概率论与数理统计第一章教案

第一节 随机事件 一、随机现象 在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象：一类是在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象。 例如：(1) 一物体从高度为h（米）处垂直下落，则经过t（秒）后必然落到地面，且当高度h一定时，可由公式h12。 gt得到，t2h/g（秒）2(2) 异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥。… 另一类则是在一定条件下我们事先无法准确预知其结果的现象，称为随机现象。 例如：(1) 在相同条件下抛掷同一枚硬币，我们无法事先预知将出现正面还是反面。 (2) 将来某日某种股票的价格是多少。… 概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科。 二、 随机试验 为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察， 我们把对随机现象的观察称为随机试验，并简称为试验，记为E。 例如，观察某射手对固定目标进行射击； 抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数；记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验。 随机试验具有下列特点： (1) 可重复性；试验可以在相同的条件下重复进行； (2) 可观察性；试验结果可观察,所有可能的结果是明确的； (3) 不确定性： 每次试验出现的结果事先不能准确预知。 三、样本空间 尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点, 记为e（或）；它们的全体称为样本空间, 记为S(或). 例如：(1) 在抛掷一枚硬币观察其出现正面或反面的试验中有两个样本点：正面、反面. 样本空间为S={正面，反面}或S{e1,e2}(e1正面，e2反面)。 (2) 在将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现情况的试验中，有8个样本点，样本空间：S{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}。 (3) 在抛掷一枚骰子，观察其出现的点数的试验中，有6个样本点：1点，2点，3点，4点，5点，6点，样本空间可简记为S{1，2，3，4，5，6}。 (4) 观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数，其样本点有无穷多个：i次， i =0,1,2,3，…，样本空间可简记为S{0，1，2，3，… }。 (5) 在一批灯泡中任意抽取一个，测试其寿命，其样本点也有无穷多个(且不可数)：t小时，样本空间可简记为S{t|0t}=[0,+ ]。 注：同一个随机试验，试验的样本点与样本空间是要根据要观察的内容来确定的。 四、随机事件 在概率论中，把具有某一可观察特征的随机试验的结果称为事件，事件可分为以下三类： (1) 随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的事情。 (2) 必然事件：在每次试验中都必然发生的事件。 (3) 不可能事件：在任何一次试验中都不可能发生的事件。 显然，必然事件和不可能事件都是确定性事件，为讨论方便，今后将它们看作是两个特殊的随机事件，并将随机事件简称为事件。 五、事件的集合表示 任何一个事件都可以用S的某一子集来表示,常用字母A,B,等表示。 称仅含一个样本点的事件为基本事件；含有两个或两个以上样本点的事件为复合事件。显然，样本空间S作为事件是必然事件，空集作为一个事件是不可能事件。 六、 事件的关系与运算 事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理.为了方便，给出下列对照表： \\表 记号AAABABABABABAB概率论样本空间,必然事件不可能事件基本事件事件A的对立事件事件A发生导致B发生事件A与事件B相等事件A与事件B至少有一个发生事件A与事件B同时发生事件A发生而事件B不发生事件A和事件B互不相容集合论全集空集元素子集A的余集A是B的子集A与B的相等A与B的和集A与B的交集A与B的差集A与B没有相同的元素 注：两个互为对立的事件一定是互斥事件；反之，互斥事件不一定是对立事件，而且，互斥的概念适用于多个事件，但是对立概念只适用于两个事件。 七、事件的运算规律 由集合的运算律，易给出事件间的运算律： （1） 交换律； （2） 结合律； （3） 分配律； （4） 自反律； （5） 对偶律。 例1甲，乙，丙三人各射一次靶，记A“甲中靶” B“乙中靶” C“丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： A; (2) “甲中靶而乙未中靶”： AB; (3) “三人中只有丙未中靶”： ABC; (4) “三人中恰好有一人中靶”： ABCABCABC; (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ABC; (6)“三人中至少有一人未中靶”： ABC;或ABC; (7)“三人中恰有两人中靶”： ABCABCABC; (8)“三人中至少两人中靶”： ABACBC; (9)“三人均未中靶”： ABC; (10)“三人中至多一人中靶”： ABCABCABCABC; (11)“三人中至多两人中靶”： ABC;或ABC; 注：用其它事件的运算来表示一个事件, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)实际上是同一事件，应学会用不同方法表达同一事件, 特别在解决具体问题时,往往要根据需要选择一种恰当的表示方法。 课堂练习 1. 设当事件A与B同时发生时C也发生, 则 ( ). (A) AB是C的子事件; (B)ABC;或ABC; (C) AB是C的子事件; (D) C是AB的子事件. 2. 设事件A{甲种产品畅销, 乙种产品滞销}, 则A的对立事件为 ( ). (A) 甲种产品滞销,乙种产品畅销; (B) 甲种产品滞销; (C) 甲、乙两种产品均畅销; (D) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销. 课后作业 P6, 1，2，4 第二节 随机事件的概率 一、频率及其性质 定义1 若在相同条件下进行n次试验, 其中事件A发生的次数为rn(A), 则称fn(A)rn(A)为事件A发生的频率。 n频率的基本性质: (1) 0fn(A)1; (2) fn(S)1; (3) 设A1,A2,,An是两两互不相容的事件, 则 fn(A1A2An)fn(A1)fn(A2)fn(An). 定义2在相同条件下重复进行n次试验，若事件A发生的频率fn(A)rn(A)随着n试验次数n的增大而稳定地在某个常数p(0p1)附近摆动，则称p为事件的概率，记为P(A)。 例1从某鱼池中取100条鱼， 做上记号后再放入该鱼池中。 现从该池中任意捉来40条鱼， 发现其中两条有记号， 问池内大约有多少条鱼 二、概率的公理化定义 定义3 设E是随机试验, S是它的样本空间,对于E的每一个事件A赋予一个实数, 记为P(A), 若P(A)满足下列三个条件: (1) 非负性：对每一个事件A,有 P(A)0; (2) 完备性：P(S)1; (3) 可列可加性：设A1,A2,是两两互不相容的事件，则有 P(Ai)i1P(A). ii1则称P(A)为事件A的概率. 三、 概率的性质 性质1 P()0 性质2 (有限可加性) 若事件A1,A2,,An两两互不相容，则有 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) 性质3 对任一事件A，有P(A)1P(A) 性质4 P(AB)P(A)P(AB)；特别地，若AB，则有 （1）P(BA)P(B)P(A)，（2）P(B)P(A) 性质5 对任一事件A，P(A)1 性质6 对任意两个事件A,B，有P(AB)P(A)P(B)P(AB) 注：推广到对任意三个事件A,B,C，则有 P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P((BC)P(ABC) 例2 已知P(A)0.5, P(AB)0.2, P(B)0.4, 求 (1) P(AB); (2) P(AB); (3) P(AB); (4) P(AB). 课堂练习 1.设AB, P(A)0.6, P(AB)0.8, 求事件B的逆事件的概率. 2.设P(A)0.4, P(B)0.3, P(AB)0.6, 求P(AB). 3.设A,B都出现的概率与A,B都不出现的概率相等, 且P(A)p, 求P(B). 课后作业 P10 3、4 第三节 古典概型 一、古典概型 1、我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型。 (1) 随机试验只有有限个可能的结果; (2) 每一个结果发生的可能性大小相同. 古典概型又称为等可能概型.在概率论的产生和发展过程中，它是最早的研究对象，且在实际中也最常用的一种概率模型。 2、古典概率 P(A)P(ei)P(ei)jkkj1j1jkA包含的基本事件数. nS中基本事件的总数 二、 计算古典概率的方法 1.基本计数原理： (1) 加法原理：设完成一件事有m种方式,其中第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法，……,第m种方式有nm种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事,则完成这件事的方法总数为n1n2nm. (2) 乘法原理：设完成一件事有m个步骤,其中第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法，……，第m个步骤有nm种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数为 n1n2nm. 2. 排列组合方法 (1)1排列公式：(2) 组合公式。 例1 一个袋子中装有10个大小相同的球, 其中3个黑球, 7个白球, 求 (1)从袋子中任取一球, 这个球是黑球的概率; (2)从袋子中任取两球, 刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率. 例2 将3个球随机放入4个杯子中, 问杯子中球的个数最多为1, 2, 3的概率各是多少 例3 在1~2000的整数中随机地取一个数, 问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少 课堂练习 P14 1、2、3、4、 课后作业 P14 6、9、10 第四节 条件概率 一、 条件概率的引入 引例 一批同型号的产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表： 厂别 数量 甲厂 乙厂 合计 等级 合格品 次品 合计 475 25 500 644 56 700 1119 81 1200 (1) 从这批产品中随意地取一件，则这件产品为次品的概率为多少 (2) 当被告知取出的产品是甲厂生产的时，那么这件产品为次品的概率又是多大 在事件A发生的条件下，求事件B发生概率，这就是条件概率，记作P(B|A)。 二、条件概率的定义 1、定义1 设A,B是两个事件, 且P(A)0, 则称 P(B|A)P(AB) (1) P(A)为在事件A发生的条件下，事件B的条件概率。相应地，把P(B)称为无条件概率。一般地，P(B|A)P(B)。 2、条件概率的性质 (1) 0P(A)1; (2) P(S|A)1; (3) 设A1,A2,,An互不相容，则 P(A1A2An|A)P(A1|A)P(A2|A)P(An|A) 例1 一袋中装有10个球, 其中3个黑球, 7个白球, 先后两次从袋中各取一球(不放回) (1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率; (2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率. 注: (1) 用维恩图表达(1)式.若事件A已发生,则为使B也发生,试验结果必须是既在A中又在B中的样本点,即此点必属于AB.因已知A已发生,故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间. (2) 计算条件概率有两种方法: a) 在缩减的样本空间A中求事件B的概率，就得到P(B|A)； b) 在样本空间S中，先求事件P(AB)和P(A)，再按定义计算P(B|A)。 例2 袋中有5个球, 其中3个红球2个白球. 现从袋中不放回地连取两个. 已知第一次取得红球时, 求第二次取得白球的概率。 三、乘法公式 由条件概率的定义立即得到: P(AB)P(A)P(B|A)(P(A)0) (2) 注意到ABBA, 及A,B的对称性可得到: P(AB)P(B)P(A|B)(P(B)0) (3) (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率. 例3 一袋中装10个球, 其中3个黑球、7个白球, 先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率。 例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率. 四、全概率公式 全概率公式是概率论中的一个基本公式。它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。 定理1 设A1,A2,,An,是一个完备事件组,且P(Ai)0,i1,2,,则对任一事件B,有P(B)P(A1)P(B|A1)P(An)P(B|An) 五、贝叶斯公式 利用全概率公式,可通过综合分析一事件发生的不同原因、情况或途径及其可能性来求得该事件发生的概率.下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题，即一事件已经发生，要考察该事件发生的各种原因、情况或途径的可能性。 定理2 设A1,A2,,An,是一完备事件组,则对任一事件B,P(B)0,有 P(Ai|B)P(AiB)P(B)P(Ai)P(B|Ai),P(A)P(B|A)jjji1,2,, 注: 公式中,P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的先验概率和后验概率。 特别地，若取n2，并记A1A, 则A2A,于是公式成为 P(A|B)P(AB)P(A)P(B|A). P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A) 例5 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化, 往往会去分析影响股票价格的基本因素, 比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 根据经验, 人们估计, 在利率下调的情况下, 该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下, 其价格上涨的概率为40%, 求该支股票将上涨的概率. 例6 有三个瓶子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑共4个球，3号装有2红2黑共4个球， （1）若某人从中随机取一瓶，再从该瓶中任意取出一个球，求取得红球的概率 （2）若已知某人取出的球是红球，问取自第一个瓶子的概率 课堂练习 1、设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为, 活到25年以上的概率为. 问现年20岁的这种动物, 它能活到25岁以上的概率是多少 2、对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格时, 机器调整得良好的概率是多少 课后作业 P21 7,8 第五节 事件的独立性 一、 两个事件的独立性 定义1 若两事件A,B满足 P(AB)P(A)P(B) (1) 则称A,B独立, 或称A,B相互独立。 注: (1) 两事件互不相容与相互独立是完全不同的两个概念，它们分别从两个不同的角度表述了两事件间的某种联系。互不相容是表述在一次随机试验中两事件不能同时发生， 而相互独立是表述在一次随机试验中一事件是否发生与另一事件是否发生互无影响。 (2) 当P(A)0,P(B)0时, A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立。 (3) 若A,B既独立又互斥，则至少有一个是零概率事件。 定理1 设A,B是两事件, 且P(A)0,若A,B相互独立, 则P(A|B)P(A). 反之亦然. 定理2 设事件A,B相互独立,则下列各对事件也相互独立: A与B,A与B,A与B. 例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记A{抽到K}, B{抽到的牌是黑色的}, 问事件A、B是否独立 注：从例1可见，判断事件的独立性，可利用定义或通过计算条件概率来判断。 但在实际应用中, 常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立。 二、有限个事件的独立性 1、定义2 设A,B,C为三个事件, 若满足等式 P(AB)P(A)P(B),P(AC)P(A)P(C),P(BC)P(B)P(C),P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件A,B,C相互独立。 定义3 设A1,A2,,An是n个事件, 若其中任意两个事件之间均相互独立, 则称A1,A2,,An两两独立. 2、相互独立性的性质 性质1 若事件A1,A2,,An(n2)相互独立, 则其中任意k(1kn)个事件也相互独立; 性质2 若n个事件A1,A2,,An(n2)相互独立, 则将A1,A2,,An中任意m(1mn)个事件换成它们的对立事件, 所得的n个事件仍相互独立; 注：设A1,A2,,An是n(n2)个随机事件，则 A1,A2,,An相互独立  A1,A2,,An两两独立. 即相互独立性是比两两独立性更强的性质, 例2 已知甲、乙两袋中分别装有编号为1, 2, 3, 4的四个球. 今从甲、乙两袋中各取出一球, 设A{从甲袋中取出的是偶数号球}, B{从乙袋中取出的是奇数号球}, C{从两袋中取出的都是偶数号球或都是奇数号球}, 试证A,B,C两两独立但不相互独立. 例3 如图是一个串并联电路系统.A,B,C,D,E,F,G,H都是电路中的元件。 它们下方的数字是它们各自正常工作的概率， 求电路系统的可靠性。 例4甲, 乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为p,p≥1/2. 问对甲而言,采用三局二胜制有利, 还是采用五局三胜制有利. 设各局胜负相互独立. 三、伯努利概型 设随机试验只有两种可能的结果: 事件A发生(记为A) 或 事件A不发生(记为A), 则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验. 设 P(A)p,P(A)1p,(0p1), 将伯努利试验独立地重复进行n次, 称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验, 或简称为伯努利概型. 注: n重伯努利试验的特点是：事件A在每次试验中发生的概率均为p,且不受其他各次试验中A是否发生的影响. 定理3（伯努利定理） 设在一次试验中,事件A发生的概率为p(0p1),则在n重贝努里试验中,事件A恰好发生k次的概率为 kkP{Xk}Cnp(1p)nk,(k0,1,,n). 推论 设在一次试验中,事件A发生的概率为p(0p1), 则在n重贝努里试验中, 事件A在第k次试验中的才首次发生的概率为 p(1p)k1,(k0,1,,n). 注意到“事件A第k次试验才首次发生”等价于在前k次试验组成的k重伯努利试验中“事件A在前k1次试验中均不发生而第k次试验中事件A发生”,再由伯努利定理即推得. 例5 某型号高炮,每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为,现若干门炮同时各射一发, (1)问：欲以99%的把握击中一架来犯的敌机至少需配置几门炮 (2)现有3门炮,欲以99%的把握击中一架来犯的敌机,问:每门炮的命中率应提高到多少 课堂练习 1. 某工人一天出废品的概率为, 求在4天中: (1) 都不出废品的概率; (2) 至少有一天出废品的概率; (3) 仅有一天出废品的概率; (4) 最多有一天出废品的概率; (5)第一天出废品, 其余各天不出废品的概率. 课后作业 P25 3,6,8 第一章 习题课 一、基本知识点 1、概率的定义 2、概率的性质 3、基本公式：古典概型、条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、 独立性、伯努利定理 二、典型例题 例1、已知P(A)0.5,P(B)0.3,P(AB)0.6,求P(AB)，P(A|B)，P(AB) 例2、P(A)0.4,P(B)0.2,（1）若A,B互不相容，则P(AB)= （2）若A,B相互独立，则P(AB)= 例3、设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件, (1) 求取到的是次品的概率； (2) 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率。 例4、发报台分别以概率和发出信号“.”及“-”，由于通信系统受到干扰，当发出信号“.”时，收报台分别以概率及收到“.”及“-”；又当发出信号“-”时，收报台分别以概率及收到“-”及“.”，求当收报台收到“.”时，发报台确系发出信号“.”的概率，以及收到“-”时，确系发出“-”的概率。 例5、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是， 加工出来的零件放在一起，并且已知第二台加工的零件比第一台加工的多一倍， (1)求任意取出的零件是合格品的概率; (2)如果任意取出的零件是废品, 求它是第二台车床加工的概率.