高一数学试卷
命题：黄文强 审题：周平
一、选择题（共12题，每题5分）
1．等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于( )
A．±4 B．4 C．6 D．－4 2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 3．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝( )
A．－1 B．1
2 2 C．2 D．－2
4．设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知ABC和点M满足MAMB+MC0.若存在实数m使得ABACmAM成立，则
m( )
A．2 B．3 C．4 D．5
6．在△ABC中，sin(A－B)＋sin C＝3
2，BC＝3AC，则∠B＝( )
A．π3 B．π6 C．π6或π3 D．π2
7．已知O，A，B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3,0)，B(0，3)，且P在线段AB上，AP→＝tAB
→
(0≤t≤1)，则OA→·OP→
的最大值为( )
A.3 B．3 C．22 D．9
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数n的值为( )
A．6 B．7 C．12 D．13
9. 若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（ ）
A．(1，2)
B．(2，) C．[3，)
D．(3，)
10．在R上定义运算：
a
b
d＝ad－bc.若不等式x－1 a－2
c
a＋1 x
≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为( )．
A．－1312 B．－2 C．33 D．2
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11．如右图，△ABC中，AD＝2BD，AE＝3EC，CD与BE交于F，设AB→＝a，AC→＝b，AF→
＝xa＋yb，则(x，y)为( )
A．(11 B．(113，2) 4，3) C．(33D．(297，7) 5，20) 12．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( ) A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题（共4题，每题5分）
13．已知向量a，b夹角为45°，且a1，2ab10，则b=____________.
14．若数列a2n的前n项和为Sn3a1n3，则数列an的通项公式是an=____________. 15．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为11
－3，2
，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集
为________．
16．如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，
→→→
若AD＝xAB＋yAC，则x＝_______，y＝________.
三、解答题
17．已知平面上三点A，B，C，BC＝(2－k,3)，AC＝(2,4)．
(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件； (2)若△ABC为直角三角形，其中角B是直角，求k的值．
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18．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，(1)设GPG，Q三点共线．＝λPQ，将
OG用λ，OP，OQ表示；
(2)设OP＝xOA，OQ＝yOB，证明：11
x＋y
是定值．
19．已知函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．
20．设数列{an}的前n项和为Sn，且S1＝2，Sn＋1＝2Sn＋2(n∈N*)，bn＝Sn＋2.
(1)求证：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式；
(3)若数列{ca1－1a2－1an－1
n}满足cn＝2＋22＋…＋2n(n∈N*)，求{cn}的前n项和Tn.
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21．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2－a2－c2
ac＝cos A＋C
sin Acos A
.
(1)求角A；
(2)若a＝2，求bc的取值范围．
22．数列{an}的通项
，其前n项和为Sn 。
（1）求S1，S2，S3; （2）求Sn ； （3）若数列b9n4123nn2S，其前n项和为Tn，求证：Tn3n132.
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高一数学答案
一、选择题（共12题，每题5分）
1．等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于( )
A．±4 B．4 C．6 D．－4
解析：a25＝a3a7＝16，可知a5＝±
4，又因为a5＝a3q2>0，所以a5＝4，故选B. 答案：B
2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
解析：根据等比数列的性质，若m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)，则am，ak，an成等比数列，故选D.
答案：D
3．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝( )
A．－1 B．1
2 2 C．2 D．－2
解析：由题意知2(1,2)＋(－3,0)＝λ[(1,2)－m(－3,0)]，即(2,4)＋(－3,0)＝(λ，2λ)＋(3λm,0)，则有λ＝2,3λm＝－3，即6m＝－3，则m＝－1
2，所以选A. 答案：A
4．设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m( )
A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C
5．已知ABC和点M满足MAMB+MC0.若存在实数m使得ABACmAM成立，则
m( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
6．在△ABC中，sin(A－B)＋sin C＝3
2，BC＝3AC，则∠B＝( )
A．π3 B．ππππ6 C．6或3 D．2
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解析：∵sin(A－B)＋sin C＝3
2
∴sin(A－B)＋sin(A＋B)＝2sin Acos B＝3
2 ①
又∵a＝3b，∴asin A
b＝sin B＝3，∴sin A＝3sin B代入①得 23sin Bcos B＝3，∴sin 2B＝3
22，∴2B＝120°或60°， ∴B＝60°或30°
当B＝60°代入①sin A＝32(舍)，故B＝30°，选B. 答案：B
7．已知O，A，B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3,0)，B(0，3)，且P在线段AB上，AP→＝tAB→(0≤t≤1)，则OA→·OP→
的最大值为( )
A.3 B．3 C．22
D．9
解析：设P(x，y)，x∈[0,3]，则(x－3，y)＝t(－3,3)，x－3＝－3t， x＝3－3t，
y＝3t，即y＝3t，
t
∈[0,1]，所以OA→·OP→＝3x＝9(1－t)∈[0,9]，即OA→·OP→
的最大值为9.
答案：D
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数n的值为( )
A．6 B．7 C．12
D．13
解析：选C ∵a1＞0，a6a7＜0，∴a6＞0，a7＜0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10
＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，∴S12＞0，S13＜0，∴满足Sn＞0的最大自然数n的值为12.
9. 若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范
围是（B）
A．(1，2)
B．(2，) C．[3，)
D．(3，)
10．在R上定义运算：
a
b
c
d＝ad－bc.若不等式x－1 a－2
a＋1 x
≥1对任意实数x恒成立，则第3页，共2页
实数a的最大值为( )．
A．－13 C．132 B．－2 3 D．2 解析 原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，x2－x－1＝x－155513
22－4≥－4，所以－4≥a2－a－2，－2≤a≤2.故选D.
答案 D
11．如右图，△ABC中，AD＝2BD，AE＝3EC，CD与BE交于F，设AB→＝a，AC→＝b，AF→
＝xa＋yb，则(x，y)为( A )
A．(113，2) B．(114，3) C．(337，7) D．(295，20)
12．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( ) A．6
B．7
C．8
D．9
解析 由题意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，－2；b，a，－2； －2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有：a，－2，b；b，－2，a.
∴ab＝4，ab＝42b＝a－2或，a＝4，a＝1，2a＝b－2解之得：b＝1或b＝4.
∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D. 答案 D
二、填空题（共4题，每题5分）
13．已知向量a，b夹角为45°，且a1，2ab10，则b=____________.答案：32 14．若数列an的前n项和为S21n3an3，则数列an的通项公式是an=____________. 答案：
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15．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为－11
3，2
，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集
为________．
解析 由ax2＋2x＋c>0的解集为1111
－3，2
知a<0，且－3，2为方程ax2＋2x＋c＝0的两个
根，由根与系数的关系得－11211c
3＋2＝－a，－3×2＝a，解得a＝－12，c＝2，∴－cx2＋2x－a>0，即2x2－2x－12<0，其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3)
→→→
16．如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD＝xAB＋yAC，则x＝__________，y＝__________.
→→
解析：解法一：结合图形特点，设向量AB，AC为单位→→→→→→
向量，由AD＝xAB＋yAC知，x， y分别为AD在AB，AC上的→→
投影，又|BC|＝|DE|＝2，∴|BD|＝|DE|·sin 60°＝6
2. →→
∴AD在AB上的投影x＝1＋662
2cos 45°＝1＋2×2＝1＋32
， →→
AD在AC上的投影y＝632sin 45°＝2.
→→→→→→解法二：∵AD＝xAB＋yAC，又AD＝AB＋BD， →→→→→→→∴AB＋BD＝xAB＋yAC，∴BD＝(x－1)AB＋yAC. →→→→→又AC⊥AB，∴BD·AB＝(x－1)AB2. →→→
设|AB|＝1，则由题意|DE|＝|BC|＝2.
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→→→
又∠BED＝60°，∴|BD|＝6
2.显然BD与AB的夹角为45°.
→→→∴由BD·AB＝(x－1)AB2，
得6×1×cos 45°＝(x－1)×12，∴x＝322＋1.
→→→
同理，在BD＝(x－1)AB＋yAC两边取数量积可得y＝3
2. 答案：1＋3 3
22 三、解答题
17．已知平面上三点A，B，C，BC＝(2－k,3)，AC＝(2,4)．
(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件； (2)若△ABC为直角三角形，其中角B是直角，求k的值．
解：(1)由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，即向量BC与
AC平行，
∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝1
2. (2)∵BC＝(2－k,3)，∴CB＝(k－2，－3)，
∴AB＝AC＋CB＝(k,1)．
当B是直角时，AB⊥BC，即AB·
BC＝0， ∴k2
－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1； 综上得k的值为－1,3,
18．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，
且P，G，Q三点共线．
(1)设PG＝λPQ，将OG用λ，OP，OQ表示；
(2)设OP＝xOA，OQ＝yOB，证明：11
x＋y是定值．
解：(1) OG＝OP＋PG＝OP＋λPQ
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＝OP＋λ(OQ－OP)
＝(1－λ) OP＋λOQ.
(2)证明：一方面，由(1)，得
OG＝(1－λ) OP＋λOQ
＝(1－λ)xOA＋λyOB；①
另一方面，∵G是△OAB的重心，
∴OG＝2213OM＝3×2(OA＋OB)
＝113OA＋3OB.② 而OA，OB不共线，
1－λx＝1
∴由①②，得3
，λy＝1
3.
1
x＝3－3λ，
解得＝3(定值)．
1
y＝3λ.
∴11
x＋y19．已知函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围； (2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)由题意可得m＝0或m＜0，
Δ＝m2＋4m＜0
⇔m＝0或－4＜m＜0⇔－4＜m≤0.
故m的取值范围是(－4,0]．
(2)∵f(x)＜－m＋5⇔m(x2－x＋1)＜6， ∵x2－x＋1＞0， ∴m＜
6
x2－x＋1
对于x∈[1,3]恒成立，
只需求m<6
x2－x＋1
的最小值，
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记g(x)＝6
x2－x＋1
，x∈[1,3]，
记h(x)＝x－13
2
2＋4，h(x)在x∈[1,3]上为增函数．
则g(x)在[1,3]上为减函数， ∴[g(x)]66
min＝g(3)＝7，∴m＜7. 所以m的取值范围是6
－∞，7.
20．设数列{an}的前n项和为Sn，且S1＝2，Sn＋1＝2Sn＋2(n∈N*)，bn＝Sn＋2.
(1)求证：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式；
(3)若数列{ca1－1a2－1an－1
n}满足cn＝2＋22＋…＋2n(n∈N*)，求{cn}的前n项和Tn. 解：(1)证明：∵Sn＋1＝2Sn＋2，∴Sn＋1＋2＝2(Sn＋2)，
∴bn＋1＝2bn，又b1＝4，∴数列{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)可得，b－
n＝4×2n1＝2n＋
1，∴Sn＝bn－2＝2n＋
1－2，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2)＝2n， ∵a1＝S1＝2，代入上式an中也成立． ∴an＝2n(n∈N*)．
(3)∵an－1a1－1a2－12＝1－1
an2n，∴cn－1n＝2＋22＋…＋2n ＝n－1111
2＋22＋…＋2n＝n＋2n－1(n∈N*)．
1∴T2＋…＋n)＋1＋11
n＋1n21－12nn2－n＋21n＝(1＋222＋…＋2n－n＝2＋1－n＝－2n. 1－2
2
b2－a2－c2
21．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac＝cos A＋Csin Acos A.
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(1)求角A；
(2)若a＝2，求bc的取值范围． 解：(1)∵b2－a2－c2cos A＋C
ac＝sin Acos A， ∴－2accos B－cos B
ac＝sin Acos A，
∵△ABC为锐角三角形，
∴cos B≠0，∴2sin Acos A＝1，即sin 2A＝1， ∴2A＝ππ
2，A＝4. (2)根据正弦定理可得：a＝bc
sin Asin B＝sin C， ∴bc＝4sin Bsin C， 又C＝3π
4－B，
∴bc＝4sin Bsin 3π
4－B
＝4sin B22cos B＋22sin B
＝2sin 2B＋2(1－cos 2B)⇒bc＝2sin2B－π
4
＋2.
0 2， 得到B的范围为ππ 4，2 . ∴2B－ππ3π 4∈4，4 ，则bc的范围为(22，2＋2]． 22．数列{an}的通项 ，其前n项和为Sn 。 （1）求S1 ，S2 ，S3 ；（2）求Sn ； (3)若数列 ，其前n项和为Tn，求证： 第6页，共2页 高一数学 第7页，共2页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容