圆中的辅助线

圆中的辅助线

模型1 连半径构造等腰三角形

已知AB是⊙O的一条弦，

O 连接OA、OB，则∠A=∠B。

B

A

模型分析

在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题。 模型实例

例1．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B， 且AB=OC，求∠A。 E

B

DAOC

热搜精练 C1．如图，AB经过⊙O的圆心，点B在⊙O上，

D 若AD=OB，且∠B=54°。试求∠A的度数。 BA O

2．如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于M，且 PM=MO。求证：弧AP

1弧BQ。 3QBAPO1

模型2 构造直角形

CABO图1OAEB2图

图①，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一 点，连接AC、BC，则∠ACB=90°。

如图②，已知AB是⊙O的一条弦，过点O作 OE⊥AB，则OE2AE2OA2。

模型分析

（1）如图①，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路，在证明有关问题中注意90°的圆周角的构造。

（2）如图②，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算。

D模型实例

例1．如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，

E AE=2，BE=6，∠DEB=60°，求CD的长。 BAO

C

例2．如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，

A AC交⊙O于点E，∠BAC=45°。 （1）求∠EBC的度数； （2）求证：BD=CD。 O E

C DB

2

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1．如图，⊙O的弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AE=5，BE=13，点O到AB 的距离为210，求点O到CD距离，线段OE的长及⊙O的半径。

C O

BA E

D

2．已知，AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD于点H，连接BC、AD，作 OE⊥AD于点E。求证：OE1BC。 3D

E

O

BH

C

3．如图，直径AB=2，AB、CD交于点E且夹角为45°， 则CE2DE2 。 CE AO

D

模型3 与圆的切线有关的辅助线

3

AB

OACB

（1）切线的性质；

（2）切线的判定方法。

模型实例

例1．如图，OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q点的切线交OA的延长线于R。求证：RP=RQ。

B

APR O Q

例2．如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE=∠C，试确定直线 DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论。

C

B O

EAD

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4

1．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC、AC相交于点D、E， BD=CD，过点D作⊙O的切线交AC于点F。求证：DF⊥AC。

C FE

D

ABO

2．如图，AB是⊙O的直径，AC是它的切线，CO平分 ∠ACD。求证：CD是⊙O的切线。

AC

O

D B

3．如图，直线AC与⊙O相交于B、C两点，E是弧BC的中点，D是⊙O上一点，若∠EDA=∠AMD。求证：AD是⊙O的切线。 C

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