函数周期性解题策略

函数周期性解题策略

作者：刘艳

来源：《新一代》2011年第05期

摘要：函数的周期性是函数的基本性质之一，在近几年的高考中经常考查，主要以客观题形式出现。下面例谈一下周期性的解题策略。 关键词：函数；周期性；解题策略

中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2011）05-0165-01

一、对于函数f(x)若存在非零实数T,使得f(x+T)=f(x),对任意定义域内的x成立,则T是f(x)的一个周期, f(x)是周期函数.

二、⑴对于非零实数a,b,若函数f(x)满足f(x+a)=f(x+b),则函数f(x)必有一个周期a-b. 证明:令x=x-b,则f(x-b+a)=f(x-b+b)=f(x),所以函数f(x)必有一个周期a-b. ⑵对于非零实数a，若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)，则函数f(x)必有一个周期2a. 证明：令x=x+a则f(x+a+a)=-f(x+a)=f(x)即f(x+2a)=f(x) 应用：

例1、(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ). A.f(-25) C.f(11)

【解析】:因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),由结论2知函数是以8为周期的周期函数。（下略）

(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= ,

【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=f(x),所以,由f(x)为奇函数,所以函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周

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期的周期函数,又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1 答案:-8

例2、（2010江西理数）9．给出下列三个命题：

③若奇函数f(x)对定义域内任意x都有f(x)=f(2-x)，则f(x)为周期函数。 其中真命题是

A.①② B.①③ C.②③ D.②

【解析】：③,f(-x)=f[2-(-x)]=f(2+x),又通过奇函数得f(-x)=-f(x)，所以f(x+2)=-f9x0由结论2知f（x）是周期为4的周期函数，选择C。

例3、（2008四川卷11）设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13，若f(1)=2，则f(99)=(C)

例4、（2009全国卷Ⅰ理）函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则( D ) (A)f(x)是偶函数 (B)f(x)是奇函数 (C)f(x)=f(x+2) (D)f(x+3)是奇函数

解:f(x+1)与(x-1)都是奇函数，∴f(-x+1)=-f(-x-1)，f(-x-1)=-f(x-1)(或图像平移)∴函数f(x)关于点(1,0)，及点(-1,0)对称，令x=x-1得f(-x+2)=f(-x-2);令x=x+1得f(-x-2)=-f(x)所以得f(-x+2)=f(-x-2)即f(x+2)=f(x-2)由结论1可知函数f(x)是周期为4的周期函数.∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4)，f(-x+3)=-f(x+3)，即f(x+3)是奇函数。故选D.