2016+x）＜lg（2016﹣x）；∴

解得﹣2016＜x＜0；

∴使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合为（﹣2016，0）．

【点评】考查奇函数的定义及判断方法和过程，对数的真数需大于0，以及对数函数的单调性．　

23．【答案】

【解析】（1）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1），∵点A在椭圆C上，∴整理得：6t2+4t=0，解得t=﹣∴E（﹣

，﹣

），A（﹣

或t=0（舍去），，﹣

），

，

；

∴直线AB的方程为：x+2y+2=0；（2）证明：设P（x0，y0），则

，

①直线AP方程为：y+=（x+），

联立直线AP与直线y=x的方程，解得：xM=

，

第 15 页，共 17 页

直线BP的方程为：y+1=，

联立直线BP与直线y=x的方程，解得：xN=，

∴OM•ON=|xM|

|xN|

=2•|

|•|

|

=||

=|=||

=

．

②设直线MB的方程为：y=kx﹣1（其中k=

=

），

联立，整理得：（1+2k2）x2﹣4kx=0，

∴xQ=，yQ=，

∴kAN===1﹣，kAQ=要证A、Q、N三点共线，只需证kAN=kAQ，即3xN+4=2k+2，将k=

代入，即证：xM•xN=

，

由①的证明过程可知：|xM|•|xN|=，

而xM与xN同号，∴xM•xN=，

即A、Q、N三点共线．

第 16 页，共 17 页

|

=1﹣，

【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．　

第 17 页，共 17 页