(完整word版)信号与系统专题练习题及答案

信号与系统专题练习题

一、选择题

1．设当t〈3时，x(t)=0，则使x(1t)x(2t)=0的t值为 C 。

A t>-2或t>-1 B t=1和t=2 C t>—1 D t〉-2

2．设当t〈3时，x（t)=0，则使x(1t)x(2t)=0的t值为 D 。

A t>2或t〉-1 B t=1和t=2 C t>—1 D t>—2

3．设当t<3时，x(t）=0，则使x（t/3)=0的t值为 C 。

A t>3 B t=0 C t<9 D t=3

4．信号x(t)3cos(4t/3)的周期是 C 。A 2 B  C /2 D 2/

5．下列各表达式中正确的是 B

1212(t)(2t)2 C. (2t)2(t) D。

A. (2t)(t) B。

(2t)(t)6. 已知系统的激励e(t)与响应r(t)的关系为:r(t)e(1t) 则该系统为 B .

A 线性时不变系统 B 线性时变系统 C 非线性时不变系统 D 非线性时变系统

第 1 页 共 38 页

7。 已知 系统的激励e(t）与响应r（t)的关系为:

r(t)e2(t) 则该系统为 C . A 线性时不变系统 B 线性时变系统 C 非线性时不变系统 D 非线性时变系统

tsin28。

()d A 。 A 2u（t） B 4(t) C 4 D 4u（t)

310. 3cosπ2tδ(t2)dt等于 B 。A 0 B —1 C 2 D —2

11．线性时不变系统输出中的自由响应的形式由 A 决定

A 系统函数极点的位置；B 激励信号的形式;C 系统起始状态；D 以上均不对。

12．若系统的起始状态为0，在x（t)的激励下，所得的响应为 D .

A 强迫响应;B 稳态响应；C 暂态响应;D 零状态响应。

p215. 已知系统的传输算子为

H(p)p(p23p2),求系统的自然频率为 B 。

A -1，—2 B 0,—1,—2 C 0， -1 D -2

s216．已知系统的系统函数为H(s)s(s23s2)，求系统的自然频率为 B。 A -1,—2 B 0，—1，-2 2s17。 单边拉普拉斯变换

F(s)2s1se的原函数等于 B。

第 2 页 共 38 页

C 0, —1

D -2

A tu(t) B tu(t2) C (t2)u(t) D (t2)u(t2)

p118。 传输算子

H(p)(p1)(p2)，对应的微分方程为 B 。

A y(t)2y(t)f(t) B

y(t)3y(t)2y(t)f(t)f(t)

C y(t)2y(t)0 D

y(t)3y(t)2y(t)f(t)f(t)

19。 已知f(t)的频带宽度为Δω，则f(2t—4）的频带宽度为 A 。 A 2Δω 2（Δω—2）

20．已知信号f (t）的频带宽度为Δω，则f （3t—2)的频带宽度为 A . A 3Δω BΔω/3 C （Δω—2）/3 D (Δω—6）/3

21。 已知信号

f(t)Sa(100t)Sa2(60t)

，则奈奎斯特取样频率fs为 B 。

A 50/ B 120/ C 100/ D 60/

第 3 页 共 38 页

12C 2（Δω—4） D

B

22. 信号f(t）=Sa（100t），其最低取样频率fs为 A 。 A 100/ B 200/ C /100 D /200 23．若F1(j)F[f1(t)],则F2(j)F[f1(42t)] D . 111j2F1(j)ej4F1(j)ej4F(j)ej1F(j)e22A 2 B 2 C 1 D 2

24．连续时间信号f(t）的占有频带为0~10KHz，经均匀抽样后，构成一离散时间信号，为保证能从离散信号中恢复原信号f（t），则抽样周期的值最大不超过 C 。

A 10—4s B 10-5s C 5×10-5s D 10—3s

25．非周期连续信号被理想冲激取样后，取样信号的频谱Fs（jω）是 C 。

A 离散频谱； B 连续频谱;C 连续周期频谱; D不确定，要依赖于信号而变化 26．连续周期信号f (t)的频谱F(j)的特点是 D 。

A 周期、连续频谱; B 周期、离散频谱；C 连续、非周期频谱；D 离散、非周期频谱。

27序列和nδ(n)等于 A . A.1 B。 ∞ C.u（n） D. (n+1)u（n）

28．信号

x(n)2cos(n/4)sin(n/8)2cos(n/2/6)

的周期是 B 。A 8 B 16 C 2 D 4

第 4 页 共 38 页

29．设当n〈-2和n〉4时，x（n)=0，则序列x（n—3）为零的n值为 D .

A n=3 B n〈7 C n〉7 D n〈1和n>7

30．设当n〈-2和n>4时，x(n)=0，则序列x(-n-2）为零的n值为 B 。

A n>0 B n>0和 n<-6 C n=—2和n>0 D n=-2

31。 周期序列2cos(3πn/4+π/6）+sinπn/4的周期N等于： A 。A 8 B 8/3 C 4 D π/4

32. 一个因果稳定的离散系统，其H（z)的全部极点须分布在z平面的 B 。

A 单位圆外 B 单位圆内 C 单位圆上 D 单位圆内或单位圆上

33. 如果一离散时间系统的系统函数H(z)只有一个在单位圆上实数为1的极点，则它的h(n)应是： A 。

n(1)u(n) D 1 u(n)u(n)A B C

34、已知x(n)的Ｚ变换

X(z)1(z1)(z2)X(z)2,的收敛域为 C时,x(n)为因果信号。

A、|z|0.5 B、|z|0.5 C、|z|2 D、0.5|z|2

1(z1)(z2),X(z)的收敛域为 C 时，x(n)为因果信号。

35、已知x(n)的Z变换

X(z)A、|z|1 B、|z|1 C、|z|2 D、1|z|2

第 5 页 共 38 页

36、已知Z变换Z

[x(n)]113z1，收敛域z3，则逆变换x（n）为 A 。

nnnn3u(n1)3u(n1) 3u(n)3u(n)A、 B、 C、 D、

二、填空题

ttt1．()cos0du(t)

()cosdu(t)

(2)d2u(t2)

t(1)cos0dcos0u(t1) cost(t)(t)

(t)cos0(t)cos(0)(t) (t)cost(t) (t)eat(t)

(1cost)(t)(t)2 2(2)d 2

(t)eatdt 1

(1cost)(t2)dt

1 (t)costdt(t)eateat 1

(t)cos0tdt 1 (t1)cos0tdtcos0

d(t)*cos0(t)cos0(t) dt[u(t)*u(t)]u(t)

(t1)*cos0tcos0(t1) (t)*cos0(t)cos0(t)

第 6 页 共 38 页

dt(1cost)*(t)1cos(t)[eu(t)*u(t)]teu(t) 2 dt2e2．频谱(2)对应的时间函数为2。

12jt3．若f（t）的傅里叶变换为F(w)，则f(t）cos200t的傅里叶变换为

1[F(200)F(200)]2

， tf(t)的傅里叶变换为

1j21d1jF()ejF()F()e222d2，33 f（3t-3）的傅里叶变换为，f(2t-5）的傅里叶变换为, 351jF()e22f（3-2t)的傅里叶变换为2 jt0F()e4．的傅里叶反变换为f(tt0) F(0)的反变换为f(t)ej0t。

5．已知信号f（t）的频谱函数在（—500Hz,500Hz）区间内不为零，现对f(t）进行理想取样,则奈奎斯特取样频率为 1000 Hz。

6．设f（t）的最高频率分量为1KHz，f（2t）的奈奎斯特频率是 4 KHz，f3(t)的奈奎斯特频率是 6 KHz，f（t)与f(2t）卷积函数的奈奎斯特频率是 2 KHz. 4(2s)(s2)7．信号x(t)e2t的拉普拉斯变换X(s) 收敛域为22

8．函数f(t)esin(2t)的单边拉普拉斯变换为

t21F(s)2tt22(ee)u(t).。(s1)4s3s2F（s）=。函数的逆变换为：

第 7 页 共 38 页

9．函数

12(s2)f(t)te2t的单边拉普拉斯变换为F（s）=

，函数

F(s)3s(s4)(s2)的逆变换为: 6e—4t－3e—2t。

12s10．已知系统函数H（s）=(1k)sk1，要使系统稳定，试确定k值的范围（ 1k1 ）

11．设某因果离散系统的系统函数为

H(z)zza，要使系统稳定，则a应满足a1。

12．具有单位样值响应h(n)的LTI系统稳定的充要条件是_n|h(n)|_。

13．单位阶跃序列u(n)与单位样值序列(n)的关系为u(n)m0(nm)(m)mn。

14．信号cos2tsin5t的周期为 2 。

15．某离散系统的系统函数

H(z)z1z2kz141233k4 ，欲使其稳定的k的取值范围是416．已知

X(z)1.5znnz22.5z1,若收敛域｜z|〉2, 则逆变换为x（n）=0.5u(n)2u(n) nn0.5u(n)2u(n1) 若收敛域0。5<｜z｜<2， 则逆变换为x(n）=

17．已知Z变换Z

[x(n)]1n13z1，若收敛域|z|〉3 则逆变换为x（n)=3u(n)

n3若收敛域|z｜〈3, 则逆变换为x(n)=u(n1)

第 8 页 共 38 页

z18．已知X（z)=z1，若收敛域|z｜〉1，则逆变换为x(n)= u(n)

；若收敛域|z｜〈1,则逆变换为x(n）

=u(n1)

z(z1)(z2),若收敛域|z|〉2， 则逆变换为x(n)=(2n1)u(n)；若收敛域｜z|〈1， 则

12、已知变换Z

[x(n)]nn(12)u(n1)u(n)2u(n1)。 逆变换为x（n）=；若收敛域1〈|z|<2， 则逆变换为x(n)=

三、判断题

1．若x（t)是周期的，则x(2t）也是周期的。 （√）

2．若x（2t)是周期的,则x（t)也是周期的。 (√）

3．若x（t）是周期的，则x(t/2)也是周期的。 (√)

4．若x(t/2)是周期的，则x（t)也是周期的。 （√）

5．两个非线性系统级联构成的系统也是非线性的。 (×）

6．两个线性时不变系统级联构成的系统也是线性时不变的。 （√）

7．利用卷积求零状态响应只适用于线性时不变系统。 （√）

8．一个信号存在拉氏变换，就一定存在傅氏变换。 （×)

9．一个信号存在傅里叶变换，就一定存在双边拉式变换。 （√）

第 9 页 共 38 页

10．一个信号存在傅里叶变换,就一定存在单边拉式变换。 （×)

12。 若f1(t)和f2(t)均为奇函数,则卷积f1(t)*f2(t)为偶函数。 （√)

13．若r(t)e(t)*h(t)，则有

r(tt0)e(tt0)*h(tt0)

（×)

15．奇函数加上直流后，傅立叶级数中仍含有正弦分量。 (√）

16．若周期信号f（t）是奇谐函数,则其傅氏级数中不会含有直流分量。 （ √ )

17．奇函数加上直流后，傅氏级数中仍含有正弦分量. （ √ ）

18．周期性冲激序列的傅里叶变换也是周期性冲激函数 ( √ ）

20．非周期的取样时间信号,其频谱是离散的、周期的 （ × ）

21. 对连续时间信号进行抽样得到的抽样信号，其频谱是周期的. （√）

22．周期奇谐函数的傅立叶级数中不含余弦分量。 (×）

23．周期性的连续时间信号，其频谱是离散的、非周期的。 （√)

H(j)H(s)|sj24．对连续时间系统而言，存在。 （×）

第 10 页 共 38 页

25．若x(t)和y(t）均为奇函数,则x（t)与y（t)的卷积为偶函数. （√）

26. 已知f1(t)和f2(t)非零值区间分别为(1,3)和（2，5），则f1(t)＊f2(t)的非零值区间为（3,8)。 （√）

27. 若r(t)e(t)*h(t)，则 有r(2t)e(2t)*h(2t) （*表示卷记运算） （×）

28. 离散因果系统,若系统函数H（z）的全部极点在z平面的左半平面，则系统稳定 (×） 29。 序列x(n)cos(n0)是周期序列，其周期为2/0。 （×）

30．已知x1(n）=u（n+1) — u(n—1)，x2(n)=u（n—1) — u(n-2），则x1(n）＊x2(n)的非零值区间为（0,3）。（√）

31．离散因果系统，若H（z）的所有极点在单位圆外,则系统稳定。 (×） 32．差分方程y(n)(n1)x(n1)描述的系统是因果的。 (×）

(1)若LTI系统的单位冲激响应为h(n)0.5u(n)，则该系统是不稳定的。（√）

th(t)eu(t)，则该系统是不稳定的.（×） (4） 若LTI系统的单位冲激响应为

（7) 若LTI系统的单位冲激响应为h(t)u(t2)，则该系统不是因果的.（×）

th(t)eu(t),则该系统是因果的。(8) 若LTI系统的单位冲激响应为（√）

(10） 若LTI系统的单位冲激响应为

h(n)(1)nu(2n)4，则该系统是因果的。（×）

第 11 页 共 38 页

四、简述计算线性时不变连续时间系统全响应的方法。

答:（1）求微分方程的其次解和特解；(2）求系统零状态响应和零输入响应,其中零输入响应可通过解微分方程得到;（3)先求零输入响应，通过激励与冲激响应的卷积积分求零状态响应；（4）利用拉普拉斯变换,在复频域中求解响应的拉普拉斯变换，然后通过反变换得到时域响应。

五 1、请叙述并证明拉普拉斯变换的时域卷积定理.

拉普拉斯变换的时域卷积定理为:

若 LT[f1(t)]F1(s),LT[f2(t)]F2(s)，则有

LT[f1(t)*f2(t)]F1(s)F2(s)

.

证明:对单边拉式变换,有f1(t)f1(t)u(t)，f2(t)f2(t)u(t)

由卷积定义可得,

LT[f1(t)*f2(t)]00f1()u()f2(t)u(t)destdt

交换积分次序并引入符号xt,得到

LT[f1(t)*f2(t)]0f1()f2(t)u(t)estdtd0

第 12 页 共 38 页

f1()esf2(x)esxdxd00

F2(s)f1()esdF1(s)F2(s)0

2、叙述并证明傅立叶变换的时域卷积定理。

傅立叶变换的时域卷积定理：若给定两个时间函数f1(t),f2(t)，已知FTf1(t)F1(),FTf2(t)F2()FTf1(t)*f2(t)F1()F2()

证明：根据卷积定义，

f1(t)*f2(t)f1()f2(t)d

因此

FTf)*ft1(t2(t)f1()f2(t)dejdt

jtf)1(f2(t)edtd

f1()ejtf2x)ejxdxd

第 13 页 共 38 页

则

（令xt）

f1()ejtF2()dF1()F2()

六、计算题

1、二阶线性时不变系统

d2r(t)dr(t)de(t)aar(t)bb1e(t)010dt2dtdt

2tt2t3t2tt2t3teu(t)[e4ee]u(t)(t)2eu(t)[3ee5e]u(t)，，激励为时，全响应为；激励为时，全响应为

起始状态固定。

求:（1）系数a0，a1；（2）rzi(t)和h(t)；(3）系数b0，b1。

2tt2t3trp(t)4e2tu(t)[ete3t]u(t)eu(t)[e4ee]u(t)解：（１)激励为时，全响应为，可知响应中特解为,是齐

次解。

故特征方程

2a0a10的特征根为：11，23，所以a04,a13

2trzi(t)rzs(t)[et4e2te3t]u(t)eu(t)(２）激励下， (1)

2t2t'(t)2eu(t)[eu(t)]因为=，故

第 14 页 共 38 页

(t)2e2tu(t)激励下，有rzi(t)rzs(t)[3ete2t5e3t]u(t) (2）

''rzs(t)rzs(t)[4et3e2t4e3t]u(t)（2)-(1)得： （3)

令

rzs(t)A1etA2e2tA3e3t

带入（3）得 A12,A21,A31

所以：

rzs(t)[2ete2te3t]u(t)

(t)2e2tu(t)激励下的响应可写为：h(t)2rzs(t)[3ete2t5e3t]u(t)

t3th(t)[2ee]u(t) 所以，有

t3th(t)[2ee]u(t)代入微分方程,可得，b03,b17。 e(t)(t)（３)将，

tr(t)eu(t)；当激励e(t)(t)112、某线性时不变连续时间系统的起始状态一定。已知当激励时，其全响应te2(t)u(t)时，其全响应r2(t)(15e)u(t)。求系统的冲激响应h(t)。

解：设系统冲激响应为h(t)，阶跃响应为g(t),它们都是零状态响应。设系统零输入响应为rzi(t)，根据线性时不变系统特性可得：

h(t)rzi(t)etu(t) （1）

第 15 页 共 38 页

g(t)rzi(t)(15et)u(t)

（2)

h(t)g(t) (3)

将（3）代入（2)并减去（1）得：

h(t)h(t)4etu(t)3(t)

将上式进行拉式变换可得

43s1s1s1

(s1)H(s)3，所以，

3s112(s1)(s1)s1s1

H(s)tth(t)(e2e)u(t) 因此，

tr(t)(t)eu(t)；e(t)(t)13、线性时不变系统，在以下三种情况下的初始条件全同.已知当激励1时，其全响应tr(t)3eu(t)。求当激励为 e(t)u(t)2当激励2时，其全响应

e3(t)tu(t)(t1)u(t1)u(t1)

时的全响应r3(t)。

第 16 页 共 38 页

解：(1)求单位冲激响应h(t)与零输入响应rzi(t).设阶跃响应为g(t),故有

(t)etu(t)h(t)rzi(t)

设故有

3eu(t)g(t)rzi(t)h()drzi(t)tt

311H(s)Rzi(S)H(s)Rzi(S)s1 s1s对上两式进行拉普拉斯变换得

1联解得

H(s)s121Rzi(s)tts1s1 s1 故得 h(t)(t)eu(t) rzi(t)2eu(t)

（2）求激励为e3(t)的全响应r3(t)

因

e3(t)tu(t)(t1)u(t1)u(t1)

,故

E3(s)11s1s2ee2sss

第 17 页 共 38 页

故有

R3zs(s)E3(s)H(s)(11s1ssee)s2s2ss1

1eses111s(1es)(1es)es(s1)s1ss1s1

故得其零状态响应为

r3zs(t)[u(t)u(t1)][etu(t)e(t1)u(t1)]e(t1)u(t1)

u(t)u(t1)etu(t)

故得其全响应为

r3(t)r3zs(t)rzi(t)u(t)u(t1)etu(t)

s25H(s)2r(0)2，s2s5，4、描述某线性时不变系统输入与输出关系的系统函数为已知起始条件r(0)0，

输入e(t)u(t)，求系统完全响应。

解:

Rzs(s)s25H(s)2E(s)s2s5

第 18 页 共 38 页

，即

(s22s5)Rzs(s)(s25)E(s)

由此可写出系统微分方程

r(t)2r(t)5r(t)e(t)5e(t)

对方程取拉式变换，有

s2R(s)sr(0)r(0)2sR(s)2r(0)5R(s)(s25)E(s)

将

E(s)1s及起始条件代入上式并整理，得

s22s5122R(s)s(s22s5)s(s1)24

所以

r(t)(12etsin2t)u(t)

5、求微分器、积分器、单位延时器和倒相器的系统函数H(j).

de(t)dt，方程两边进行傅里叶变换，R(j)jE(j)，所以H(j)j

答:微分器：

r(t)积分器:

r(t)e()dt，则

h(t)()du(t)t，所以

H(j)1()j

第 19 页 共 38 页

jH(j)er(t)e(t1)h(t)(t1)单位延时器:，则，所以

倒相器：r(t)e(t)，则h(t)(t)，所以H(j)1

6、已知r(t)e(t)*h(t)，g(t)e(3t)*h(3t)，且r(t)、h(t)的傅里叶变换分别为R()和H()。证明g(t)Ar(Bt)，并求A、B的值.

证明：由r(t)e(t)*h(t)，可得：R()E()H()

由g(t)e(3t)*h(3t),可得：

111G()E()H()E()H()3333933

R()E()H()333，所以, 又：

G()111R()R()93333

111R()g(t)r(3t)Ar(Bt)A,B333而r(3t)的傅里叶变换为33,所以， 即：

7、某系统的微分方程为

r(t)5r(t)6r(t)e(t)3e(t)3e(t)

te(t)u(t)eu(t)，全响应为 ，激励为

第 20 页 共 38 页

41r(t)(4e2te3t)u(t)33

，求系统的零状态响应rzs(t)，零输入响应rzi(t)及rzi(0).

解：系统函数为

s23s2(s1)(s2)s1H(s)2s5s6(s2)(s3)s3

又

112s1ss1s(s1)

E(s)故

2s11/35/3s(s3)ss3

Rzs(s)H(s)E(s)15rzs(t)(e3t)u(t)33，

因此

rzi(t)r(t)rzs(t)(4e2t3e3t)u(t)

rzi(0)431

3tf(t)eu(t)时，零状态响应为y1(t)；激励为 18、已知某系统激励为

第 21 页 共 38 页

f2(t)f1'(t)3tf1()d

时，响应为

y2(t)4y1(t)e2tu(t)

，求冲激响应h(t)。

1s3，

解:

F1(s)3s23F2(s)sF1(s)F1(s)ss(s3)

Y2(s)4Y1(s)1s2

114F1(s)H(s)s2s2

H(s)F2(s)Y2(s)4Y1(s)　　H(s)11s21s2F2(s)4F1(s)(s1)(s2)s2s1

　　h(t)(2e2tet)u(t)

9、一线性时不变连续系统，当起始状态x(0)1,输入f1(t)2u(t)时，全响应为y1(t)u(t)；当x(0)2，输入

f2(t)(t)时，全响应为y2(t)3e2tu(t),求系统冲激响应h(t)。

解：设

第 22 页 共 38 页

y1(t)yzi1(t)yzs1(t)u(t)

（1）

y2(t)yzi2(t)yzs2(t)3e2tu(t)

（2）

又 yzs1(t)2u(t)*h(t)，yzs2(t)h(t)，yzi2(t)2yzi1(t)

故（1)（2)式可改写为：

yzi1(t)2u(t)*h(t)u(t)

（3)

2yzi1(t)h(t)3e2tu(t) (4）

（3）×2-(4)得：

4u(t)*h(t)h(t)2u(t)3e2tu(t)

（5)

取（5)式拉式变换,得：

第 23 页 共 38 页

423H(s)H(s)sss2

12ts2，h(t)eu(t)

所以：

H(s)10、描述线性时不变连续系统的微分方程为

r(t)4r(t)4r(t)e(t)3e(t)

te(t)eu(t),r(0)1,r(0)3。求系统零输入响应rzi(t)零状态响应rzs(t)。 ，输入

解:在零状态下对微分方程进行拉式变换,有

s2Rzs(s)4sRzs(s)4Rzs(s)sE(s)3E(s)

将

E(s)1s1代入上式，解得

Rzs(s)s31212s24s4s1s1(s2)2s2

所以

rzs(t)[2et(t2)e2t]u(t)

 由上式可得 rzs(0)0，rzs(0)1

第 24 页 共 38 页

所以

rzi(0)r(0)rzs(0)1

，

(0)r(0)rzs(0)2rzi

2由微分方程写出特征方程为 440，解得122

设零输入响应

rzi(t)(ABt)e2t，将rzi(0)1，rzi(0)2代入可得 A=1，B=4

所以

rzi(t)(14t)e2t

11、已知离散系统差分方程为

y(n)3y(n1)2y(n2)x(n)

nx(n)2u(n)，初始值为y(0)0，y(1)2。用时域分析法求解零输入响应与yzi(n)零状态响应yzs(n)。 ，激励

2解：先求解零输入响应。 由系统特征方程320，可得特征根为11，22,

故零输入响应形式为

yzi(n)A1(1)nA2(2)n

.

第 25 页 共 38 页

由差分方程可得：

y(n2)0.5[x(n)y(n)3y(n1)]

另n=1、2可得y(1)0,y(2)0.5，则yzi(1)y(1)0,yzi(2)y(2)0.5

将yzi(1)，yzi(2)代入

yzi(n)A1(1)nA2(2)n

可得A11，A22

所以

yzi(n)(1)n2(2)n， 则yzi(0)1，yzi(1)3

（2）求零状态响应. yzs(0)y(0)yzi(0)1，

yzs(1)y(1)yzi(1)1

nn由激励x(n)2u(n)，设特解为B2u(n),代入差分方程得B=1/3

因为2不是特征根，可设零状态响应为

1yzs(n)A3(1)nA4(2)n2nu(n)3

又yzs(0)y(0)yzi(0)1，

yzs(1)y(1)yzi(1)1第 26 页 共 38 页

，代入yzs(n)可得

A313，A41

所以

11yzs(n)(1)n(2)n2nu(n)33

12、已知离散时间系统差分方程为

y(n2)3y(n1)2y(n)x(n1)x(n)

nx(n)(2)u(n)，零输入初始条件为yzi(0)0，yzi(1)1。求零输入响应、零状态响应、全响应，并指出强，

迫响应与自由响应分量。

z1zX(z)nz23z2,当x(n)(2)u(n)时，z2

解：由系统差分方程可得系统函数为：

H(z)所以,零状态响应为

z1z2z2z3zz23z2z2z1z2(z2)2

Yzs(z)H(z)X(z)yzs(n)[2(1)n2(2)n3n(2)n1]u(n)

2由特征方程 a3a20可得特性根为a11，a22，

系统零输入响应可设为

yzi(n)A1(1)nA2(2)n第 27 页 共 38 页

，

将初始条件

yzi(0)0，

yzi(1)1nny(n)(1)(2)A1A1zi代入可得1，2，故

则全响应为

y(n)yzs(n)yzi(n)[(1)n(2)n3n(2)n1]u(n)

nnn1x(n)(2)u(n)Bn(2)u(n)3n(2)]u(n)，自由于激励为，而-2为特征根,则特解形式为，故强迫响应分量为nn[(1)(2)]u(n) 然响应分量为

13、某线性时不变离散系统，激励为x(n)时，全响应为y1(n)u(n)；若起始状态不变，激励为x(n)时，全

ny(n)[231]u(n)。求起始状态变为原来的2倍且激励为3x(n)时系统全响应y3(n)。 2响应为

解：设

y1(n)yzi1(n)yzs1(n)u(n)

（1）

y2(n)yzi2(n)yzs2(n)

[23n1]u(n) (2）

考虑yzi2(n)yzi1(n)，yzs2(n)yzs1(n) 代入（2)式，得：

y2(n)yzi1(n)yzs1(n)第 28 页 共 38 页

[23n1]u(n) （3)

（1)式与（3)式相加并除2,得:yzi1(n)

1{u(n)[23n1]u(n)}3nu(n)2

（4）

（1)式减(4)式,得

yzs1(n)u(n)3nu(n)

应用零输入响应的其次性、零状态响应的其次性可得：

y3(n)2yzi1(n)3yzs1(n)

23nu(n)3[13n]u(n)[33n]u(n)

14、已知二阶离散系零输入初始条件为yzi(0)2,yzi(1)1。当输入x(n)u(n)时,输出响应为

y(n)[0.542n2.53n]u(n)

.求此系统差分方程。

nn422.53解：由激励和响应的形式，可判断响应中自由响应分量为 ，由此可设系统零输入响应形式为

yzi(n)A2nB3n，将初始条件yzi(0)2、yzi(1)1代入可解得A5，B3

故

yzi(n)52n33n，则零状态响应为

第 29 页 共 38 页

yzs(n)y(n)yzi(n)[0.52n0.53n]u(n)

Yzs(n)0.5zz0.5zzz1z2z3(z1)(z2)(z3)

，又

X(z)zz1

H(z)Yzs(z)112X(z)(z2)(z3)z5z6

可得系统差分方程为：

y(n2)5y(n1)6y(n)x(n)

15、已知某线性时不变离散时间系统的单位阶跃响应为

432g(n)[0.5n(0.2)n]u(n)3721

，若零状态响应为

10[0.5n(0.2)n]u(n)7

yzs(n)，求输入的激励信号x(n)。

解：由单位阶跃响应

432g(n)[0.5n(0.2)n]u(n)3721

第 30 页 共 38 页

,可得：

4z3z2zz2(z0.2)G(z)3z17z0.521z0.2(z1)(z0.5)(z0.2)

又

zz1

G(z)H(z)X(z)H(z)，可得系统函数为

z1z(z0.2)G(z)z(z0.5)(z0.2)

H(z)由

10[0.5n(0.2)n]u(n)7

yzs(n)，可得

10zzz[]7z0.5z0.2(z0.5)(z0.2)

Yzs(z)X(z)Yzs(z)/H(z)1z0.2

n1x(n)0.2u(n1) ，求逆变换可得

16、已知离散系统差分方程为

第 31 页 共 38 页

y(n2)6y(n1)8y(n)x(n2)5x(n1)12x(n)

，若x(n)u(n)时系统响应为

y(n)[1.2(2)n12.8(4)n]u(n)

。

（１)判断该系统的稳定性；(２）计算令输入初始条件yzi(0)、yzi(1)及激励引起的初始值yzs(0)、解：（１）在初始状态为零的条件下,对差分方程进行ｚ变换，得

z2Y(z)6zY(z)8Y(z)z2X(z)5zX(z)12X(z)

故

Y(z)z2H(z)5z12z25z12X(z)z26z8(z2)(z4)

由于极点p12,p24在单位圆外，故系统不稳定。

（2）对差分方程进行考虑初值的z变换可得：

z2Y(z)z2yzi(0)zyzi(1)6zY(z)6zyzi(0)8Y(z)(z25z12)X(z)

则

第 32 页 共 38 页

yzs(1).

z25z12yzi(0)z2[yzi(1)6yzi(0)]zY(z)2X(z)Yzs(z)Yzi(z)2z6z8z6z8

其中,

6zz25z12z25z12zz4zYzs(z)2X(z)5z6z8(z2)(z4)z1z1z25z4

故

yzs(n)[1.2(2)n0.8(4)n]u(n)

，由此可得 yzs(0)1，yzs(1)0

因为

y(n)[1.2(2)n12.8(4)n]u(n)

，所以

yzi(n)y(n)yzs(n)[(2)n2(4)n]u(n)

17、 已知某离散系统的差分方程为

2y(n2)3y(n1)y(n)x(n1)

,其初始状态为yzi(1)2,yzi(2)6，激励x(n)u(n)；求：1） 零输入响应yzi(n)、零状态响应yzs(n)及全响应y(n)；2) 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量;3） 判断该系统的稳定性。

第 33 页 共 38 页

解：

H(z)z2z23z1，特征根为10.5 ，21

（1)

yzi(n)(C10.5nC2)u(n)

代入初始条件得C1=-2,C2=2

零输入响应：

yzi(n)2(10.5n)u(n)

Yzs(z)H(z)E(z)

zzzzz2z23z1z1z0.5z1(z1)2

零状态响应：

yzs(n)(0.5nn1)u(n)

ny(n)(1n0.5)u(n) 全响应:

n(10.5)u(n) 受迫响应：nu(n). (2）自由响应：

（3)系统的特征根为10.5(单位圆内),21（单位圆上），所以系统临界稳定。

18 已知线性非时变离散系统的差分方程为：

第 34 页 共 38 页

y(n)5y(n1)6y(n2)x(n)

，且x(n)2u(n)，y（-1)=1, y（-2）=0 求：(1）画出此系统的框图；（2)试用z域分析法求出差分方程的解y（n)；(3）求系统函数H(z）及其单位样值响应h(n）。

解：（1)系统方框图为：

y(n)x(n)+5-6E-1E-1 (2）x(n)2u(n)，则

X(z)2zz1

对差分方程进行Z变换得：

Y(z)5[z1Y(z)y(1)]6[z2Y(z)z1y(1)y(2)]X(z)

Y(z)115z16z25y(1)6z1y(1)6y(2)X(z)15z16z2

z22z5z26z2z5z6z1z25z6

7z3z26zz36z36z2(z5z6)(z1) z1z2z3

y(n)(1362n363n)u(n)

第 35 页 共 38 页

（3）在零状态下,对差分方程进行Z变换得：

115z6z12Y(z)X(z)

Y(z)1z23z2zH(z)X(z)15z16z2(z2)(z3)z3z2

h(n)(33n22n)u(n)(3n12n1)u(n)

dy(t)ay(t)x(t)dt19、设有一连续时间系统满足微分方程,若有一离散时间系统,其单位阶跃响应

g（n)等于前述

连续时间系统的单位阶跃响应gc(t) 之抽样，即g(n）= gc(nT)，求此离散系统差分方程表达式.

解：先求连续时间系统的阶跃响应gc(t）. 1s，所以

由微分方程可得系统函数为

H(s)1X(s)sa，

Gc(s)11/a1/as(sa)ssa

则：

gc(t)1(1eat)u(t)a

第 36 页 共 38 页

g(n)gc(t)|tnT1(1eanT)u(nT)a

其变换为

1zz1(1eaT)zG(z)()az1zeaTa(z1)(zeaT)

又 g(n)h(n)*u(n)，

G(z)H(z)zz1 所以，

z111eaTH(z)G(z)zazeaT

故差分方程表达式为：

1(1eaT)x(n)a

y(n1)eaTy(n)20、描述线性时不变离散系统的差分方程组为

y1(n)4y1(n1)y2(n)x(n1)

，

y1(n1)2y1(n2)y2(n)2y2(n1)x(n)3x(n1)

Y1zs(z)Y(z)H2(z)2zsX(z)、X(z)。

其中，x(n)为激励，y1(n)、y2(n)为系统的两个输出。求

H1(z)解:在零状态下,对差分方程组进行Z变换,有

第 37 页 共 38 页

(14z1)Y1zs(z)Y2zs(z)z1X(z)

(z12z2)Y1zs(z)(12z1)Y2zs(z)(13z1)X(z)

解上两方程组，得

，

所以,有

，

12z12z2Y1zs(z)1z16z2X(z)

17z111z22z3Y2zs(z)1z16z2X(z)

Y1)1zs(z)12z2z2H1(zX(z)1z16z2

Y2zs(z)17z111z22z3H2(z)X(z)1z16z2

第 38 页 共 38 页