解析几何测试题及答案解析

解析几何测试题及答案解析(1)(总

9页)

--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小--

2013届高三数学章末综合测试题（15）平面解析几何（1）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D与E的关系是( )

A．D＋E＝2

C．D＋E＝－1

B．D＋E＝1

D．D＋E＝－2X k b 1 . c o m

EDED

解析 D 依题意得，圆心－2，－2在直线x＋y＝1上，因此有－2－2＝1，即D

＋E＝－2.

2．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( )

A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8

B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8

解析 B 直径的两端点为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

x22

3．已知F1、F2是椭圆＋y＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最

4大值的点P为( )

A．(－2,0) B．(0,1) C．(2,0) D．(0,1)和(0，－1)

解析 D 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|·|PF2|≤ 当且仅当|PF1|＝|PF2|，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．

x2y2

4．已知椭圆＋＝1的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若连接F1、F2、P三

1625点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是( ) B．3

x2y2π

解析 A 椭圆＋＝1的焦点分别为F1(0，－3)、F2(0,3)，易得∠F1PF2<，∴∠

16252ππx2y216pp

PF1F2＝或∠PF2F1＝，点P到y轴的距离d＝|xp|，又|yp|＝3，＋＝1，解得|xP|＝，

2216255故选A.

5．若曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )

|PF1|＋|PF2|2

＝4， 2

2

A．4x＋y＋4＝0 C．4x－y－12＝0

B．x－4y－4＝0 D．4x－y－4＝0

解析 D 设切点为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0， ∴2x0＝4，即x0＝2， ∴切点为(2,4)，方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.

6．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

x2y211

解析 C 方程可化为＋＝1，若焦点在y轴上，则>>0，即m>n>0.

11nmmn

x2y2

7．设双曲线2－2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的

ab离心率为( )

B．5

b

解析 D 双曲线的渐近线为y＝±x，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点

a

2

y＝x＋1，b

即可由b得x2－x＋1＝0.

ay＝x，a

b2

∴Δ＝2－4＝0，即b2＝4a2，∴e＝5. a

x2y2

8．P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则

43→→PF1·PF2＝( )

A．3 C．23

解析 D ∵S△PF1F2＝b2tan1→→＝4，∴PF1·PF2＝4×＝2.

2

x2y21

9．设椭圆2＋2＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，

mn2则此椭圆的方程为( )

D．2

60°1→→→→

＝3×tan 30°＝3＝|PF1|·|PF2|·sin 60°，∴|PF1||PF2|22

3

y2

＋＝1 16y2

＋＝1 64

y2

＋＝1 12y2

＋＝1 48

c＝2，

解析 B 抛物线的焦点为(2,0)，∴由题意得c1

m＝2，

∴m＝4，n2＝12，∴方程为

10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )

C．2

D．3

x2y2

＋＝1. 1612

x2y2x2y2

解析 B 设双曲线C的方程为2－2＝1，焦点F(－c，0)，将x＝－c代入2－2

abab＝

1可得

11．已知抛物线

y2＝4x

x2y2

的准线过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左顶点，且此双曲线的

ab

y2＝

b4b2c2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝＝3. ，∴|AB|＝2×＝2×2a，∴ba2aa

一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距为( )新 课 标 第 一 网

解析 B ∵抛物线

y2＝4x

B．25 D．23

x2y2

的准线x＝－1过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左顶点，

ab

b

∴a＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±bx.∵双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，∴b＝

a2，∴c＝

12．已知抛物线

y2＝2px(p>0)上一点

x22

M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y

a

a2＋b2＝5，∴双曲线的焦距为25.

＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为( )

解析 A 由于M(1，m)在抛物线上，∴m2＝2p，而M到抛物线的焦点的距离为

4

pp

5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－的距离也为5，∴1＋＝5，∴p＝8，

22由此可以求得m＝4，双曲线的左顶点为A(－a，0)，∴kAM＝x411

方程为y＝±，根据题意得，＝，∴a＝.

9aa1＋a

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知直线l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－(a－1)y＋2＝0(a∈R)，则l1⊥l2的充要条件是a＝________.

21

解析 l1⊥l2⇔a·＝－1，解得a＝.

3a－11

【答案】

3

14．直线l：y＝k(x＋3)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，|AB|＝22，则实数k＝________.

解析 ∵|AB|＝22，圆O半径为2，∴O到l的距离d＝

14. 714 7

22－2＝2.即

|3k|k2＋1

＝

4

，而双曲线的渐近线1＋a

2，解得k＝±

【答案】 ±

15．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．

解析 如图，圆的方程可化为 (x－3)2＋(y－4)2＝5， ∴|OM|＝5，|OQ|＝在△OQM中，

11|QA|·|OM|＝|OQ|·|QM|， 22∴|AQ|＝

25×5

＝2，∴|PQ|＝4. 5

25－5＝25.

【答案】 4

→→→

16．在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝22，则顶点A的轨迹方程为________．

5

解析 以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点．

则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|， |AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝22，

∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝2，c＝2，∴b＝2，∴x2y2

方程为－＝1(x>2)．

22

x2y2

【答案】 －＝1(x>2)

22

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在平面直角坐标系中，已知圆心在直线y＝x＋4上，半径为22的圆C经过原点O.

(1)求圆C的方程；

(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程． 解析 (1)设圆心为(a，b)，

b＝a＋4，a＝－2，则解得

22b＝2，a＋b＝22，

故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.

(2)当斜率不存在时，x＝0，与圆的两个交点为(0,4)，(0,0)，则弦长为4，符合题意； 当斜率存在时，设直线为y－2＝kx，

－2k

2，无解． 则由题意得，8＝4＋

1＋k2

综上，直线方程为x＝0.

18．(12分)(2011·合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－3，0)和F2(3，0)，且椭圆过点1，－



3. 2

(1)求椭圆方程；

6

－，0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶(2)过点5

6

点．试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．

x2y2

解析 (1)设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，

ab

a2－b2＝3，3由c＝3，椭圆过点1，－可得1新课标第一网 32＋＝1，a24b2

2a＝4，x22

解得所以可得椭圆方程为＋y＝1.

42

b＝1，

6(2)由题意可设直线MN的方程为：x＝ky－，

5



联立直线MN和椭圆的方程：x

4＋y＝1，

2

2

6

x＝ky－，

5

1264

化简得(k2＋4)y2－ky－＝0.

525

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

6412k

则y1y2＝－，y， 1＋y2＝

25k2＋45k2＋4

416→→

又A(－2,0)，则AM·AN＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋k(y1＋y2)＋＝0，所

525π

以∠MAN＝.

2

19．(12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别为7和1.

(1)求椭圆C的方程；

|OP|

(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，＝e(e为椭圆

|OM|离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

解析 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，

a－c＝1，a＝4，

由已知，得解得

a＋c＝7，c＝3.

x2y2

∴椭圆方程为＋＝1.

167

(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x∈[－4,4]，

7

x2＋y213

由已知得22＝e2，而e＝，

4x＋y

2

故16(x2＋y1)＝9(x2＋y2)，①

由点P在椭圆C上，得2

y1＝

112－7x2

， 16

代入①式并化简，得9y2＝112.

47∴点M的轨迹方程为y＝±(－4≤x≤4)，

3∴轨迹是两条平行于x轴的线段．

20．(12分)给定抛物线y2＝2x，设A(a,0)，a>0，P是抛物线上的一点，且|PA|＝d，试求d的最小值．

解析 设P(x0，y0)(x0≥0)，则y20＝2x0， ∴d＝|PA|＝

x0－a2＋y20＝x0－a2＋2x0＝

[x0＋1－a]2＋2a－1.

∵a>0，x0≥0，

∴(1)当00， 此时有x0＝0时，dmin＝1－a2＋2a－1＝a；新 课 标 第 一 网

(2)当a≥1时，1－a≤0， 此时有x0＝a－1时，dmin＝

21．(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M(3，m)在双曲线上．

(1)求双曲线方程；

(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上； (3)求△F1MF2的面积．

解析 (1)∵双曲线离心率e＝2， ∴设所求双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 则由点(4，－10)在双曲线上， 知λ＝42－(－10)2＝6，

2a－1.

8

∴双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)若点M(3，m)在双曲线上，则32－m2＝6，∴m2＝3，由双曲线x2－y2＝6知F1(23，0)，F2(－23，0)，

→→∴MF1·MF2＝(23－3，－m)·(－23－3，－m)＝m2－3＝0， →→

∴MF1⊥MF2，故点M在以F1F2为直径的圆上． 1

(3)S△F1MF2＝|F1F2|·|m|＝23×3＝6.

2

22．(12分)已知实数m>1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连1

线斜率之积为－2.

m

(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；

(2)当m＝2时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？

(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的距离与到直线x＝2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率．

解析 (1)设S(x，y)，则kSA＝

，kSB＝. x＋mx－my－0

y－0

y21x2

由题意，得2＝－2，即2＋y2＝1(x≠±m)． 2mmx－m∵m>1，

∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.

x22

(2)当m＝2时，曲线C的方程为＋y＝1(x≠±2)．

2

2x－y＋t＝0，由x2消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.

＋y2＝1，2

令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3.

9

∵t>0，∴t＝3.

此时直线l与曲线C有且只有一个公共点． (3)由(2)知直线l的方程为2x－y＋3＝0，

设点P(a,2a＋3)(a<2)，d1表示P到点(1,0)的距离，d2表示P到直线x＝2的距离，则 d1＝

a－12＋2a＋32＝

5a2＋10a＋10，

d2＝2－a， d1∴＝d2

5a2＋10a＋10

＝2－a

a2＋2a＋25×.

a－22

a2＋2a＋2

令f(a)＝，

a－22

2a＋2a－22－2a2＋2a＋2a－2

则f′(a)＝ a－24＝

－6a＋8

.

a－23

4

令f′(a)＝0，得a＝－.

34

∵当a<－时，f′(a)<0；

34

当－0.

3

4d1

∴f(a)在a＝－时取得最小值，即取得最小值，

3d2d1∴dmin＝

2

42

－＝， 5·f32

2

， 2

又椭圆的离心率为

d1

∴的最小值等于椭圆的离心率． d2

10