2017—2018学年度第一学期北京育才学校高二数学（理科）
期中考试试卷
一、选择题（每小题5分，8道题，共40分） 1. 抛物线A. 2. 圆A.
3. 若双曲线A. B. 4. “
”是“
”的（ ）．
的离心率是，则实数
C. D.
（ ）．
B.
与直线相切于点
C.
，则直线的方程为（ ）．
D.
B.
的焦点坐标为（ ）．
C.
D.
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 长方体一个顶点上三条棱的长分别是、、，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）． A.
6. 一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积及体积为（ ）．
B.
C.
D.
A. ， B. ， C. ， D. 以上都不正确
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7. 下列说法不正确的是（ ）． A. B.
，，
，
C. 夹在平行平面间的平行线段相等
D. 若平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行 8. A.
二、填空题（每小题5分，6道题，共30分） 9. 命题“
10. 已知点
，抛物线
的焦点是，若抛物线上存在一点，使得
最小，
，
”的否定是__________．
为过椭圆 B.
C.
中心的弦， D.
为椭圆的右焦点，则
面积的最大值是（ ）．
则最小值为__________；此时点的坐标为__________．
11. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点
12. 如图，一个空间几何体的主视图，左视图都是面积为，且一个内角为图为正方形，那么这个几何体的表面积为__________；体积为__________．
的菱形，俯视
，则它的离心率为_____．
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13. 下列说法中正确的是__________．
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真； ②“③“
”是“
”的充要条件；
，则，全为” 的逆否命题是“若，全不为，则
”
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真； ⑤“为假命题”是“
14. 下列命题正确的是__________．
①两条直线没有公共点，则这两条直线平行或互为异面直线； ②如果两个平面有三个公共点，那么它们重合；
③一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行； ④两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；
⑤过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行．
三、解答题（6道题，共80分） 15. 已知命题
，
．
为真命题”的充分不必要条件．
（）分别写出真、真时不等式的解集． （）若
是的充分不必要条件，求的取值范围．
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16. 正三棱柱中，是上一点，若．
（）若底面边长为，侧棱长为，求该正三棱柱的表面积、体积． （）求证：
平面
．
17. 已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线（）求圆的标准方程． （）求直线
与圆相交的弦长．
与圆相切．
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18. 四棱锥（） 求证：（）求证：是
中底面平面中点．
．
是平行四边形，是中点，过的平面与交于．
19. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为米，拱顶距离水面（）建立如图所示的平面直角坐标系
米．
，试求拱桥所在抛物线的方程．
（）若一竹排上有一米宽米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？
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20. 已知椭圆
（）求椭圆的标准方程．
的两个焦点分别为，，离心率为，且过点．
（）、、、是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线，，且这条直线互相垂直，求证：
为定值．
和分别过点
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2017—2018学年度第一学期北京育才学校高二数学（理科）
期中考试试卷
一、选择题（每小题5分，8道题，共40分） 1. 抛物线A.
B.
的焦点坐标为（ ）．
C.
D.
【答案】D 【解析】抛物线2. 圆A. 【答案】D
【解析】圆的方程为由题意得圆心与切点间的距离∴
，解得
，
，
，故圆心为半径，
，半径
，
B.
的焦点在轴上，坐标为与直线相切于点
C.
．选D．
，则直线的方程为（ ）．
D.
又圆心与切点连线的斜率∴直线斜率又直线过
点，
，即，
∴直线的方程为3. 若双曲线A. B. 【答案】A 【解析】
，，
∴解得
， ，故选．
，
．选．
（ ）．
的离心率是，则实数
C. D.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于不等式，再根据
的关系消掉得到
的关系式，而建立关于
的方程或
的方程或不等式，要充
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分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 4. “
”是“
”的（ ）．
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若“
”是“
，则
或
，据此可得：
”的充分不必要条件
本题选择B选项.
5. 长方体一个顶点上三条棱的长分别是、、，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）． A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设球的半径为，则由题意得所以球的表面积
．选．
，解得
，
点睛：对于球的外接或内切的问题，解题的关键是如何确定球心的位置。解题时要根据内接（或外切）的几何体的特征，确定出球心得位置，然后根据勾股定理建立关于球半径的等式，进而求得球半径，从而达到求解的目的。其中，当球的内接几何体的长方体（或正方体）时，球的直径为长方体（或正方体）的体对角线的长。
6. 一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积及体积为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. 以上都不正确
【答案】A
【解析】由三视图知该几何体为圆锥，且底面圆半径为3，高为所以表面积
．
。
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体积 ．选．
7. 下列说法不正确的是（ ）． A. B.
，，
，
C. 夹在平行平面间的平行线段相等
D. 若平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行 【答案】D
【解析】选项A,B,C中，由面面平行的性质得正确。
选项中，平面外的一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线可能平形于这个平面，也可能与此平面相交．故D不正确。 选． 8. A.
为过椭圆 B.
C.
中心的弦， D.
为椭圆的右焦点，则
面积的最大值是（ ）．
【答案】A 【解析】
面积为
与
面积的和，
设点到轴的距离为， ∵
过椭圆中心的弦，
， ，
所以点到轴的距离为，且∴
∵最大值为， ∴点睛：
的最大值为．选．
（1）圆锥曲线中对于求三角形面积的问题，有时可根据图形的特点将三角形的面积化为两个同底的三角形的面积的和，可使得解题变得简单。
（2）解题时注意解析几何中一些结论的利用，可提高解题的效率。如在本题中，用到了椭圆上的点到长轴距离的最大值为短轴的长这一结论。 二、填空题（每小题5分，6道题，共30分） 9. 命题“
，
”的否定是__________．
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【答案】，
，
”．
【解析】全称命题的否可得，命题的否定为“答案：10. 已知点
，
。 ，抛物线
的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，
则最小值为__________；此时点的坐标为__________． 【答案】 (1). 3 (2).
【解析】
如上图，过作所以
于，则由抛物线的定义得
，
最小，
由图形得当、、三点共线时，又
最小值为到准线的距离此时最小值为，
，
．
此时点的纵坐标为所以
，即点的坐标为
答案： (1). 3 (2). 点睛：
（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；
（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．
11. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点【答案】
，则它的离心率为_____．
【解析】设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
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将点坐标代入上式，得，
∴．
答案：
的菱形，俯视
12. 如图，一个空间几何体的主视图，左视图都是面积为，且一个内角为图为正方形，那么这个几何体的表面积为__________；体积为__________．
【答案】 (1). 4 (2).
【解析】由三视图可知该几何体由两个相同的正四棱锥组成。 ∵正视图，侧视图都是面积为，一个内角为∴菱形的边长为，
又正四棱锥的底面边长为，侧面底边长为，斜高为，侧棱长为∴几何体的表面积为答案：(1). 4 (2).
，体积
， ．
的菱形，
13. 下列说法中正确的是__________．
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真； ②“③“
”是“
”的充要条件；
，则，全为” 的逆否命题是“若，全不为，则
”
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真；
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⑤“为假命题”是“【答案】②④⑤
为真命题”的充分不必要条件．
【解析】对于①，由于逆命题与否命题真假性相同，但无法判断其逆否命题的真假，故①错误． 对于②，由“
”可推出“
”，由“
”也可推出“
”，故②正确．
对于③，原命题的逆否命题为“若、不全为，则对于④，由于否命题与逆命题真假性相同，故④正确． 对于⑤，“”为假命题，那么为真命题，可推出“综上可得②④⑤正确。 答案：②④⑤
14. 下列命题正确的是__________．
”，故③错误．
为真命题”，反之不成立。故⑤正确．
①两条直线没有公共点，则这两条直线平行或互为异面直线； ②如果两个平面有三个公共点，那么它们重合；
③一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行； ④两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；
⑤过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行． 【答案】①
【解析】对于①，由空间中两条直线的位置关系可得正确． 对于②，满足条件的两个平面可能相交也可能平行，故②错误。 对于③，满足条件的直线和平面可能平行，也可能在平面内，故③错误． 对于④，满足条件的两直线可能相交或平行，故④错误。 对于⑤，由于只能作出一个符合要求的平面，故⑤错误。 综上只有①正确。 答案：①
点睛：点、线、面的位置关系的判断方法
（2）利用线线平行、线面平行、面面平行以及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定定理、性质定理综合进行推理和判断命题是否正确．
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三、解答题（6道题，共80分） 15. 已知命题
，
．
（）分别写出真、真时不等式的解集． （）若
是的充分不必要条件，求的取值范围．
；真时，解集为
（）
【答案】（）真时，解集为【解析】试题分析：
（1）由绝对值不等式和一元二次不等式的解法可得不等式的解集。（2）结合（1）得到应的集合，将充分不必要条件转化为两集合间的包含关系，利用不等式求解即可。 试题解析： （）由
，得．
∴ 当真时对应的集合为由解得
或
．
或
或
. ，
，得
.
，
，
对
∴ 当真时对应的集合为（）由题知当对应的集合为∵ ∴∴ 解得
．
。
是的充分不必要条件,
或
或
，且等号不能同时成立。
∴ 实数的取值范围为
点睛：解答本题时注意充分必要条件与集合间的关系。 设命题对应的集合为，命题对应的集合为， 则
的充分条件等价于
；
的充分不必要条件等价于 ； 的充要条件等价于16. 正三棱柱
。 中，是
上一点，若
．
（）若底面边长为，侧棱长为，求该正三棱柱的表面积、体积． （）求证：
平面
．
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【答案】（）【解析】试题分析：
，（）见解析
（1）由等边三角形、矩形的面积公式可得柱体的表面积；由体积公式可得柱体的体积。（2）由题意可证得点D为BC的中点，连可得试题解析： （）在正三棱柱∵ ∴
的边长为，
，
，
．
中，
为等边三角形，
，从而可证得
平面
，交．
于点，则点O为
的中点，连接
，
∴正三棱柱的表面面积体积
（）证明： ∵
，
，
∴ 点D为BC的中点。
连接连接
，交，
于点，则点为的中点。
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在∴ 又∴
中，，分别为， 平面平面
，．
平面
，中点，
，
17. 已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线（）求圆的标准方程． （）求直线【答案】（）【解析】试题分析：
（1）由题意设出圆的标准方程为求得
，根据直线
与圆相交的弦长． （）
与圆相切．
与圆相切可
，从而可求得圆的方程。（2）先求出圆心到直线的距离，根据弦长公式求解。
试题解析：
（）由题意设圆的方程为∵ 圆与直线∴ 圆心
到直线的距离
相切，
，
，
解得或（舍去），
．
距离
，
∴ 圆的方程为（）圆心
到直线
所以弦长为
18. 四棱锥（） 求证：（）求证：是
中底面平面中点．
．
．
是平行四边形，是中点，过的平面与交于．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】试题分析： （1）由平行四边形由（1）得中点． 试题解析： （1）证明： ∵ 四边形∴ ∵ ∴
， 平面平面
，．
平面
，
为平行四边形， 平面
可得
，根据线面平行的判断定理可得
，又是
平面
。（2）
，根据线面平行的性质定理可得的中点，故得是
（）证明： 由（1）可得又∴ 又是∴ 是
平面
， 的中点， 中点．
米．
平面, 平面
，
,
19. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为米，拱顶距离水面（）建立如图所示的平面直角坐标系
，试求拱桥所在抛物线的方程．
（）若一竹排上有一米宽米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？
【答案】（）（）可以安全通过
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【解析】试题分析：（1）由题意建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，将点
坐标代入方程求得即可得到抛物线方程。（2）根据（1）中的抛物线方程，当当
时，得试题解析：
（）由题意在平面直角坐标系由条件得点∴ 解得
，
，
在抛物线上，
中，设抛物线方程为
。
，由于
，故可以安全通过。
∴ 抛物线方程为即
．
（）由（1）可得抛物线的方程为当∵
时，解得
，
，
∴ 木排可安全通过此桥． 20. 已知椭圆
（）求椭圆的标准方程．
（）、、、是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线，，且这条直线互相垂直，求证：【答案】（）【解析】试题分析： （1）由离心率可得
，
，故椭圆的方程为
，将点
的坐标代入方程可得
为长轴长，
（）见解析
为定值．
和
分别过点
的两个焦点分别为，，离心率为，且过点
．
，从而可得椭圆的方程。（2）①当直线
的斜率不为0时，设出直线
的斜率为0时，
为通径长；②当直线和
的方程，运用椭圆的弦长公式可得
，然后验证即可得到结论。
试题解析：
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（）∵ ，
∴ ∴
，
，
∴ 椭圆的方程为又点∴ 解得∴
， ，
在椭圆上，
，
∴ 椭圆的方程为．
，
,
.
，
（）由（1）得椭圆的焦点坐标为①当直线∴ ②当直线由直线
的斜率为0时，则
的斜率为0时，设其与
互相垂直，可得直线
，
，
由设则
，
消去y整理得
， ，
，
，
∴ ，
同理，
∴ ．
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综上可得点睛：
为定值。
（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查． （2）求定值问题常见的方法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
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