2003年高考数学试题(天津理)及答案

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P（A+B）=P（A）+P（B） S=4πR2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径

P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P.

4VR3其中R表示球的半径

3

那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概

kknk率Pn(k)CnP(1P)

一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．

13i(3i)A．

2

（ ）

13i 44B．13i 44C．

13i 22D． D．－

13i 22（ ）

2． 已知x(

A．

2,0),cosx7 244,则tan2x 5724B．－ C．

24724 7（ ）

2x1,x0,3．设函数f(x)1若f(x0)1，则x0的取值范围是

,2x0x

A．（－1，1）；

B．（－1，+∞）；C．（－∞，－2）∪（0，+∞）；D．（－∞，－1）∪（1，+∞）。

4．O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 OPOA(ABAC[0,).|AB||AC|则P的轨迹一定通过△ABC的

A．外心 B．内心 5．函数yln（ ）

C．重心

D．垂心

（ ）

x1,x(1,)的反函数为 x1

ex1ex1,x(0,) B．yx,x(0,) A．yxe1e1ex1,x(,0) C．yxe1ex1,x(,0) D．yxe1

6．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）

a3A．

3a3B．

4a3C．

6a3D．

127．设a0,f(x)axbxc，曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处切处的倾斜角的取值范围为[0,到曲线yf(x)对称轴距离的取值范围为

A．[0,]

224]，则P

（ ）

C．[0,|1aB．[0,21] 2ab|] 2a D．[0,|b1|] 2a8．已知方程(x2xm)(x2xn)0的四个根组成的一个首项为

A．1

B．

1的等差数列，则|mn|（ ） 43 4C．

1 2D．

3 89．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线yx1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为

2,则此双曲线的方程是 3

（ ）

x2y21 A．34x2y21 B．43x2y2x2y21 D．1 C．522510．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹

角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2，P3和P4（入射角等于反射角）

设P4的坐标为（x4，0），若1x42，则tan的取值范围是

A．（

（ ）

1，1） 3B．(,）

1233C．(,)

2152D．(,)

2253222C2C32C4Cn11．lim

nn(C1C1C1C1)234n （ ）

A．3 B．

1 3C．

1 6D．6

12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）

A．3π

B．4π

C．33

D．6π

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上. 13．(x219)展开式中x9的系数是 . 2x14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量现用分层

抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆

15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种

不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同 的栽种方法有 （以数字作答）

16．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP

的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数f(x)2sinx(sinxcosx). （1）求函数f(x)的最小正周期和最大值；

（2）在给出的直角坐标系中，画出函数yf(x)在区间[y,]上的图象. 22

xO 18．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1

与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.

C1 （Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.

A1B1

D19．（本小题满分12分）

E 设a0，求函数f(x)xln(xa)(x(0,)的单调区间.

CG20．（本小题满分12分） AA、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B 队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

对阵队员 A1对B1 A2对B2 A3对B3 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 B2 32 52 51 33 53 5现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η

（1）求ξ、η的概率分布； （2）求Eξ，Eη.

21．（本小题满分14分）

已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）

以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由. 22．（本小题满分14分）

n1 设a0为常数，且an32an1(nN)

（1）证明对任意n1,an1n[3(1)n12n](1)n2na0； 5 （2）假设对任意n1有anan1，求a0的取值范围.

2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学试题（理工农医类）参考解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分

1.B 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分

13．三、解答题

17．本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能,考查画图的技能.满分12分. 解：（1）

21 14．6，30，10 15．120 16．①④⑤ 2f(x)2sin2x2sinxcosx1cos2xsin2x

所以函数

12(sin2xcoscos2xsin) 12sin(2x) 4442.

f(x)的最小正周期为，最大值为1（2）由（1）知 xy33588888 1121121故函数

yf(x)在区间[,]上的图象是 2218．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空

间想象能力和推理运算能力. 满分12分.

解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角. 设F为AB中点，连结EF、FC，

C1A1DEB1KACGB

F

D,E分别是CC1,A1B的中点,又DC平面ABC,CDEF为矩形连结DE,G是ADB的重心,GDF.在直角三角形EFD中1EF2FGFDFD2,EF1,FD3.(4分)3126于是ED2,EG.33FCCD2,AB22,A1B23,EB3.sinEBGEG612.EB3332.3

A1B与平面ABD所成的角是arcsin（Ⅱ）连结A1D，有VA1AEDVDAA1E

EDAB,EDEF,又EFABF,

ED平面A1AB, 设A1到平面AED的距离为h，

则SAEDhSA1ABED A1K263. 故A1到平面AED的距离为

263.

19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分12分.

解：

f(x)12x1(x0). xa当a0,x0时 f(x)0x2(2a4)xa20.

f(x)0x2(2a4)xa20

（i）当a即

1时，对所有x0，有x2(2a4)a20.

f(x)0，此时f(x)在(0,)内单调递增.

（ii）当a即

1时，对x1，有x2(2a4)xa20，

f(x)0，此时f(x)在（0，1）内单调递增，又知函数f(x)在x=1处连续，因此， f(x)在（0，+）内单调递增

函数

（iii）当0解得xa1时，令f(x)0，即x2(2a4)xa20.

2a21a,或x2a21a.

因此，函数

f(x)在区间(0,2a21a)内单调递增，在区间(2a21a,)

内也单调递增. 令

f(x)0,即x2(2a4)xa20，

1ax2a21a.

解得2a2因此，函数

（2a-21a,2a21a)内单调递减. f(x)在区间

20．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力（满分

12分）.

解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.

2228 3557522312223228

P(2)35535535575P(3)P(1)2331231322， 35535535551333

P(0)35525又SBAE11116， SA1ABA1AAB2， SAEDAEED222426.

3h2262解法二：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，

则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1） A1（2a，0，2） E（a，a，1） G（

2a2a1,,）. 333aa2GE(,,),BD(0,2a,1)，

33322GEBDa20，解得a=1.

33241BA1(2,2,2),BG(,,),

333cosA1BGBA1BG|BA1||BG|14/37.

1323213A1B与平面ABD所成角是arccos73

zC1A1DEB1KA.

CGBy

xF（2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）

AEED(1,1,1)(1,1，0）0，AA1ED(0,0,2)(1,1,0)0 ED平面AA1E，又ED平面AED.

∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E=AE，

∴点A在平面AED的射影K在AE上. 设由

AKAE， 则A1KA1AAK(,,2)

A1KAE0，即20， 解得2. 3224A1K(,,)

333根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=P(η=2)=P(ξ=1)= （2）E8, P(η75=1)=P(ξ=2)=

28 752, P(η5=3)=P(ξ=0)=

3. 253238282322； 因为ξ+η=3，所以 E3E. 2101575755251521．本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等

解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分.

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值. ∵i=（1，0），c=（0，a）， ∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）. 因此，直线OP和AP的方程分别为 yax 和 ya2ax. 消去参数λ，得点P(x,y)的坐标满足方程y(ya)2a2x2.

a(y)2整理得 x21.……① 因为a1a()28220,所以得：

（i）当a22时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

（ii）当0a （iii）当a2时，方程①表示椭圆，焦点E(1221a11aa2,)和F(a2,)为合乎题意的两个定点； 2222211112时，方程①也表示椭圆，焦点

E(0,(aa2))和F(0,(aa2))为合乎题意的两个定点.

2222222．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分. （1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0，等式成立； （ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则ak 那么ak11[3k(1)k12k](1)k2a0, 523k2ak3k[3k(1)k12k](1)k2k1a0

51k1 [3(1)k2k1](1)k12k1a0.

5 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立. 证法二：如果设an3n12(an1a3n1), 用an3n12an1代入，可解出a1. 53n是公比为－2，首项为3所以a1的等比数列. an55nn1n3n33(1)2n1an(12a0)(2)(nN). 即an(1)n2na0.

55523n1(1)n132n1 （2）解法一：由an通项公式 anan1(1)n32n1a0.

53anan1(nN)等价于 (1)n1(5a01)()n2(nN).……①

23 （i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为 (1)2k2(5a01)()2k3

2131 即为 a0()2k3.……②

525②式对k=1，2，…都成立，有 a1(3)111.

05253 （ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为

即为

3(1)2k1(5a01)()2k2.

2131a0()2k2.……③ ③式对k=1，2，…都成立，有

5251311a0()2120. 综上，①式对任意n∈N*，成立，有0a0.

52531故a0的取值范围为(0,).

3解法二：如果anan1（n∈N*）成立，特别取n=1，2有 a1a013a00.

11a2a16a00. 因此 0a0. 下面证明当0a0.时，对任意n∈N*，

33anan10. 由an的通项公式 5(anan1)23n1(1)n132n1(1)n532n1a0.

（i）当n=2k－1，k=1，2…时， 5(anan1)23n132n1532n1a0

22n132n1532n10

（ii）当n=2k，k=1，2…时，5(anan1)23n132n1532n1a0

故a0的取值范围为(0,23n132n10.

1). 3