理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应的位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案.不准使用铅笔和修正液，不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.已知集合A.
【答案】C 【解析】 【分析】
根据对数求得集合N，再由集合交集定义可得【详解】因为所以
所以所以选C
【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题。 2.设复数满足A.
，则B.
（ ）
C.
D.
。
B.
，则
C.
为（ ）
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据复数模的定义求得即可。 【详解】根据复数除法运算，可化简得
所以所以选D
【点睛】本题考查了复数模的求法，属于基础题。 3.已知实数，满足约束条件A.
B.
，则目标函数
C.
的最大值为（ ）
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据线性约束条件，画出可行域，求可行域内到原点距离的最大值即可。 【详解】由线性约束条件，可行域如下图所示：
由图可知，点A到原点距离最大，此时所以所以选B
【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，非线性目标函数最值的求法，属于基础题。
4.已知命题对任意若A. C. 【答案】D 【解析】 构造函数即题.故
，则
或
，总有；命题直线，，
；则下列命题中是真命题的是（ ）
B. D.
故函数在
,故为真命题.由于两直线平行,故为真命题.所以选D.
,解得
上单调递增,故
或
也
,故为真命
5.陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言。景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为（ ）
A. 【答案】B 【解析】 【分析】
B. C. D.
根据组合数，求得出所有相克情况，即可求得任取两种取出的两种物质恰好是相克关系的概率。
【详解】从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件数量为
取出两种物质恰好相克的基本事件数量为
则取出两种物质恰好是相克关系的概率为所以选B
【点睛】本题考查了概率求法，古典概型概率的相关求解，属于基础题。 6.如图是计算
值的一个程序框圈，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式。 【详解】因为该程序图是计算所以共循环了5次
所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6， 即判断框内的不等式应为所以选C
【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题。
或
值的一个程序框圈
7.已知点在幂函数图像上，设，，，则、、
的大小关系为（ ） A.
【答案】A 【解析】 【分析】
根据点在幂函数上，可求得幂函数解析式，进而判断大小即可。 【详解】因为点所以即
，所以， ，
，
在幂函数
图像上
B.
C.
D.
即
为R上的单调递增函数
所以所以选A
【点睛】本题考查了指数幂与对数大小比较，函数单调性的简单应用，属于基础题。 8.要得到函数的（ ） A. 先将位 B. 先将位 C. 先将半
的图象向左平移
个单位，再将所得到图象上各点的横坐标缩短到原来的一
的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得到图象向左平移
个单
的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，再将所得到图象向左平移个单
的图象，只需将函数
的图象经过下列两次变换而得到
D. 先将倍 【答案】C 【解析】 【分析】
的图象向左平移个单位，再将所得到图象上各点的横坐标伸长到原来的
根据三角函数图像的平移变化，横坐标与平移量的关系，即可判断。 【详解】将函数方法一、先将来的一半 方法二、先将个单位
根据选项，可知C为正确的平移方法 所以选C
【点睛】本题考查了三角函数图像与性质，函数图像的平移变化，属于基础题。
9.某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（ ）
的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，再将所得到图象向左平移的图象经过两次变换而得到函数的图象向左平移
的图象有两种方法：
个单位，再将所得到图象上各点的横坐标缩短到原
正视图 仰视图 俯视图 A. C.
B. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三视图，画出空间结构体，由数据即可求得最长的棱长。 【详解】根据三视图，画出空间结构体如下图所示
则最长的棱长为PC 所以所以选B
【点睛】本题考查了三视图的简单应用，空间中线段长度比较，属于基础题。 10.已知抛物线
的准线过双曲线
（
，
）的左焦点，且与双曲线交于
，两点，为坐标原点，且A. 【答案】D 【解析】 试题分析：抛物线
，从而
，解得
B.
的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
C.
D.
的准线方程为，把
代入
，所以双曲线
得
，所以
的左焦点的面积为
，所以离心率，故选D.
考点：抛物线的方程、双曲线的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了抛物线的方程、双曲线的简单几何性质，属于基础题.正确运用双曲线的几何性质是本题解答的关键，首先根据抛物线方程求出准线方程即得双曲线的焦点坐标，求出的值，由双曲线标准方程求得弦最后由离心率的定义求出其值.
11.一布袋中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（ ） A. 若C. 若
，则乙有必赢的策略 ，则甲有必赢的策略
B. 若D. 若
，则甲有必赢的策略 ，则乙有必赢的策略
的长，表示出
的面积，从而求得值，
【答案】A 【解析】 【分析】
乙若想必胜，则最后一次抓取前必须有1~3个球，根据试验法可得解。 【详解】若
，则乙有必赢的策略。
（1）若乙抓1球，甲抓1球时，乙再抓3球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球。
（2）若乙抓1球，甲抓2球时，乙再抓2球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球。
（3）若乙抓1球，甲抓3球时，乙再抓1球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球。 所以若所以选A
【点睛】本题考查了合情推理的简单应用，属于基础题。 12.已知函数
实数的取值范围是（ ） A. C. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据导函数判断有四个不同零点，则可知得t的范围。 【详解】因为当
，所以
在
时为单调递减函数 的单调区间和极值，结合函数
的两个值的取值范围，进而利用二次函数的图象及韦达定理求
B. D.
，又函数
有个不同的零点，则
，则乙有必赢的策略
当 所以当
，令，所以，所以时，在
在
在
解得
时为单调递增函数 时为单调递减函数，且
时取得最大值为
有四个零点，则
，一个在
令令因为所以只需
即
，则
即可满足
有两个不等式实数根，一个在
有两个不等式实数根，一个在 ，一个在
解不等式得
所以t的取值范围为所以选A
【点睛】本题考查了导函数的综合应用，函数零点的求法，复合函数及根分布的综合应用，属于难题。
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题） 13.若
，
，
，则，，的大小关系____
_____
____.
【答案】 (1). (2). (3). 【解析】 【分析】
根据微积分基本定理，依次求出各S的值，比较大小即可。 【详解】由微积分基本定理可知
，
，
，
所以
【点睛】本题考查了微积分基本定理的应用，属于基础题。 14.公比为【答案】 【解析】 【分析】 根据公比及
，可求出首项，然后求得
，
，代入即可求解。
的等比数列
的各项都是正数，且
，则
______.
【详解】等比数列各项都是正数，且公比为所以所以所以则
即
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及对数求值，属于基础题。 15.圆则【答案】【解析】 【分析】
根据题意，根据AB与圆相切且交外面的圆于A、B两点，由垂径定理及勾股定理，求得的大小，进而利用向量数量积即可求得解。 【详解】由题意，画出几何图形如下图所示：
的任意一条切线与圆____.
相交于
，
两点，为坐标原点，
设切点为P，则且所以因为所以
， ，则
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及性质，向量数量积的应用，属于基础题。 16.在实数集中定义一种运算“”，具有性质： （1）对任意（2）对任意（3）对任意
，，，
；
，则函数
的
；
最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】
通过赋值法，可得到一般性的结论，对解析式【详解】因为在（3）中，对任意令
，代入得
可得，化简可得
因为
，
化简，然后即可求得最小值。
由（1）中由（2）中所以
由基本不等式可得所以最小值为3
【点睛】本题考查了新定义的运算，考查了函数式的化简求值，基本不等式的用法，属于中档题。
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.某市规划一个平面示意图为如下图五边形为赛道（不考虑宽度），，
.
的一条自行车赛道，
，
，
，，
，
为赛道内的一条服务通道，
（1）求服务通道的长度；
最长？
（2）应如何设计，才能使折线段赛道【答案】（1）5（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）连接BD，在（2）在
中应用余弦定理求得BD，进而在应用勾股定理求得BE。
的
中，应用余弦定理表达出AB与AE的等量关系，再结合不等式求得
最大值即可。 【详解】（1）连接在
，
中，由余弦定理得：
.
， ，
，
又在（2）在
，中，中，
，
. ，
.
，
，
由余弦定理得即
故从而当且仅当即设计为
，即时，等号成立， 时，折线段赛道
， ，
最长.
【点睛】本题考查了余弦定理及应用余弦定理解三角形的应用，不等式的用法，属于基础题。 18.某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2020年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测该公司2020年3月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有，两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对，两种型号的新型材料对应的产品各新型材料使用寿命的频数统计如下表：
件进行科学模拟测试，得到两种
个月 使用寿命 材料类型 个月 个月 个月 总计
经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？ 参考数据：
，
.参考公式：回归直线方程为
，其中
.
【答案】（1）【解析】 【分析】
，预计甲公司2020年3月份的利润为百万元（2）见解析
（1）根据数据求得b、a即可得回归直线方程，代入预测月份对应的自变量x的值，即可得预测值。
（2）分别计算两种情况下的数学期望，比较大小即可得出结论。 【详解】解（1）由折线图可知统计数据即
，
，
，
，
，，
共有组，
，
计算可得
，
所以 ，
，
所以月度利润与月份代码之间的线性回归方程为
.
当时，.
百万元。
故预计甲公司2020年3月份的利润为
（2）由频率估计概率，每包型新材料可使用个月，个月，个月和个月的概率分别为.，
，
和
，
所以每包型新材料可产生的利润期望值
.
，，
由频率估计概率，每包型新材料可使用个月，个月，个月和个月的概率分别为和
，
所以每包型新材料可产生的利润期望值
.
所以应该采购型新材料。
【点睛】本题考查了应用回归方程分析实际问题，数学期望的求法，试题阅读量大，数据处理较为复杂，属于中档题。 19.如图所示，等腰梯形平面
，且
，的底角
，直角梯形.
所在的平面垂直于.
（1）证明：平面（2）点在线段值为
.
平面；
与平面
所成的锐二面角的余弦
上，试确定点的位置，使平面
【答案】（1）见证明；（2）见证明 【解析】 【分析】
（1）计算BD，根据勾股定理逆定理得出AB⊥BD，再根据ED⊥平面而AB⊥平面
，从而平面
平面
；
，求出两个平面的法向量，根据
得出ED⊥AB，故
（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，
法向量的夹角即可求得λ的值。 【详解】（1）证明：平面平面
平面， ，
，
，
，
，
，又
平面
平面
平面
，，， ，
的法向量为，
，，（
， ，平面
的法向量为，
，则
），
为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系
，
，
，
，
，
平面
，
，平面
平面
， ，
，
（2）解：以为坐标原点，以则则
，
设则设平面
，
，
，
，
令令
，得，得
即
.
的中点时，平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为
.
，
，
.
即点为线段
【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量求平面与平面夹角的应用，属于中档题。 20.已知、为椭圆
.
（1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的取值范围. 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）由椭圆的定义及点在椭圆上，代入椭圆方程可求得a、b，进而得椭圆的标准方程。 （2）设出A、B的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出得到关于k的不等式，解不等式即可得k的取值范围。 【详解】解：（1）由题可知
，解得
，
，代入
（2）
交椭圆于、两点，且原点在以线段
为直径的圆的外部，试求
（
）的左右焦点，点
为其上一点，且
所以椭圆的标准方程为：.
（2）设，由，
，得
由韦达定理得：由
，
得
为直径的圆外部，则
或
，
. ，
又因为原点在线段
，
即，
综上所述：实数的取值范围为
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，属于中档题。 21.函数（1）若（2）若（3）若
时，讨论函数时，不等式
，当
，其中，，为实常数
的单调性； 在时，证明：
(3)见证明
上恒成立，求实数的取值范围；
.
【答案】(1)见解析；(2) 【解析】 【分析】
（1）代入t的值，求得导函数，对a进行分类讨论，根据导数的正负确定单调区间即可。 （2）代入t的值，根据不等式分离参数，通过构造函数根据其单调性求得最大值即可得a的取值范围。 （3）要证明不等式成立，根据分析法得到只需证明数
成立即可。通过构造函
，再求
，
，利用导数研究其单调性与最值，根据最小值即可得证。
，
上单调递增； 时，
。时，
，
单调递增； ，
，
【详解】解（1）定义域为当
时，在定义域当当
时，
时，
，
单调递减； 的增区间为，减区间为
，
，
，无减区间； ；
对任意
恒成立.
综上可知：当当（2）即等价于
时，增区间为
令
在
.
，
，
上单调递增，
，
.故的取值范围为
（3）要证明即证令
在
且当当从而当
， 时时，时，，即
，
，，，即证明
.
，只要证
，只要证明
在
即可，
上是单调递增，
，
，
有唯一实根设为，
单调递减
单调递增
得：
取得最小值，由
，
故当
时，证明：
.
，
【点睛】本题考查了导数在函数单调性、最值中的综合应用，分离参数法、构造函数法的综合应用，属于难题。 22.在平面直角坐标系线
，
中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲
.
（1）以过原点的直线的倾斜角为参数，写出曲线的参数方程； （2）直线过原点，且与曲线，分别交于，两点（，不是原点）。求
的最大值.
【答案】(1) 圆的参数方程为，（为参数，且）(2)
【解析】 【分析】
（1）将圆的方程化为标准方程，根据倾斜角即可化为参数方程。
（2）将圆的方程化为极坐标方程，根据极坐标方程表示出【详解】解：（1）如图，即是以设
，
为圆心，为半径，且经过原点的圆，
，
，
即可求得最大值。
则，
由已知，以过原点的直线倾斜角为参数，则，而，
所以圆的参数方程为，（为参数，且）
（2）根据已知，的极坐标方程分别为故故当综上，
时，等号成立，
的最大值为
.
，
，其中
.
【点睛】本题考查了直角坐标方程和参数方程的转化，极坐标方程的应用，属于中档题。 23.已知对任意实数，都有（I）求实数的范围；
（Ⅱ）若的最大值为，当正数，满足【答案】(1) 【解析】 【分析】
(2)9
时，求
的最小值.
恒成立.
（1）根据绝对值三角不等式，代入即可求得m的取值范围。 （2）根据柯西不等式，代入即可求得【详解】解（1）对任意实数，都有又
（2）由（1）知
当且仅当
，
时取等号， ，由柯西不等式知：
的最小值。
恒成立，
的最小值为.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的应用，柯西不等式的用法，属于中档题。
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