2013年重庆一中高2015级高二上期半期考试

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2013年重庆一中高2015级高二上期半期考试

数 学 试 题 卷（理科）2013.11

数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：（每题5分，共计50分） 1、抛物线y21x的焦点到准线的距离为（ ） 2111A. B. C. D. 1

84211\"成立的（ ） x2、l1、l2是两条异面直线，直线m1、m2与l1、l2都相交，则m1、m2的位置关系是（ ）

A.异面或平行 B.异面 C.相交 D.相交或异面 3、\"x1\"是\"A. 不充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D.充要条件 4、对任意的实数t，直线tyx122与圆xy1的位置关系一定是（ ） 2A.相切 B. 相交且直线不过圆心 C.相交且直线不一定过圆心 D. 相离 5、（原创）已知高为2，底面边长为1的正四棱柱的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正

四棱的正视图的面积不可能等于（ ） ．．．

A. 21 B.2

C. 21

D. 22

6、给出以下命题：

(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；

(2)两条异面直线在同一个平面上的射影不可能平行；

(3)两个不重合的平面与，若内有不共线的三个点到的距离相等，则//； (4)不重合的两直线a,b和平面，若a//b，b，则a//。 其中正确命题个数是（ ） A．0 B.1 C.2 D.3

7、（原创）三棱锥D-ABC中，DA平面ABC，DA4，ABAC2,ABAC，E为BC中点，F为CD中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（ ）

A.

342342 B. C.  D. 666628、定长为6的线段AB的端点A、B在抛物线y4x上移动，则AB的中点到y轴的距离的最小值为（ ） A.6 B.5 C.3 D.2 D19、如图,长方体ABCD C1 A1 B1A1B1C1D1中,AB3,BC2,

PBB14,E为AD的中点,点P在线段C1E上,则点P到直

D E A C线BB1的距离的最小值为（ ） BA.2 B.10 C.

31025 D. 55x2y210.如图，椭圆221(ab0)的四个

ab顶点为

A1,A2，B1,B2，两焦点为F1,F2，若以F1F2为直径

的圆内切于菱形A1B1A2B2，切点分别为

A,B,C,D，

则菱形A1B1A2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2 的比值

S1（ ） S2515251 B．252 C． D． 222A．

二、填空题：（每题5分，共计25分） 11、已知sin4，则cos() 52x2y21上一点P到右焦点F的距离为8，则P到右准线的距离为 12、双曲线

41213、边长为4的正四面体PABC中， E为PA的中点，则平面EBC与平面ABC所成锐二

面角的余弦值为

14、已知正三棱锥PABC底面的三个顶点A、B、C在球O的同一个大圆上，点P在球面上，

如果VPABC3，则球O的表面积是 4x2y215、（原创）设F1,F2分别为双曲线221(a0,b0)的左右焦点，若在双曲线的右支

ab上存在一点P满足：①PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形；②直线PF1与圆

x2y2

12a相切，则此双曲线的离心率为 4三、解答题：（共计75分）

 （13分）（原创）已知双曲线的左右焦点F1，F2的坐标为（-4,0）与（4,0），离心率e2。 （1）求双曲线的方程；

x2y2 （2）已知椭圆1，点P是双曲线与椭圆两曲线在第一象限的交点，求

3620|PF1|•|PF2|的值。

D17、（13分）如图，DA平面ABC，BCAC，E、F分别 为BD与CD的中点，DA=AC=BC=2。 （1）证明：EF//平面ABC； （2）证明：EF平面DAC； （3）求三棱锥D-AEF的体积。

18、（13分）（原创）已知等差数列{an}满足：a1 B F E A Ca34，a2a36；等比数列{bn}满足：

b1b3b564，b3b416.

（1）求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）设cn

19、（12分）如图，在三棱柱ABC1bnx2an，若数列{cn}是递增数列，求实数x的取值范围. 4A1B1C1中，H是

正方形AA1B1B的中心，AA12，

CH平面AA1B1B，且CH3.

（1）求A1C与平面ABC所成角的正弦值；

（2）在线段A1B1上是否存在一点P，使得平面PBC平面ABC？若存在，求出B1P的长；

若不存在，说明理由.

20、（12分）在平面直角坐标系xoy中，F是抛物线C:y22px(p0)的焦点，圆Q过O

点与F点，且圆心Q到抛物线C的准线的距离为（1）求抛物线C的方程；

3. 2（2）过F作倾斜角为600的直线L，交曲线C于A，B两点，求OAB的面积；

（3）已知抛物线上一点M(4,4)，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MDME，判

断：直线DE是否过定点？说明理由。

x221、（12分）设双曲线C：y21的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线a与

2双曲线C交于不同的两点S、T。

（1）求直线A1S与直线A2T的交点H的轨迹E的方程；

（2）设A，B是曲线E上的两个动点，线段AB的中垂线与曲线E交于P，Q两点，直线l:x线段AB的中点M在直线l上，若F(1,0)， 求FPFQ的取值范围．

1，2

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数 学 答 案（理科）2013.11

一、选择题：

BDCBA ABDCC 二、填空题： 11、6174 12、4 13、 14、4 15、

335c222 a2,则bca12 a三、解答题： 16、（1）c4,2ex2y2轨迹方程为：1

412|PF1||PF2|12（2） 则|PF1|8,|PF2|4

|PF||PF|412|PF1||PF2|32

17、（1）证明：E,F为中点 EF//BC

DEF平面ABC，BC平面ABC EF//平面ABC

F（2）DA面ABCDABC

EBCAC BC平面DAC

又EF//BC EF平面DAC （3）VDAEFVEADF A C B1111SADFEF(21)1= 332318、（1）a1a32a24 a22 又a2a36 a33

d1， 则ann

64b1b3b5b3 b34

16b3b4b3(1q) q3，则bn43n3

3

（2）由（1）知：cn3n3x2n

数列{cn}是递增数列 cn1cn对任意的nN*恒成立 3n2x2n13n3x2n恒成立

即：23n313x2恒成立， 也即x42nn3恒成立

3y2x1 9n3213n313141是增函数 

49942min4219、如图，以点B1为坐标在原点建立空间直角坐标系 则B1(0,0,0),A1(2,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0),C(1,1,3) （1）AB(2,0,0),AC(1,1,3) 设平面ABC的一个法向量n(x,y,z)

z C1 C P B1 B H A ynAB02x0则即 令z1得n(0,3,1)

xy3z0nAC0设所求角为，A1C(1,1,3) 

法2、传统方法（体积法求出到平面的距离）

（2）假设存在点P，则 ， 设平面的法向量 则，即 令得 ，即，得

存在这样的点使得平面，且． 20、（1），

又 ，得 （2）设， 由 得： =

（3）设直线， 则 （*） 设，则

即 得：

x A1

即：或

带入（*）式检验均满足 直线的方程为： 或：

直线过定点（8，-4）.（定点(4,4)不满足题意，故舍去）

21、（1）设直线A1S与直线A2T的交点H的坐标为（x，y），，

由A1、H、S三点共线，得： ……③ 由A2、H、T三点共线，得 ： ……④ 联立③、④，解得 ∵在双曲线上，∴ ∴轨迹E的方程为:

（2） 由（1）知直线AB不垂直于x轴，设直线AB的斜率为k，M(，m) (m≠0)， A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由 得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)＝0， 则1＋4mk＝0，得： k＝–．

此时，直线PQ斜率为，PQ的直线方程为：．

即：．

联立 消去y，整理得 ． 又设，则：，．

令t＝1＋32m2， 点在椭圆内 ，

又

1＜t＜29，则． 所以，的取值范围为