常见的微分方程类型归纳

微分方程是指含有未知函数的导数的方程。未知函数是一元函数的叫做常微分方程，未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。《微积分》里面的微分方程仅限于常微分方程。咱们所讲到的微分方程归纳为以下几类： 一、可分离变量的微分方程 形如：

dyf(x)g(y) dx求解方式：

若是g(y)0，方程可化为：

dyf(x)dx g(y),两边取积分,

dyg(y)f(x)dxc

求出积分，那么为方程的通解。 例1：

dyy2cosx dx解：将变量分离，取得

dycosxdx 2y1sinxc y1

sinxc两边积分，即得 那么通解为 y二、一阶线性微分方程 形如：

dyP(x)yQ(x) （1） dx若Q(x)0，那么原方程称为一阶线性齐次方程；假设Q(x)0，原方程称为一阶线性非齐次方程。 求解方式：

先解原方程对应齐次方程的通解： 对应齐次方程为：

dyP(x)y0 （2） dx分离变量，得

dyP(x)dx yP(x)dx两边积分，得 yce （3）

（3）为一阶线性齐次方程（2）的通解。 常数变易法：

P(x)dx令对应齐次方程的通解yce中的常数c为 cux（常数变函数） P(x)dx则yu(x)e为非齐次方程(1)的通解；

P(x)dx将yu(x)e代入（1）式，解得u(x) 的具体函数表达式，

即求出（1）式的通解。

例2：求微分方程y2xyx的通解 解：对应齐次方程为： y2xy0

分离变量，得 2xdx1dy y1dy y两边取积分，得

2xdx22解得：yex2c1ec1excex

令 cux

x那么 yuxe为原方程的通解，带入原式。得

2x2x2 uxe2xuxex

x化简得：uxxe

21x21x2两边积分，得 uxecec

22即，原方程的通解为：y三、二阶常系数线性微分方程

形如：y+py+qy=fx

1x22ecex 2若fx0，方程为二阶常系数齐次线性微分方程； 若fx0，方程为二阶常系数非齐次线性微分方程； 1、 二阶常系数齐次线性微分方程 y+py+qy=0 求解方式：

第一步 写出微分方程的特点方程 r+pr+q0

2第二步 求出特点方程的两个根r1、r2

第三步 依照特点方程的两个根的不同情形 写出微分方程的通解 例3：求微分方程y2y3y0的通解 解： 所给微分方程的特点方程为

r2r30 即r1r30

2其根r11 r23是两个不相等的实根 因此所求通解为 yc1exc2e3x

2、 二阶常系数非第二线性微分方程 y+py+qy=fx0

注：二阶常系数非第二线性微分方程的通解是由对应齐次方程的通解加自身的特解组成 仅讨论f(x)exPm(x)型 即 ypyqyexPm(x) 求解方式：

设原方程的特解结构为：y•exQ(x)

（1） 当不是特点根时，Q(x)可设为Q(x)Qm(x)，即为m次多项式。 （2） 当是特点单根时，Q(x)可设为Q(x)xQm(x)，即为m1次多项式。 当是特点重根时，Q(x)可设为Q(x)x2Qm(x)，即为m2次多项式 例4：求yyx的通解

解：特点方程为 rr0 那么r10,r21， 那么齐次方程的通解为yc1c2e

•2由于0是特点单根，那么设特解为yxQ2(x)x(axbxc)

x22代入方程，比较系数得 3ax(6a2b)x2bcx

221,b1,c2 312•故 特解 yx(xx2)

3因此 a

工程技术系：孙慧