2015年清华大学领军计划自主招生数学试题(问卷)

说明：本试卷共30小题，共100分。在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的。选不选对，得满分；选对但不全的，得部分分；有选错的，得0分。

2211isin （ ），则 331z1z213 A.0 B.1 C. D.

222.设{an}为等差数列，p,q,k,l为正整数，则“pqkl”是“apaqakal”的（ ）

1.设复数zcosA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设A,B是抛物线yx2上的两点，O是坐标原点，若OAOB，则 （ ） A.|OA||OB|2 B.|OA||OB|22

C.直线AB过抛物线yx2的焦点 D.O到直线AB的距离小于等于1 4.设函数f(x)的定义域为(1,1)，且满足：①f(x)0,x(1,0)； ②f(x)f(y)f(xy),x,y(1,1)。则f(x)为 （ ） 1xyA.奇函数 B.偶函数 C.减函数 D.有界函数 5.如图，已知直线ykxm与曲线yf(x)

相切于两点，则F(x)f(x)kx有（ ）

A.2个极大值点 B.3个极大值点 C.2个极小值点 D.3个极小值点 6.ABC的三边长分别为a,b,c。若c2,C3，

且sinCsin(BA)2sin2A0，则（ ）

A.b2a B.ABC的周长为223 2323 D.ABC的外接圆半径为 332x7.设函数f(x)(x3)e，则 （ ） A.f(x)有极小值，但无最小值 B.f(x)有极大值，但无最大值

6 C.若方程f(x)b恰有一个实根，则b3

e6D.若方程f(x)b恰有三个不同实根，则0b3

e2222228.已知A{(x,y)|xyr},B{(x,y)|(xa)(yb)r}，已知

AB{(x1,y1),(x2,y2)}，则 （ ）

C.ABC的面积为A.0ab2r B.a(x1x2)b(y1y2)0 C.x1x2a,y1y2b D.ab2ax12by1

9.已知非负实数x,y,z满足4x4yz2z3，则5x4y3z的最小值为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 10.设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Snam，则（ ） A.{an}可能为等差数列 B.{an}可能为等比数列

1

22222222C.{an}的任意一项均可写成{an}的两项之差

D.对任意正整数n，总存在正整数m，使得anSm

11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能获得第一名。比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是 （ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 12.长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2,ADAA11，则A到平面A1BD的距离为（ ）

A.

13 B.23 C.262 D.3 13.设不等式组|x||y|22k(x1)所表示的区域为D，其面积为S，则 （ yA.若S4，则k的值唯一 B.若S12，则k的值有2个 C.若D为三角形，则0k23 D.若D为五边形，则k4

14.ABC的三边长是2,3,4，其外心为O，则OAABOBBCOCCA （ A.0 B.15 C.21292 D.2

15.设随机事件A与B相互独立，且P(B)0.5,P(AB)0.2，则 （ A.P(A)0.4 B.P(BA)0.3 C.P(AB)0.2 D.P(AB)0.916.过ABC的重心作直线将ABC分成两部分，则这两部分的面积之比为 （ A.最小值为34 B.最小值为4455 C.最大值为3 D.最大值为4

17.从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有 （ A.105种 B.225种 C.315种 D.420种 18.已知存在实数r，使得圆周x2y2r2上恰好有n个整点，则n可以等于 （ A.4 B.6 C.8 D.12

19.设复数z满足2|z||z1|，则 （ A.|z|的最大值为1 B.|z|的最小值为13 C.z的虚部的最大值为

23 D.z的实部的最大值为13 20.设m,n是大于零的实数，向量a(mcos,msin),b(ncos,nsin)，其中

1,[0,2)。定义向量a2(mcos122,msin2),b(ncos2,nsin2)，记，则 （ 1111A.a2a2a B.a2b2mncos2 11C.|a2b2|24mnsin211 D.|a2b2|24mncos244

2

）

）

）

） ） ）

） ）

21.设数列{an}满足：a16,an1n3an，则 （ ） nA.nN*,an(n1)3 B.nN*,an2015

C.nN*,an为完全平方数 D.nN*,an为完全立方数

22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有 （ ）

1111 B. C. D.

cossin2sin2cos22sinsinx23.设函数f(x)2，则 （ ）

xx14A.f(x) B.|f(x)||5x|

3C.曲线yf(x)存在对称轴 D.曲线yf(x)存在对称中心

24.ABC的三边长分别为a,b,c，若ABC为锐角三角形，则 （ ）

222333A.sinAcosB B.tanAcotB C.abc D.abc

1，则存在实数(0,1)，使得（ ）25.设函数f(x)的定义域是(1,1)，若f(0)f(0)

A.f(x)0,x(,) B.f(x)在(,)上单调递增 C.f(x)1,x(0,) D.f(x)1,x(,0)

26.在直角坐标系中，已知A(1,0),B(1,0)。若对于y轴上的任意n个不同点P1,P2,...,Pn，总存

1在两个不同点Pi,Pj，使得|sinAPiBsinAPjB|，则n的最小值为 （ ）

3A.A.3 B.4 C.5 D.6 27.设非负实数x,y满足2xy1，xA.最小值为

x2y2的 （ ）

4212 B.最小值为 C.最大值为1 D.最大值为 55328.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则 （ ）

A.存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 B.存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多 C.存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 D.存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个

29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有 （ ） A.300个 B.450个 C.900个 D.1800个 30.设曲线L的方程为y(2x2)y(x2x)0，则 （ ） A.L是轴对称图形 B.L是中心对称图形 C.L{(x,y)|xy1} D.L{(x,y)|224224211y} 22 3