高考数学解题技巧-隔板法的三种题型

维普资讯 http://www.cqvip.com ｌ８　数学皇　江苏省海安高级中学有关名额分配问题常用隔板法，笔者对此进行了　研究，总结了三种题型，现介绍给大家．　１．“至少一个名额”型　例１某校ｌＯ个三好学生名额拟分配给高三年　级６个班，每班至少１个名额，试问共有多少种不同　的分配方案？　分析　用“ｏ”表示名额，将ｌＯ个名额放置如　下：　ｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏ　图１　这ｌ０个名额中间产生９个“空”，从这９个“空”　中选出５个插人５块“隔板”，事先约定：隔板分成的　６份名额数，从左到右依次给１至６班．例如在图２　中，１班２个名额，２班３个名额，３班１个名额，４班１　个名额，５班２个名额，６班１个名额．　ｏ　ｏ　Ｉ　ｏ　ｏ　ｏ　Ｉ　ｏ　Ｉ　ｏ　Ｉ　ｏ　０　１　０　图２　我们知道，从９个“空”任取５个插人５块“隔　板”，共有　＝１２６种方法．又每一种插法都对应着　种名额分配方案，故共有１２６种不同的分配方案．　说明１．“事先约定”是必须的，没有事先约定，　名额就无法分配．　２．“至少一个名额”是利用“隔板法”处理有关名　额分配问题的特定情境．　３．一般地，　个名额分配到ｍ（ｍ≤　，ｍ、　∈Ｎ’）　个单位，每个单位至少１个名额，共有　种不同的　分配方案．　２．“多于一个名额”型　例２某校２５个三好学生名额拟分配到高三年　级６个班，每班至少３个名额，试问共有多少种不同　的分配方案？　分析创设“隔板”情境：每班至少１个名额．为　此，我们先给每班分配２个名额，原题意转化为：“某　校ｌ３个三好学生名额拟分配到高三年级６个班，每　《数理化解题研究）ｚｏｏｓ年第５期　（２２６６００）　王光华●　班至少１个名额，试问共有多少种不同的分配方　案？”，仿照例１，可知共有Ｃ７２＝７９２种不同的分配方　案．　例如，在图３中，ｌ班共有６个名额，２班共有３　个名额，３班共有５个名额，４班共有５个名额，５班　共有４个名额，６班共有３个名额．注意：这里，每个　班除了图３中的名额外，另外都还有２个名额，应加　上．　ｏ　ｏ　ｏ　ｏ　Ｉ　ｏ　Ｉ　ｏ　ｏ　ｏ　Ｉ　ｏ　ｏ　ｏ　Ｉ　ｏｏ　Ｉ　ｏ　图３　例３将ｌＯ个相同的小球放人编号为１，２，３的　三个盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于该盒子　的编号数，则不同的放法共有多少种？　分析先在２号盒子内放人１个小球，在３号盒　子内放人２个小球，则原题意可转化为：“将７个相同　的小球放入编号为１，２，３的三个盒子中，每个盒子中　至少１个小球，不同的放法共有多少种？”，仿照例１，　可知共有　＝１５种不同的放法．　说明我们先把多于１个的名额分配好，有意识　地创设“至少一个名额”特定的解题情境，就可以巧　妙地将题型２转化为题型１，问题便迎刃而解．　３．“允许没有名额”型　例４某校ｌＯ个三好学生名额拟分配给高三年　级６个班，如果允许部分班级没有名额，试问共有多　少种不同的分配方案？　分析应注意可能部分班级一个名额也没有分　配到，要创设“隔板”情境，必须每班至少１个名额．　为此，我们先给每班补上一个“虚”的名额，把原题意　转化为：“某校ｌ６个三好学生名额拟分配到高三年　级６个班，每班至少１个名额，共有多少种不同的分　配方案？”．仿照例ｌ，可知共有ｃ；　＝３００３种不同的　分配方案．　例如，在图４中，ｌ班３个名额，２班２个名额，３　班没有名额，４班３个名额，５班没有名额，６班２个　维普资讯 http://www.cqvip.com 数理化解题研究))2008年第5期《数学篇19名额注意：这里每个班都有个虚的名额应去学校分1台虚的于是变成11台原题意可转化5掉为：现准备将11台型号相同的电脑分配给l所小OOOoIoooIoIooooloIOoo图4学每所小学至少台共有多少种不同的分配方c案仿照例1共有40210种不同的分配方案，说明如果允许没有名额我们先让其补上个例8小明有lO块相同的巧克力每天至少吃虚的名额这样我们就有意识地创设了至少块且吃整数块直到吃完共有多少种不同的吃法?分析思路1个名额特定的解题情境巧妙地将题型题型I3也转化为有两种思路：分成10类第类小明1天全部吃例5(A)4分析将4个相同的小球投人’3个不同的盒内(完1种方法；第二类小明恰好2天全部吃完可把不同的投入方式共有)题意转化为把10个名额分配给2人每人至少1个种(B)3种。(C)15种(D)30种名额共有a种不同的分法；第三类小明恰好3天可能有些盒子内没有投人小球同样全部吃完类似地共有C；种不同的分法．．．；第十种不我们给每个盒子内放盒子至少个虚的小球原题意可转类小明恰好10+天全部吃完共有儡种不同的分’化为：将7个相同的小球投入3个不同的盒内每个法故共有1q+焉+四+步+c；2512个小球则不同的投人方式共有多少同的吃法9种仿照例选(C)例1可知共有b赁d15种不同的投入方案思路2分成910块相同的巧克力中产生个空每个空是否插人隔板都有’2种可能故共有6将(a++c+)展开为多项式经过合’22种插法且每种插法都对应着个吃法故共有并同类项后共有多少不同的项?分析a’512种不同的吃法本题可转化为：将9个相同的小球投入到例如在图5中小明第块第3天吃1天吃3块第21天吃2bcd4个不同的盒内不同的投人方式共有多少1块第4天吃3块第5天吃块种?仿照例5可知共有c32220个不同的项ooOlooIoIooOIO图S例7现准备将10台型号相同的电脑分配给5所小学其中AB两所希望小学每个学校至少2台利用隔板法解决有关名额分配问题其构思精其他小学允许方案分析1台也没有则共有多少种不同的分配B巧方法独特认真领会文中的三种典型题型可以举A反三触类旁通些山重水复疑无路的问题两所希望小学每个学校至少21就可以柳暗花明又村了台我们先给他们每个学校分1台这样剩下8台：其他小学允许台也没有我们给这些学校每个河北省正定县第二中学(∞D8D0)黄利林●项式定理的问题相对独立解法灵活而对系数为数的考查又是高考中必考内容种常见形式现将系数问题的六解(3z)二项展开式中第r+1项的通项为Z。G列举希望对同学们有所帮助‘5求二项式系数+因此第四项的二项式系数为酲生学例1在(3x5)展开式中第四项的二项式系‘20小结1注意(口+b)展开式第in项的二项式