时域有限差分法计算薛定谔方程中的数值稳定性条件

维普资讯 http://www.cqvip.com 第２８卷第３期　云南师范大学学报　Ｖｏ１．２８　Ｎｏ．３　２００８年５月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｙｕｎｎａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｍａｖ　２００８　时域有限差分法计算薛定谔方程中的数值稳定性条件　谷桂初　，　陈玖福　，　高利霄　，　周　庆　（１．云南大学物理系，云南昆明６５００９１；２．昭通师范高等专科学校物理系，云南昭通６５７０００）　摘要：　对于量子力学中的时域有限差分法，往往基于经验来确定其数值稳定性条件即空间和时间增　量必须满足的关系。文章从含时薛定谔波动方程出发，结合物理问题中的实际条件，推导出了空间和时　间增量必须满足的数值稳定性条件。特别讨论了在不同势能的情况下该稳定性条件的适用形式，得到　了适用于各种维数的统一表达式。并进一步运用时域有限差分法计算得到的数值结果说明了该稳定性　条件的合理性和有效性。　关键词：时域有限差分法；薛定谔波动方程；概率波函数；数值稳定性条件　中图分类号：Ｏ４１１．１；Ｏ４　１１．３；０４１３．１；０４１３．２　文献标识码：Ａ　文章编号：　１００７—９７９３　（２００８）０３—００４０—０７　在量子力学中，系统的运动满足含时薛定谔波动方程。。　ｆ＿兰　＋＼　Ｚｍ　　１，　　（　＇ｙ，ｚ，￡）：ｉｈ　ｏ『￡　（１）　其中：概率波函数　描述系统的运动状态，ｍ为系统的有效质量，　是与时无关的势函数，Ｐｌａｎｃｋ常量　＝ｈ／２７ｒ，ｉ＝　一１。（１）式的解包含了系统运动状态的信息，对于量子力学系统的动力学研究有着很　大的意义。同时由于精细处理技术的发展，使一些具有不同量子效应的设备成为可能，（１）式的含时计　算在估计这些量子效应的影响时具有很大的帮助。故对薛定谔方程的含时计算时首先要考虑其精度、　效率和稳定性。　时域有限差分（Ｆｉｎｉｔｅ—Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　Ｔｉｍｅ—Ｄｏｍａｉｎ，ＦＤＴＤ）法是目前电磁场计算中最有效数值方法之　』一　，已经被成功的应用于一些量子力学的计算当中　－７　７。与传统的量子力学计算方法相比，ＦＤＴＤ法　具有简单、方便、效率高的特点，在量子力学中将得到更进一步的发展和完善。其基本思想是利用显式　差分原理得到（１）式的离散形式，建立时间和空间上的递进序列。在ＦＤＴＤ法中，数值稳定性条件即时　间增量△￡和空间增量占的取值需满足的条件是非常重要的。它们不仅影响计算结果的精度和合理性，　还关系到计算成本高低的问题。然而，到目前为止，虽然文献［８］、［９］对偏微分方程的离散问题有过讨　论和分析，但只是从纯粹的数学出发，即从离散的误差意义上去讨论，没有任何实际物理意义，所得结论　是根据比较简单的偏微分方程所得，在实际运用中并不适合各种情况的含时薛定谔方程的ＦＤＴＤ计算。　故在量子力学计算中，往往△￡和占是根据经验所得　３　，　Ｊ。　本文的目的就是解决时间增量和空间增量的取值问题。基于有限差分近似、含时薛定谔波动方程　和量子力学问题，推导出时间离散间隔和空间离散间隔的稳定性要求，特别是详细讨论了不同势能和不　同维数的情况，得到了统一的表达式。对所得结果与参考文献中的经验值进行比较，同时对具体问题如　自由粒子、氘核半径和相干态问题进行计算分析，结果表明所得的稳定性条件是合理的，适用于各种形　式的薛定谔方程。　１　时间离散间隔的稳定性要求　＋收稿日期：２００７一ｌｊ一２３　作者简介：谷桂初（１９８２一），男，湖南省娄底市人，在读硕士研究生，主要从事时域有限差分法在计算电磁学和　量子力学中的应用研究．　维普资讯 http://www.cqvip.com

第３期　谷桂初，等：时域有限差分法计算薛定谔方程中的数值稳定性条件　・４ｌ・　＝Ａ厂　（２）　其中：ｆ是所考虑的物理量，Ａ为时间本征值，ｎ表示时间步。对于概率波函数，有　（ｒ，ｔ）＝　（ｒ）ｅ　（３）　这一经典解是下面一阶偏微分方程的解析解：　一ｉｔｏｋ　‘　（４）　其中　是系统处于ｋ阶状态的本征角频率。根据显式中心差分近似　，有　一、　、　　。　／ｌ，　（５）　式中　（ｒ，￡）＝　（ｒ，ｎＡｔ）＝　“（ｒ）。比较（５）和（２）式，可以得到ｆ＝　，Ａ＝一　ｎ＋－　ｎ—ｌ　２：：　，　：：。采用线性插值　掣　（６）（５）式变为　２Ａ　：一ｔ　ｉｔｏｋ＠ｎ　当△￡足够小时，定义数值增长因子ｇ　ｇ＝　＝　㈩　根据冯・诺依曼的稳定性条件，要求Ｉｇ　Ｉ　１。将（７）式代人（６）式得到数值增长因子满足的方程为　ｇ　＋２・ｉｔｏ　Ａｔ・ｇ一１：０　从而得到　（８）　ｇ＝一　Ａｔ±，／１一（　△￡）　若（６）式的数值解接近解析解（３），则将（３）式离散后代人（７）式，得到增长因子的另一种表达式　ｇ：ｅｘｐ（一ｉｔｏｋＡｔ）　（９）　（１０）　比较（９）式和（１０）式，满足ｌ　ｇ　ｌ曼ｌ且两式两等的充分条件为　１一（　Ａｔ）　即　０，Ｖ　ｋ　（１１）　｝　Ａｔ≤——　１　ｍａｘｋ｛　将　＝　ｒ，ｋ代人上式有　Ａｔ≤　ｍａｘ　（１２）　其中最大的本征能量值Ｅ　＝ｒｒｌａｘ　｛　｝，　为系统处于ｋ阶状态的本征能量值。　２时间增量和空间增量满足的关系　２．１势能Ｖ＝０的情况　考虑粒子在自由空间运动，即势能Ｖ＝０。在笛卡尔坐标系下，含时薛定谔波动方程可以写为…　一　（嘉＋芳＋善）　＝Ｅ　ｃ　３　维普资讯 http://www.cqvip.com ・４２・　云南师范大学学报（自然科学版）　第２８卷　其中：概率波函数　Ｉ　（　，），，　，ｔ）：Ａｅｘｐ［　（Ｋ　＋Ｋ　Ｙ＋Ｋ　—Ｅ　￡）］　（１４）　Ａ为幅值常数，　为系统ｋ阶状态对应的本征能量，　、　、　分别为　，），，　三个方向上的波矢。采用有　限差分近似，（１３）式中的二阶导数近似为　（１５）　ａ　（Ａｘ）　将（１４）式代入（１５）式得到　ａ　ｅｘｐ（　Ａｘ）一２＋ｅｘｐ（一　△　）　ｓｉｎ２（—ａ　———一≈～（△　）　　（Ｋｘ譬）　＝一　‘　（１６）　２ｍ［ｌ　（譬）　＋。　　＋（譬）　　。　卜　（譬）　ｊ　两边同乘以譬，上式又可以写为　２ｍ［ｌ　（等）　＋。　（　）　＋。　（譬）　向　‘…　一　上式应用了关系式（１　１）。要使上式对所有的Ｋ　、Ｋ　Ｋｚ都成立的充分条件是　ｍ　【ｔ击（　）ａｘ＋　（　ａ　ｔ）＋击（　Ｊａｚ）　２　　、　：　，　Ｓ　＋Ｓ　＋Ｓ　ｒｒｔ　（２０）　．ｓ＝　Ａｔ　ｓ　ｍ６　向　（２１）、　　ｍ　［Ｉ击＋（△　）　’　（△ｙ）　。＋击　一（△　）　Ｊ一　２２　　Ａ向ｔ’　’　Ａｔ　≤　Ｖ　（２３）　第一种情况是　Ｖ《１即　《　１，。故（２２）式的最后一项可以忽略不计。当△　＝△），＝　＝　，有　Ｓ　ｍＳ≤　ｍ，，Ｓ　（２４）　维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期　谷桂初，等：　时域有限差分法计算薛定谔方程中的数值稳定性条件　・４３・　分别对应于一维、二维和三维情况下的关系式。　第二种情况是势能和最大本征能量的比值并不远远小于１，（２２）式的最后一项不能忽略。（２２）式　两遍同时除以ｚｉｔ，得到　Ｉ一１一百Ｖ午ｍ　（△ｇ　）　一　Ｉ２　Ｚｉｔ　—ｊｉ）／　一１　（２５）　其中△ｑ　（｜ｉ｝＝　，Ｙ，Ｚ）表示在｜ｉ｝方向上的空间增量，ｍ　为｜ｉ｝方向上的有效质量。根据（１２）式，有　ｍｉｎ｛＿Ｉ１　１一　））＝丢（　Ｅｍａｘ一　）＝　＝　ｃ２６　其中Ｅ　＝　＋　，　为最大的动能。所以　ｓ　ｍｉｎ｛　（　１一　））＝　Ｔｍａｘ　（　）　从而　知（２８　在参考文献［１　１］中，网格节点上最大动能的估计值为　９）　从某种意义上说，（２９）式反映了（２８）式的正确性。　根据Ｓ的定义，在一维情况下　．ｓ＝　Ａ６　ｔ　杏Ｅ６　（＝　Ｔ　。ｍ　南＋　）。　　（３０）　在量子力学中，一般　～ｅＶ，６　～　，ｍ～１０　，ｊｉ～１０　。由（２８）、（２９）式很容易粗略估算到　・　６　～１０　，而　・６　～ｅＶ・　～１０　甚至更小。令Ｔｍ　・６　・６　，同时取（２８）式中的等号，有　．Ｓ　一ｍ（３１）　如果采用（２９）式，有　Ｓ≤　１百ｍ　，　（３２）　比较对照（２１）（２４）（３１）（３２）四式中的结论，可以发现，后者比前者要求更高，但不论是一维二维还是　三维空间，有势能存在还是没有势能存在，时间增量和空间增量的关系式Ｓ都处于同一数量级。但考虑　到一般的物理问题和稳定性条件的通用性和适用性，（２１）式是比较好的选择，第三节的数值结果可以　验证此结论。　３数值结果　表１列举了参考文献［３］［１Ｏ］中的经验值和根据上述结论所得到的计算值。其中带　号的为计算　值，不带　号的为经验值。经比较分析，经验值和计算值非常吻合，而由上述稳定性条件得到的计算值　更严格。　考虑自由电子在一维自由空间的运动，其初始试探波函数为　ｌ　（　，ｏ）＝ｆ、－５仃Ｚ－　ｚ）一　ｅｘｐ［ｉｋ。（　—　）一０．５ｆ　）１　　（３３）　－．　，　。　、　（ｒ　，根据上述稳定性条件，有Ｓ　１．４４４×１Ｏ　ｓｅｃ・ｍ一。令Ｓ＝１×１０　ｓｅｃ・ｍ一，　＝０．１Ａ，则△￡＝１×　１０～ｆｓ。根据（１２）式，容易得到△　１．７５６２×１０一ｆｓ，与取值非常吻合。图１是电子的运动图。从中可以看　出波包在运动过程中会随时间发散，其群速度为Ｃ＝１．８６×１０　ｍ／ｓ。与用变量法得出的解析值Ｃ＝１．　维普资讯 http://www.cqvip.com ・４４・　云南师范大学学报（自然科学版）　第２８卷　８５８９×１０　ｍ／ｓ非常接近。而且在计算中发现，随着时间的增加，其解并不发散。　表１　运用数值稳定性条件的计算值和文献中的经验值（一维情况）　Ｔａｂ．１　Ｔｈｅ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ＶＳ　ｔｈｅ　ｅｍｐｉｒｉｃａｌ　ｖａｌｕｅｓ　ｉｎ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ　（ｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｃａｓｅ）　Ｏ．１Ｏ　Ｏ．１Ｏ　Ｏ．ｏａ　０．０６　Ｏ．ｏ５　０－０４　．　．皇　主　Ｏ．ｏ２　三　Ｏ．ｏｏ　■　Ｏ．ＯＯ　山　山　．Ｏ２　．Ｏ５　＿０４　．Ｏ６　旬．１Ｏ　．Ｏ８　．１Ｏ　Ｏ　２００　４００　６００　８００　１Ｏｏｃ　Ｏ　２００　４００　６００　８００　Ｓｐａ嗡Ｉ　ｇｒｉｄ　ｎｕｍｂＨ　Ｓｐａｔｉａｌ　ｇｒｉｄｎｎｍｂｅｌ＂　图１电子在空间运动。其中Ｓ＝１×１０　ｓｅｃ・ｍ～，空间增量　＝０．１ｈ，波包初始中心　＝２００Ａｘ，ｏｒ：３０Ａｘ，波　长Ａ＝３９Ａｘ。（ａ）ｔ：１００００Ａｔ．（ｂ）ｔ：２００００Ａｔ．　Ｆｉｇ．１　Ｔｈｅ　ｍｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｏｎ　ｉｎ　ｆｒｅｅ　ｓｐａｃｅ，ｗｈｅｒｅＳ＝１　ｘ　１０　ｓｅｅ・ｍ～，△　＝Ｏ．１ＡＩ　ｔｈｅ　ｉｎｉｔｉａｌ　ｃｅｎｔｅｒ　ｏｆｔｈｅ　ｗａｙｅ　ｐａｃｋｅｔ　＝２００ａｘ。ｏｒ＝３０ｋｘ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｗａｖｅｌｅｎｇｔｈＡ＝３９Ａｘ．（ａ）ａｔ　ｔｉｍｅｔ＝ｌＯ０００Ａｔ　ａｎｄ（ｂ）ｔ＝２００００ａｔ．　０．２５　Ｏ・２ｏ　譬　々　Ｏ．１５　．　０．１０　Ｏ．０５　Ｏ．ｏｏ　Ｏ　４０　２０　３０　４０　５０　Ｓｐａｔｉａｌｇｒｉｄｎｕｍｂｍ＂　图２氘核基态概率密度　Ｆｉｇ・２　Ｔｈｅ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｏｆ　ｄｅｕｔｅｒｏｎ　ａｔ　ｇｒｏｕｎｄ　ｓａｔｅ　ＶＳ　ｓｐａｔｉａｌ　ｄｓ　ｗｈｅｒｅ　Ｓ＝１　ｘ　１０　ｓｅｅ・ｍ～。△　＝ｌｆｍ　另一个物理问题是求解氘核基态的概率半径。其势能采用形式　（ｒ）＝一　ｅ　“，其中Ｖｏ：３２．　７Ｍｅｖ，　＝２．１６ｆｍ。氘核的有效质量为　＝８．３４５８×１０　ｋｇ。运用上述稳定性条件可以得到Ｓ　１．　３２４７×１０。ｓｅｃ。ｍ一。令Ｓ＝１×１０　ｓｅｃ・ｍ～，Ａｘ：ｌｆｍ，则Ａｔ＝１×１０一ｆｓ。’而由（１２）式得到的时间增　维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期　谷桂初，等：时域有限差分法计算薛定谔方程中的数值稳定性条件　・４５・　量为３ｔ≤１．６１０７×１０一ｆｓ，取值满足条件。初始试探波函数采用　（ｒ，０）＝ｅ　图２反映的是基态概率密度在空问上的分布。从图中可以看出，峰值所对应的地方就是基态概率半径　的大小，为Ｒ＝３．１７３８ｆｍ，这与解析解Ｒ＝３．２６ｆｍ相差不超过２．６４％。并且随着时问步的增加，误差不　会增大，计算得到的概率半径也不变，计算结果非常理想，是稳定的。　相干态被广泛的应用于量子光学问题，在这里考虑谐振子的相干态问题。设初始时刻波包中心不　在谐振势的平衡点，其波函数为　（　，０）＝７ｒ　Ｌ－Ｉ／￣ｅ－（　０）　其中Ｌ＝　｝ｉ／ｍ∞。采用原子单位（｝ｉ＝ｍ＝ｅ＝１），令∞＝１，　。＝２０Ａｘ，得到其波包中心随时变化曲线　图３，其中虚线表示理论值。波包中心Ｘ　的变化表明了此时的这个态不可能是一个定态，而是由无穷多　个态按一定的权重相干叠加而成。图３比较了Ｓ取不同值的情况，当Ｓ越大，误差增大，当Ｓ越小，精度越　高，但计算成本增加。Ｓ＝１／６时能得到满意的结果。　２０　１０　。２０　１０　０　－０　．１０　１０　锄　０　２０　１０　。　锄　２０００　４０００　６０００　８０００　０　２０　５０００　１００００　１５０００　１０　０　－０　．１０　１０　锄　０　５０００１咖ａ５‘　０【１０Ｉ陀５０００　Ｔｉｍｅ　ｓｔｅｐ　Ｔｉｍｅ　ｓｔｅｐ　图３不同的．ｓ所对应的波包中心（　）变化曲线　其中：实线表示计算值。虚线表示理论值。Ａｔ：０．ＯＯＯ６。ａ…ｂ　Ｃ　ｄ四图分别对应Ｓ＝１／２。１／４。１／６。　１／８　Ｆｉｇ．３　Ｔｈｅ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｗａｖｅ　ｃｅｎｔｅｒ　ｗｉｔｈ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　Ｓ　ＶＳ．ｔｉｍｅ　ｓｔｅｐ　ｗｈｅｒｅ　ｔｈｅ　ｓｏｌｉｄ　ｌｉｎｅ　ｍｅａｎｓ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｄｏｔ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ　ｖａｌｕｅｓ．Ｆｉｇｕｒｅｓ　ａ，ｂ，Ｃ，ｄ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｔｏ　Ｓ＝１／２，１／４，１／６，１／８，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．　４小结　在运用ＦＤＴＤ法解薛定谔波动方程之前，时问增量和空问增量或者是关系式的选择确定是非常重　要，它关系到计算的精度、解的稳定和收敛性。结合时域有限差分原理、薛定谔波动方程和量子力学问　题，综合各种不同的物理问题，得到了统一的稳定性条件　维普资讯 http://www.cqvip.com ・４６・　云南师范大学学报（自然科学版）　第２８卷　参考文献：　［１］　曾谨言．量子力学（卷Ｉ）（第三版）［Ｍ］．北京：科学出版社，２０００．３２—７１．　［２］　葛德彪，闫玉波．电磁波时域有限差分法［Ｍ］．西安：西安电子科技大学出版社，２００２．１—８９．　［３］　黄整，陈晓敏，朱正和．时域有限差分法对双原子分子振动光谱计算的应用［Ｊ］．原子与分子物理学报，２０００，１７　（４）：５７６—５８２．　［４］　Ｃｈａｎｇ　Ｓ　Ｈ　ａｎｄ　Ｔａｎｏｖｅ　Ａ．Ｆｉｎｉｔｅ—ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｔｉｍｅ—ｄｏｍａｉｎ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｌａｓｉｎｇ　ａｃｔｉｏｎ　ｉｎ　ａ　ｆｏｕｒ—ｌｅｖｅｌ　ｔｗｏ—ｅｌｅｃｔｒｏｎ　ａｔｏｍｉｃ　ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ｏｐｔｉｃｓ　Ｅｘｐ．，２００４，１２（１６）：３８２７—３８３３．　［５］　Ｓｈｉｂａｔａ　Ｔ．Ａｂｓｏｒｂｉｎｇ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｆｉｎｉｔｅ—ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｔｉｍｅ—ｄｏｍａｉｎ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｓｃｈｒ？ｄｉｎｇｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｂ，１９９１，４３（８）：６７６０—６７６３．　［６］　罗有华，黄整，王育竹．冷原子在静电势阱中的量子力学效应［Ｊ］．物理学报，２００２，５１（８）：１７０６—１７１０．　［７］　谷桂初，周庆．时域有限差分法在势垒贯穿问题中的应用［Ｊ］．云南师范大学学报（自然科学版），２ＯＯ７，２７（５）：４３—４８．　［８］　Ｍｏｒｔｏｎ　Ｋ　Ｗ　ａｎｄ　Ｍａｙｅｍ　Ｄ　Ｆ．Ｎｕｍｅｉｒｃａｌ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｐａｒｔｉｌａ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ，２００５．　［９］　Ｔｈｏｍａｓ　Ｊ　Ｗ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｐａｒｔｉａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ：Ｆｉｎｉｔｅ　Ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｍｅｔｈｏｄｓ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｗｏｒｌｄ　Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ　Ｃｏｒｐｏ－　ｒａｔｉｏｎ，１９９７．５—１３９．　［１０］　Ｓｕｌｌｉｖａｎ，Ｄｅｎｎｉｓ　Ｍ．Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ＦＤＴＤ　ｍｅｔｈｏｄ［Ｍ］，Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：ＩＥＥＥ　Ｐｒｅｓｓ　Ｍａｒｋｉｎｇ，２０００．　１３６—１４０．　［１１］　Ｋｏｓｌｏｆｆ　Ｒ．Ｔｉｍｅ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　ｑｕａｎｔｕｍ—ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ｍｏｌｅｃｕｌａｒ　ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｊ］．Ｊ．Ｐｈｙｓ．Ｃｈｅｍ．，１９８８，９２　（８）：２０８７—２１００．　Ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｉｎｉｔｅ—－ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｔｉｍｅ—－ｄｏｍａｉｎ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｓｃｈｒｏｅ　ｄｉｎｇｅｒ　ｗａｖｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ＧＵ　Ｇｕｉ—ｃｈｕ，ＣＨＥＮ　Ｊｉｕ—ｆｕ，ＧＡＯ　Ｌｉ—ｘｉａｏ，ＺＨＯＵ　Ｑｉｎｇ　（１．Ｄｅｐａｔｒｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｙｕｎｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｋｕｎｍｉｎｇ　６５００９　１，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｄｅｐａｔｒｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃｉｓ，Ｚｈａｏｔｏｎｇ　ｔｅａｃｈｅｒ￣ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｚｈａｏｔｏｎｇ　６５７０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｆｉｎｉｔｅ—ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｔｉｍｅ—ｄｏｍａｉｎ（ＦＤＴＤ）ｍｅｔｈｏｄ　ｉｎ　ｑｕａｎｔｕｍ　ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｍｅａｎｉｎｇ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｏｆ　ｓｐａｔｉａｌ　ｉｎｃｒｅｍｅｎｔ　ａｎｄ　ｔｉｍｅ　ｉｎｃｒｅｍｅｎｔ　ａｒｅ　ｏｆｔｅｎ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ　ｅｍ—　ｐｉｒｉｃａｌｌｙ．Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｔｉｍｅ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　Ｓｃｈｒｏｅ　ｄｉｎｇｅｒ　ｗａｖｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｐｈｙｓｉｃａｌ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ，ｔｈｅ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｃｏｎｄｉ－　ｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｃｈｏｉｃｅ　ｏｆ　ｉｎｃｒｅｍｅｎｔ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ａｒｅ　ｄｅｄｕｃｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．Ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｃａｓｅｓ　ｏｆ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｅｎｅｒｇｙ　ａｒｅ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ　ｔｏ　ｏｂｔａｉｎ　ｔｈｅ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ．Ａｎｄ　ｆｕｒｔｈｅｒ，ｓｏｍｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ｔｏ　ｓｈｏｗ　ｔｈｅ　ｖａｌｉｄｉｔｙ　ｂｙ　ｔｈｅ　ＦＤＴＤ　ｍｅｔｈｏｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｔｈｅ　ＦＤＴＤ　ｍｅｔｈｏｄ；Ｓｃｈｒｏｅ　ｄｉｎｇｅｒ　ｗａｖｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｔｈｅ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｗａｖｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ