第四章
4.2直线、圆的位置关系 4.2.2圆与圆的位置关系
基础巩固
一、选择题
1．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有( ) A．1条 C．4条 [答案] B
[分析] 先判断出两圆的位置关系，然后根据位置关系确定公切线条数． [解析] ∵C1(－2,2)，r1＝1，C2(2,5)，r2＝4，
∴|C1C2|＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切，因此公切线有3条，因此选B．
规律总结：如何判断两圆公切线的条数
首先判断两圆的位置关系，然后判断公切线的条数： (1)两圆相离，有四条公切线；
(2)两圆外切，有三条公切线，其中一条是内公切线，两条是外公切线； (3)两圆相交，有两条外公切线，没有内公切线； (4)两圆内切，有一条公切线； (5)两圆内含，没有公切线．
2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是( )
A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 [答案] B
[解析] 设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2
＋(y＋1)2＝25.
3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是( )
A．a2－2a－2b－3＝0 C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
1
B．3条 D．以上均错
B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25
B．a2＋2a＋2b＋5＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
[答案] B
[解析] 利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.
4．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝( ) A．5 C．3 [答案] C
22222
[解析] 设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y0＝16，(x0－4)＋(y0＋3)＝r，∴r＝41－8x0
B．4 D．22 ＋6y0，
∵两切线互相垂直，
y0y0＋3∴·＝－1，∴3y0－4x0＝－16. x0x0－4∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.
5．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值是( )
A．－1 C．3 [答案] C
[解析] 两点A，B关于直线x－y＋c＝0对称，kAB＝
－4
＝－1. m－1
B．2 D．0
∴m＝5，线段AB的中点(3,1)在直线x－y＋c＝0上， ∴c＝－2，∴m＋c＝3.
6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为( ) A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 [答案] D
[解析] 半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.
二、填空题
7．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是_________.
2
B．(x－6)2＋(y±4)2＝6 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36
[答案] 外切
[解析] ∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上， ∴a2＋b2＝4.
又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1， 圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1， 则d＝|C1C2|＝a2＋b2＝4＝2， ∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．
8．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.
[答案] (x－2)2＋(y－2)2＝2
[解析] 已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y－2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
三、解答题
9．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．
[解析] 方法1：联立两圆方程
x2＋y2－12x－2y－13＝0，
22
x＋y＋12x＋16y－25＝0，
相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.
4x＋3y－2＝0，再由22
x＋y－12x－2y－13＝0，
联立得两圆交点坐标(－1,2)，(5，－6)． ∵所求圆以公共弦为直径，
∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)，半径为 12
5＋1
2＋
－6－22＝5.
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
方法2：由方法1可知公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.设所求圆的方程为x2＋y2
－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ为参数)．
3
可求得圆心C(－
2
12λ－1216λ－2
，－)． 1＋λ21＋λ
∵圆心C在公共弦所在直线上，
－12λ－12－16λ－2
∴4·＋3·－2＝0，
21＋λ21＋λ1解得λ＝.
2
∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0.
10．已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x－y＋10＝0上． (1)若动圆C过点(－5,0)，求圆C的方程；
(2)是否存在正实数r，使得动圆C满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出r；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)依题意可设动圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25，其中(a，b)满足a－b＋10＝0.
又因为动圆C过点(－5,0)， 故(－5－a)2＋(0－b)2＝25.
a－b＋10＝0，
解方程组
－5－a2＋0－ba＝－10，a＝－5，得或 2＝25，b＝0b＝5，
故所求圆C的方程为(x＋10)2＋y2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25. (2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d＝
|10|
＝52. 1＋1
当r满足r＋5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x2＋y2＝r2相切的圆；
当r满足r＋5＝d，即r＝52－5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2＋y2＝r2相外切；
当r满足r＋5＞d，即r＞52－5时，与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有两个． 综上，当r＝52－5时，动圆C中满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个．
能力提升
一、选择题
1．已知M是圆C：(x－1)2＋y2＝1上的点，N是圆C′：(x－4)2＋(y－4)2＝82上的点，则|MN|的最小值为( )
A．4 C．22－2 [答案] D
4
B．42－1 D．2
[解析] ∵|CC′|＝5＜R－r＝7，
∴圆C内含于圆C′，则|MN|的最小值为R－|CC′|－r＝2.
2．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( ) A．4x－y－4＝0 C．4x＋y＋4＝0 [答案] A
[解析] 以线段OM为直径的圆的方程为x2＋y2－4x＋y＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x－y－4＝0，这就是经过两切点的直线方程．
3．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16|，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}，且A∩B＝B，则a的取值范围是( )
A．a≤1 C．1≤a≤5 [答案] D
[解析] A∩B＝B等价于B⊆A．当a>1时，集合A和B分别代表圆x2＋y2＝16和圆x2
＋(y－2)2 ＝a－1上及内部的点，容易得出当B对应的圆的半径长小于等于2时符合题意．由0 A． 232 2，2322B．－ ，－22D．－B．a≥5 D．a≤5 B．4x＋y－4＝0 D．4x－y＋4＝0 322232C．－∪ ，－， 2222[答案] C 22 ，22 [解析] 圆(x－a)2＋(y－a)2＝4的圆心C(a，a)，半径r＝2，到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆，这个圆的圆心是原点O，半径R＝1，则这两个圆相交，圆心距d＝a2＋a2＝2|a|，则|r－R| 所以－ 5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝_________. [答案] 1 5 232 <|a|<， 22 11 [解析] 两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y＝，圆心(0,0)到直线y＝ aa1232122 的距离d＝||，于是由()＋||＝2，解得a＝1. a2a 6．已知两点M(1,0)，N(－3,0)到直线的距离分别为1和3，则满足条件的直线的条数是_________. [答案] 3 [解析] ∵已知M(1,0)，N(－3,0)，∴|MN|＝4，分别以M，N为圆心，1,3为半径作两个圆，则两圆外切，故有三条公切线．即符合条件的直线有3条． 三、解答题 7．已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程． [解析] 解法一：考虑到圆B的圆心在直线l上移动，可先写出动圆B的方程，再设法建立圆B的半径r的目标函数． 设圆B的半径为r. ∵圆B的圆心在直线l：y＝2x上， ∴圆B的圆心可设为(t,2t)，则圆B的方程是(x－t)2＋(y－2t)2＝r2， 即x2＋y2－2tx－4ty＋5t2－r2＝0. ① ∵圆A的方程是x2＋y2＋2x＋2y－2＝0， ② ∴②－①，得两圆的公共弦方程为 (2＋2t)x＋(2＋4t)y－5t2＋r2－2＝0. ∵圆B平分圆A的周长， ∴圆A的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x＝－1，y＝－1代入方程③并整理，得r2＝5t2＋6t＋6 32121＝5(t＋)2＋≥. 5553 ∴当t＝－时，rmin＝ 5此时，圆B的方程是 3621(x＋)2＋(y＋)2＝. 555 解法二：也可以从图形的几何性质来考虑，用综合法来解． 如图，设圆A，圆B的圆心分别为A，B，则A(－1，－1)，B在直线l：y＝2x上， 21 . 5 ③ 6 连接AB，过A作MN⊥AB，且MN交圆于M，N两点．∴MN为圆A的直径． ∵圆B平分圆A，∴只需圆B经过M，N两点． ∵圆A的半径是2，设圆B的半径为r， ∴r＝|MB|＝|AB|2＋|AM|2 ＝|AB|2＋4. 欲求r的最小值，只需求|AB|的最小值． ∵A是定点，B是l上的动点， ∴当AB⊥l，即MN∥l时，|AB|最小． 于是，可求得直线AB方程为 1 y＋1＝－(x＋1)， 2 1336 即y＝－x－，与直线l：y＝2x联立可求得B(－，－)，rmin＝ 2255∴圆B的方程是 3621 (x＋)2＋(y＋)2＝. 555 8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4 21 . 5 (1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程； (2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标． [解析] (1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y|1－k－3－4|＝k(x－4)，圆C1的圆心C1(－3,1)到直线l的距离为d＝， 1＋k2 因为直线l被圆C1截得的弦长为23， ∴4＝(3)2＋d2，∴k(24k＋7)＝0， 7 即k＝0或k＝－， 24 7 所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0 (2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方1 程为y－b＝－(x－a)，因为C1和C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被 k圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等， 即 5＋14－a－b |1－k－3－a－b|k 1＋k2 ＝ 11＋2 k 整理得：|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|， ∴1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk 或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk， 即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5. 因为k的取值有无穷多个，所以 a＋b－2＝0a－b＋8＝0 ，或， b－a＋3＝0a＋b－5＝0 解得1 b＝－2 5a＝2 或13 b＝2 3a＝－ 2 51313，－或点P2－，. 这样点P只可能是点P12222经检验点P1和P2满足题目条件． 8 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容