解排列问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列问题，那 是否有序，抓住问题本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析， 同时要讲究一些基本策略与方法技巧。 1、特殊元素的“优先按排法” 。
例 1、用 0、 1、2、3、4 这五个数字，组成没有重复的三位数，其中 偶数共有多少？（分析） 由于三位数是偶数，故末尾数字必须是偶数，以“ 0”不能 排在首位，所以“ 0”就是其中特殊元素，优先按排。按“ 0”在末尾 和不在末尾分为两类。共 A24+A 12 A 13 A 13 =30种。
2、相邻问题有“捆绑法”。对于某几个元素要求相邻的排列问题，可 将先相邻的元素“捆绑”起来，作为一个“大”的元素，与其他元素 排列，然后再对相邻元素的内部进行排列。
例 2、 7 人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻有多少种不同的 排法？
（分析）先把甲乙丙三人“捆绑“看作一个元素，与其余 4 个元素进 行排列再对甲、乙、丙三人进行排列。共 A55A 33种。
3、不相邻问题有“插空法” 。对于某几个元素不相邻的排列问题，可 先将其他元素排好， 然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两 端的空隙间插入即可。
例 3、 7 人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人不相邻有多少种不同 的排法？
分析）先让其余 4 人站好，有 A 44种排法，这时有 5 个“空隙”可 供甲、乙、丙选取，即 A 53种。共 A 44 A 35种排法。
4、间接法或淘汰法。 理解题中的要求，把不符合要求的除去，此时 应注意既不能多减也不能少减。
例 4、5 名男生，5 名女生排成一行，其中 5 名男生不排在一起，有 几种排法？
（分析）先计算出 10人的全排列数，再减去 5 名男生排在一起的排 列数即可。共 A 1100 —A 55A 66排法。
5、合理分类与准确分步。 解含有约束条件的排列组合问题，应按元 素的性质进行分类，事情发生的连续性分步，做到分类标准明确，分 步层次清楚，不重不漏。
例 5、五人从左到右站成一排， 其中甲不站排头， 乙不站第二个位置， 共有多少种不同站法
（分析）若甲在第二位置上其余 4人可自由按排，有A 4种； 若甲在第 3、4、5位置上，则乙可站在其他 3 个位置上，有 A13A13A33 种；共A4 +
A3A；A3种排法。
或用间接法：①甲在第一位置，乙在第二位置有 A 3种；②甲在第一 位置，乙不在第二位置有 A3A3种；③甲不在第一位置，乙在第二位 置有A3A3种；即共有A 3+ A3A3+ A3A3种不符合要求，则符合要求 的有 A5—（A3 + A
；A3+ A；A3）种。
6、顺序固定问题有“除法” 。对于某几个元素顺序一定的排列问题， 可先将这几个元素与其他元素一同进行排列， 然后用总的排列数除以 这几个元素的全排列数。
例7、五人排列，甲在乙前面的排法有多少种？
（分析）先将5人全排列有A5种排法，而甲、乙之间排法有A2种排 法，而甲在乙前的排法只有一种符合，故符合条件的排法有 笃种。
A2
例8由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复且是 6的 倍数的五位数？
（分析）6的倍数的数既是2的倍数不是3的倍数，其中3的倍数又 满足“各个数位上的数字和是3的倍数”的特征。把6个数字分成4 组：（1, 5）（2, 4）（3）（6），每组数字之和为3的倍数，因而可分 成两类，一类由1、5、2、4、6作为数码，另一类由1、5、2、4、3 作为数码，且末尾数字为偶数即可。第一类有 A； A 4种，第二类有共 有A；A：种，共有A3A4+ A2A4种。
巩固练习
1、 有3名男生、4名女生、排成一排
（1）选其中5人排成一行（2）甲只能在中间或两头（3）甲、乙二 人
必须在两头（4）甲不在排头，乙不在排尾（5）男生、女生 各站一边（6）男生必须排在一起（7）男生、女生各不相邻（8） 男生不能相邻（9）甲、乙、丙三人中甲必须在前，丙必须在后， 但三人不一定相邻（10）甲、乙中间必须有3人，各有多少种
不同的排法
(答案)(1) A5 (2) A；A6 (3) A2A5 (4) 3720 (5) A3A4A2 (6)
A3A5 (7) A3A4
(8) A4A5 (9)
峑(10)
Z
2、 由数字0、1、2、2、4、5组成（各位上数字不允许重复）（1）
多少六位数？ （ 2）多少个六位偶数（3）多少个被5整除的五 位数？ （4）多少个被3整除的五位数（5）比240135大的六位 数有多少个？允许重复呢？
例1求不同的排法种数： （1） （2） （3） （4）
6男2女排成一排，2女相邻； 6男2女排成一排，2女不能相邻； 4男4女排成一排，同性者相邻； 4男4女排成一排，同性者不能相邻.
例3 某小组6个人排队照相留念. （1） （2） 种排法？ （3）
若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？ 若分成两排照相，前排 2人，后排4人，有多少种不同的排法？
若分成两排照相，前排 2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少
⑷ 若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？ （5） （6）
若排成一排照相，其中有 3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？ 若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？
（答案）（1）A；A： （2）312（3）216（4）216（5）407
（二）组合
组合与排列有许多联系，在解决组合问题中常借用解决排列问题的方 法。以下是解决组合问题的几种方法 1、 直接法或间接法
例1、在100件产品中有98件合格品，2件次品。从这100件产品中
任意取出3件（1） 一共有多少种不同的取法（2）恰好取出1
1 （答案）（1）C9 （2）C；C；8（3） C2C；9
件次品，有多少种取法（3）至少有1件次品，有多少种取法?
练习：要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求有多少种 不同选法？ （ 1）A、B、C三人必须入选（2）A、B、C三人不能入 选（3）A、B、C三人只有一人入选（4）A、B、C三人至少一人入 选（5）A、B、C三人至多二人入选
（答案）（1）C 2 （2）C 9 （3）C 3 C 9 （4）C 3 C 4 +C 3 C 3 +C 3 C 2 （5）C0C5+ C3C4 +
23 2、分组分配
（或 c： -
2例2、六本不同的书按下列条件各有多少种不同的分法？
（1） 分给甲、乙、丙三人，每人两本子（2）分成三份，每份两本（3）
分成三份，一份一本，一份二本，一份三本（4）分给甲、乙、 丙三人，一人一本，一人二本，一人三本
（分析）（1）先分给甲有C6种，再分给乙有C4种，最后为丙有C2种, 共 C2 C4 C2=90种
（2） 问题（1）也可以分成两步完成：第一步先把六本书均分成三份， 设有x种分法，第二步把已分好的书分给甲、乙、丙三人有 A3种，即 有xA3= C6 C2 C2
C2C 2C2
X
= CT = 15 种
说明：（1） （2）两题的区别在于（2）只分组不分配，（1）既分组又 分配。那么为什么在（2）中也就是只分组的问题中要除去 Am呢？ 比如A、B、C、D四个元素要均分为两组，先取 AB再取CD为一 种即｛ CB或先取CD再取AB为另一种即｛CD，由于只分组即AB
与CD间是无序的因而只能算一种分法。因而“分组分配”有如下一 般结论:
C n C n
a）将2n个元素均分为两组方法数：筈1种 b)
将
C n C n C n
3n个元素均分为三组方法数：CCC种
3!
3n2nnn n c） 将kn个元素均分为k组方法数：CC2种。
kn）n. nn k!
d） 将n个元素均分为 m组每组r个（m汀二n ）方法数:
m!
•
m m!
e） 若再将m! 组分配给m个对象，则分配方法有
r
c
：c Cnlr •••C2rCr3、隔板法
例3、某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市 课外知识竞赛，使代表中每个班至少有 1人参加的选法有多少种？ （分析）由于 12 个名额是不可区分的，所以将问题转化为：把排成 一行的 12 个“ 0”分成 7 份的不同方法数。 12 个“ 0”形成 11个空 隙，
（答
C^G1 用6个隔板可将其分成7组，有C6i种不同的插法，即C：i=462种。 练习： 10个相同的球放入 6 个盒中，每个盒中至少一个的放法有多 少种。 （答案） C95=126
4、 插空法
例 4、某城市新修建的一条道路上有 12 盏路灯，为了节约用电又不 影响照明，可以熄灭其中的 3 盏，但两端的灯不能熄，也不能熄灭相 邻的两盏灯，则熄灭的方法共有多少种？
（分析）把要熄灭的三盏灯去掉，有九盏灯亮着，则有 8 个空隙，在 这8个空隙中安排3盏灯故有C3种。
练习：一排无区别的座位 10个， 3 个人来坐，都不能坐两头，且两 人之间至少有一个座位，问有多少种不同的坐位？ （答案） C36 5、 递推法
例 5、一楼梯共 10 级，如果规定每次只能跨下一级或两级，要走上 这 10 级楼梯，共有多少种不同的走法？
（分析）设上n级楼梯的走法为an种，则ai=1,a2=2，当n》2时，上n 级楼梯的走法可分两类：一类是最后一步跨一级有 an-1种走法，另一 类是最后一步跨二级有an-2种走法，则有an= an-1+环-2
由 a3=a2+a1=3,a 4=a3+a2=5,a 5=a4+a3=8,a 6=a5+a4=13,a7=a6+a5=21,a 8=34, a?=55,a io=89
练习：一个楼梯共18级台阶，一步可跨一级或两级台阶，若 12步 登完共有多少种不同的走法？
3 先分一本，再分二本，最后分三本，即得分三组的方法数 共有c；c2c3=6O种
x y = 12 （分析）一步一台阶x个，一步二台阶y个则有 x- y18得
；、x=6,y=6,即无论哪种走法都有6个一步一台阶6个一步二台阶的, 因而转化为求12步中任选6步的不同选法：C：2=924
巩固练习
1、 从五双不同鞋子中任取 4只，4只鞋子中至少有2只配在一双 的可能性有多少种?
2、 有20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要 求
每个盒子内的球数不少于盒子的编号数，问有多少种不同的 放法？ 3、 某校高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生要按排到该 年级
的两个班，每班二名有多少不同的方案？
4、 四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子则恰好一个 空
盒的放法有多少种？
5、 平面内有n个点，如果有m个点共线，其余各点任何三点不共 线，
则这几个点能形成多少条直线？多少个三角形？ （答案）1、130 2、C： 3、C2C2 5、Cn - Cm+1，Cn - Cm4、C4A3=144
（4） 先要把收分成三组有C6c5c3=60种，再分配给三人有A3种
共有 A3c6c5c3=36O种。
练习：六本不同的书，分成3组，1组4本，其余各1本有多少种分 法?
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