实变函数论教案第四章

为了建立新的积分，我们已经对R中的一般集合定义了测度概念. 在本章中我们将定义可测函数的概念，讨论可测函数的性质. 我们会看到，可测函数类是包含连续函数类的一种范围相当广泛的函数类. 这个函数类对于四则运算是封闭的，而且对于极限运算也是封闭的. 我们还要讨论可测函数与连续函数的关系，从而进一步研究可测函数的结构. 最后研究可测函数的几种不同类型的收敛概念及其相互关系，使我们对可测函数有较深刻的理解.

n

§1 可测函数及其性质

教学目的：使学生了解可测函数的原始定义及等价命题，掌握其运算性质。 本节重点：可测函数的定义及性质，几乎处处的概念。

在本书引言中指出，定义新的积分需要研究什么样的函数f(x)，使得对任何实数a,b，点集{x:af(x)b}都有“长度”，即都是可测集.

可测函数的概念就是由此产生的. 因为本章讨论的函数可以取值，所以在给出可测函数概念之前，我们要介绍有限函数的概念和包含在内的实数运算的规定.

设ER，称f(x)是E上的有限函数，是说对任意的xE，函数值f(x)都是有限实数.

包含在内的实数运算作如下规定：

（i）()()，()()；

（ii）对任意的有限实数a，a()，a()； （iii）对任意的b0，c0，

nb，b()，

c，c()；

（iv）()()()()，

)()().   ()( 82

而()()，()()，()()，()()，认为是没有意义的. 0()在一般情况下，也是不允许的.

，，，，定义4.1.1 设f(x)是定义在可测集ER上的函数，如果对任何有限实数a，

nE[fa]{x:xE,f(x)a}都是可测集，则称f(x)为定义在E上的可测函数，或者说，f(x)在E上可测.

例1 区间[a,b]上的连续函数及单调函数都是可测函数.

证明 若f(x)是[a,b]上的连续函数，对任意的实数c，往证{x:f(x)c}是开集，任取x0{x:f(x)c}，则f(x0)c，由连续函数的保号性知，存在0，使得当

c}. 所以x0是x(x0,x0)时，有f(x)c，所以(x0,x0){x:f(x){x:f(x)c}的内点. 因此{x:f(x)c}是开集. 从而{x:f(x)c}是可测集，于是f(x)在E上可测.

若f(x)是[a,b]上的单调函数，不妨设f(x)是[a,b]上的单调增加函数，对任意的实数c. 当f(b)c时，{x:f(x)c}是空集，因而是可测集； 当cf(a)时，{x:f(x)c}[a,b]，也是可测集. 若f(a)cf(b)时，令x0inf{x:f(x)c}，则 当f(x0)c时，{x:f(x)c}[x0,b]； 当f(x0)c时，{x:f(x)c}(x0,b].

因此，当f(a)cf(b)时，{x:f(x)c}也是可测集. 综合以上，f(x)是[a,b]上的可测函数.

定理4.1.1 设f(x)是可测集ER上的函数，则（i），（ii），（iii），（iv）是等价的. （i）f是E上的可测函数；

（ii）对任何实数a，E[fa]是可测集；

n 83

（iii）对任何实数a，E[fa]是可测集； （iv）对任何实数a，E[fa]是可测集.

证明 （i）（ii），因为对任意的实数a，E[fa]1E[fa]. 所以f(x)若nn1在E上可测，则

1E[fa]是可测集，因而E[fa]是可测集. nn1（ii）（iii），因为对任意的实数a，E[fa]EE[fa]. 所以若E[fa]是可测集，则E[fa]EE[fa]是可测集.

（iii）（iv），因为对任意的实数a，E[fa]1E[fa]，所以若对任意的nn1实数a，E[fa]是可测集，则E[fa]1E[fa]是可测集. nn1（iv）（i）若对任意的实数a，E[fa]是可测集，则E[fa]EE[fa]是可测集，所以由可测函数定义知f是E上的可测函数.

在本节开头，我们曾提出什么样的函数f(x)，使得对任意的实数a,b，点集

{x:af(x)b}都是可测集.

有了可测函数的定义，我们有下面的结果：

若f是E上的可测函数，则对任何实数a,b(ab)，点集E[afb]是可测集. 反之，如果f是可测集E上的有限函数，若对任何实数a,b(ab)，点集E[afb]是可测集，则f是E上的可测函数.

证明 因为E[afb]E[fa]E[fb]，所以若f是E上的可测函数，则

E[fa]和E[fb]都是可测集，因而E[afb]是可测集.

反之，如果f是可测集E上的有限函数，若对任何实数a,b(ab)，E[afb]是可测集，则因为

84

E[fb]E[nbfb].

n1所以E[fb]E[nbfb]是可测集.

n1由定理4.1.1知f是E上的可测函数.

推论 设f(x)在ER上可测，则对任何实数a，E[fa]是可测集，E[f]及

nE[f]也是可测集.

证明 因为E[fa]E[fa]E[fa]，由于f在E上可测，由定理4.1.1知

E[fa]是可测集. 而

E[f]E[fn]；E[f]E[fn].

n1n1所以由定理4.1.1知E[f]和E[f]是可测集.

为了讨论R中一般可测集E上连续函数的可测性，我们给出R中一般点集E上连续函数的定义.

定义4.1.2 定义在ER上的实函数f(x)称为在x0E连续，是说，如果y0f(x0)有限，而且对于y0的任一邻域V，总存在x0的某邻域U，使f(UE)V. 即只要xE且

nnnxU时，就有f(x)V.

如果f(x)在E中每一点都连续，则称f(x)在E上连续. 定理4.1.2 可测集ER上的连续函数是可测函数. 证明 对任意的实数a，往证E[fa]是可测集.

设xE[fa]，由连续函数局部保号性，存在x的某邻域U(x)，使

nU(x)E令GE[fa. ]

xE[fa]U(x)，则

85

GE(xE[fa]U(x))ExE[fa](U(x)E)E[fa].

另一方面，显然有E[fa]G，因此E[fa]GE，所以E[fa]GE. 因此E[fa]是可测集，因而f(x)是可测函数.

定理4.1.3 （i）设f(x)是ER上的可测函数，则f(x)在E的任一可测子集E1上也可测；

（ii）设ER是至多可数个可测集{Ei}的并集，f(x)是E上的函数，则f(x)在E上可测的充分必要条件是f(x)在每个Ei上可测.

证明 （i）设E1E是可测集，因为对任意的实数a，E1[fa]E1E[fa]，所以E1[fa]是可测集，因而f(x)是E1上的可测函数.

（ii）必要性. 若f(x)在E上可测，由（i）知f(x)在每个EiE上可测. 充分性. 设f(x)在每个Ei上可测，因为对任意的实数a，E[fa]以E[fa]是可测集，因而f(x)在E上可测.

下面的定理说明可测函数类对四则运算是封闭的.

引理1 设f(x)与g(x)为E上的可测函数，则E[fg]与E[fg]都是可测集. 证明 因为E[fg]EE[fg]，所以只须证明E[fg]是可测集.

设x0E[fg]，则f(x0)g(x0)，存在有理数r，使f(x0)rg(x0)，即. x0[fr]E[gr]

反之，若存在有理数r，使x0E[fr]E[gr]，则x0E[fg]. 设有理数全体为{r}，则 1,r2,,rn,nnE[fa]，所

iiE[fg](E[frn]E[grn]).

n1 由f(x)和g(x)是可测函数，等式右端是可测集，所以E[fg]是可测集.

定理4.1.4 设f(x)和g(x)都是E上的可测函数，则下列函数都是E上的可测函数.

86

（1）af(x)，a为任意实数；（2）f(x)g(x)；（3）f(x)g(x)；（4）f(x)(g(x)0)；g(x)（5）|f(x)|.

证明 （1）当a0时，af(x)是常数函数，因而是连续数，所以是可测函数. 当a0cE[f],a0;a时，对任何实数c，E[afc]是可测集，所以af是E上的可测函数.

E[fc],a0.a（2）对任意的实数a，g(x)a是可测函数，这是因为对任意的实数c，

E[gac]E[gca].

由g是可测函数，E[gca]是可测集，因而g(x)a是可测函数.

这样，对任意的实数a，E[fga]E[fga]，g是可测函数，由（1）g是可测函数，由上面说明ga是可测函数，由引理1E[fga]是可测集，因此f(x)g(x)是E上的可测函数.

（3）先证f2(x)是E上的可测函数，对任意的实数a，有

E[fa]E[fa];若 a0;E[f2a]

a0,E,若 因而E[f2a]是可测集，所以f2(x)在E上可测. 而

1f(x)g(x)[(fg)2f2g2]，

2所以由（1），（2）及f2可测知f(x)g(x)是E上的可测函数.

（4）先证

1可测. 对任意的实数a， g 87

1E[g]E[g0],若a0; a

11E[a]E[g0]E[g], 若 a 0; ga

E[g0]E[g]若a0. 是可测集，所以

1f1f是可测函数，而f，由（3）是E上的可测函数. gggg（5）对任意的实数a，

E[fa][fa],a0; E[|f|a]E,a0.是可测集，所以|f(x)|是E上的可测函数.

n定义4.1.3 设ER是可测集，E1,E2,,Em是E的互不相交的可测子集，且

Ei1miE，C1,C2,,Cm是常数，则称E上的函数(x)Ci，xEi，i1,2,,m,是E上的简单函数.

显然有(x)Cii1nmEi(x). 其中Ei(x)是Ei的特征函数.

例6 可测集ER上的简单函数(x)是可测函数.

证明 设(x)是ER上的简单函数，(x)Ci，xEi，i1,2,,m. 对每一个

n1im，(x)在Ei上是常数函数，因而连续，所以可测. 即(x)在每一个Ei(1im)上都可测，由定理4.1.2的（ii），(x)在E下面讨论可测函数列的极限运算.

定义 设{fn(x)}是E上的可测函数列. 任取x0E，令

E上可测.

ii1nM(x0)sup{f1(x0),f2(x0),,fn(x0),}； m(x0)inf{f1(x0),f2(x0),,fn(x0),}.

称E上的函数M(x)和m(x)分别为{fn(x)}的上确界函数和下确界函数，记为

88

M(x)supfn(x)；m(x)inffn(x)，xE

nn定理4.1.5 E上可测函数列{fn(x)}的上确界函数M(x)和下确界函数m(x)都是可测函数.

证明 对任意的实数a，由于E[Ma]E[fn1na]，E[ma]E[fna]. 所

n1以E[Ma]和E[ma]都是可测集，因而M(x)和m(x)都是E上的可测函数.

定理4.1.6 设{fn(x)}是E上可测函数列，则F(x)limfn(x)和G(x)limfn(x)也

nn是E上的可测函数.

如果limfn(x)limfn(x)limfn(x)f(x)，则极限函数f(x)是E上的可测函数.

nnn证明 由于limfn(x)sup(inffm(x))，limfn(x)inf(supfm(x)).

nnmnnnmn由定理4.1.5，{mn(x)}{inffm(x)}是可测函数列，再由定理4.1.5，

mnF(x)limfn(x)sup{mn(x)}是E上的可测函数.

nn同理可证G(x)limfn(x)是E上的可测函数.

n设f(x)是E上的实函数，令

f(x),xE[f0]; f(x)max{f(x),0}xE[f0].0,xE[f0];0, f(x)max{f(x),0}xE[f0].f(x),

则f(x)和f(x)都是E上的非负函数，分别称为f(x)的正部和负部. 显然

f(x)f(x)f(x)，|f(x)|f(x)f(x).

当f(x)在E上可测时，f(x)和f(x)也在E上可测.

在实变函数中，经常遇到“几乎处处”的概念.

定义4.1.5 设E是可测集，P(x)是一个和E中的点x有关的命题.

如果除了E的一个零测度集外P(x)处处成立，则称P(x)在E上几乎处处成立. 记为

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P(x)a.e.于E.

这里的a.e.是英文almost everywhere的缩写.

例7 |tanx|a.e.于R；[0,1]上的Dirichlet函数D(x)0a.e.于[0,1].

例8 若函数列{fn(x)}在E上满足mE[fnf]0，则称{fn(x)}在E上几乎处处收敛于f(x)，记作limfn(x)f(x)a.e.于E.

n定理4.1.7 设f(x)和g(x)都是定义在可测集E上的函数. 若f(x)在E上可测，且fga.e.于E，则g(x)也在E上可测.

证明 设AE[fg]，则mA0. 由定理4.1.2的（i），f(x)在EA上可测. 而在

EA上g(x)f(x)，所以g(x)在EA上可测. 因为mA0，由例4知g(x)在A上可

测. 又由定理4.1.2的（ii），g(x)在E(EA)A上可测.

§2 叶果洛夫（EΓOPOB）定理

教学目的：使学生掌握叶果洛夫定理的内容及作用。 本节重点：叶果洛夫定理的应用。

在数学分析中，一致收敛是函数列很重要的性质，它能保证一个函数列尽管在给定的区间上不一致收敛，但只要在区间的某端去掉一个长度大于零但可以任意小的区间后，该函数列就能在剩下的区间上一致收敛了. 比如fn(x)xn在[0,1]上不一致收敛. 但是只要从[0,1]的右端点去掉任意小的一段成为[0,1]，则{fn}在其上就一致收敛了. 这一现象具有普遍的意义，叶果洛夫定理就揭示了这个规律.

定理4.2.1（EΓОРОВ，英文Egoroff，1869—1931俄国数学家）

设E是可测集，mE，fn(x)(nN)与f(x)是E上几乎处处有限的可测函数，且

{fn(x)}在E上几乎处处收敛于f(x). 那么，对任意的0，存在子集EE，使函数列{fn(x)}在E上一致收敛于f(x)，且m(EE).

90

证明 令EE[|f|]*E[|fn1n**则E是零测度集. 当有必要时可用EE|]，

代替E，所以在证明中不妨假定每个fn(x)(nN)与f(x)都在E上处处有限.

对任意的0，我们先构造E的子集E，使m(EE)，然后证明{fn(x)}在E上一致收敛于f(x).

设0，令EnEn()E[|fnf|]，则 当x0limEn时，fn(x0)f(x0)(n).

n事实上，由limEn的定义，若x0limEn，则有无穷多个En包含x0，即有正整数子列

nn{nk}，使x0Enk(k1,2,). 因此

|fnk(x0)f(x0)|，

所以

fn(x0)f(x0)(n)

由假设fn(x)f(x)a.e.于E，所以m(limEn)0. 记Fk()nE()(k1,2,)，

nnk则{Fk}是单调减少集列，且mFmE1nmE，由定理3.2.10，有

n1limmFkm(limFk)mFkmEnm(limEk)0， kkkk1k1nk所以对任意的0，有kN，使mFk().

特别，对任意的0以及正整数r，取1，，那么，必有kr，使2r2rmFkr(1)rN，，从而 rr2211mFkr(r)mFkr(r)r.

2r12r12r1设SFkr(r11)，EES，则m(EE)mS. 往证{fn(x)}在E上一致收r2 91

敛于f(x). 事实上，当xE时，xS，即对任意的rN，xFkr(1)，即当nkr时，2r1xEnE|fnf|r，此即当nkr，xE时，有

2|fn(x)f(x)|10(r)， 2r并且kr只与r，有关，与xE无关，因而{fn(x)}在E上一致收敛于f(x). 定理得证.

注1：定理中条件mE是不能去掉的.

1,x(0,n);例如，设E(0,)，在E上构造函数列fn(x) n1,2,

x[n,),0,那么，对任意的xE(0,)，有充分大的NxN，使得x(0,Nx)，于是当nNx时，fn(x)1，因此

limfn(x)f(x)1(0x).

n取1，则对任何可测集EE，若m(EE)，则在E上{fn(x)}不可能一致收敛于f(x)1. 事实上，由于m(EE)1，所以mE，于是集E无界. 取

01，对任意的正整数N，存在nN1和x0N1且x0E. 则 2|fn(x0)f(x0)||01|10.

所以在E上{fn(x)}不一致收敛于f(x).

注2：定理中的E与有关. 定理结论中的“对任意的0”不能改成“对于0”即在mE时，从fnfa.e.于E不一定能推出存在子集E0E，使得{fn(x)}在E0上一致收敛于f(x)，而m(EE0)0.

)fn(x)xn，xE,n1,2,，则对任意的xE，例如，设E(0,1，limfn(x)f(x)0. 对任一满足m(EE0)0的E0E，存在

n1xn(1,1)E0(n1,2,)，

n于是xnE0且11xn1，所以 n 92

11nfn(xn)xn(1)n(n)，

ne即limfn(xn)0，这说明在E0上{fn(x)}不一致收敛于f(x)0.

n

§3 可测函数的结构

教学目的：使学生熟悉可测函数与连续函数之间的关系。

本节重点：鲁津定理的内容及作用。

在本节，我们讨论可测函数与简单函数的关系，可测函数与连续函数的关系，得到用简单函数列逼近可测函数的定理和用连续函数刻画可测函数的鲁金（ЛУЗИH）定理.

1．可测函数与简单函数

我们知道简单函数是可测函数，由定理4.1.6知简单函数列{n(x)}的极限函数

f(x)limn(x)是可测函数. 我们要问，一个可测函数能否表示成一个简单函数列的极限函

n数呢？问答是肯定的.

定理4.3.1（可测函数与简单函数的关系）

设f(x)是E上的可测函数，则f(x)可以表示成一列简单函数{n(x)}的极限函数，即

f(x)limn(x). 而且还可以做到

n|1(x)||2(x)|

证明 （1）f(x)0情形.

设[t]表示不大于t的最大整数，则当t0时，有某个kN，使0ktk1，这样

2[t]2k[2t].

[2nt],0tn;当t0时，令n(t)2nn1,2,.

n,nt.往证n(t)具有如下性质： （i）n(t)n1(t)(n1,2,)；

93

（ii）limn(t)t.

n[2nt]2[2nt][2n1t]事实上，若tn，则n(t)nn1n1n1(t)；

2222n1[t][2n1t] 若ntn1，则n(t)nn1n1n1(t)；

22 若tn1，则n(t)nn1n1(t). （i）得证.

如果t，则n(t)n(n)；

如果0t，那么存在正整数N，使得Nt，从而当nN时，

[2nt][2nt]2nt1|n(t)t|nt0(n)， nn222所以limn(t)t. （ii）得证.

nk1kknn,当xEnf(x)n，k0,1,,n21；

令n(x)n(f(x))2 22n,当xE[fn].

由于f(x)0，由n的定义知n(x)为E上的简单函数，且由n的性质（i）与（ii）有

n(x)n1(x)(n1,2,)及limn(x)limn(f(x))f(x).

nn（2）一般情形

对于一般的可测函数f(x)，f(x)f(x)f(x).

因为f(x)和f(x)是E上的非负可测函数，由（1）知存在非负递增简单函数列{n(x)}和{n(x)}，使limn(x)f(x)，limn(x)f(x). 显然有

nnE[n0]E[f0]，E[n0]E[f0].

因为E[f0]E[f0]，所以E[n0]E[n0]. 因此n(x)和

则n(x)是E上的简单函n(x)可以作为某个函数的正部和负部. 设n(x)n(x)n(x)，

数，且对一切正整数n，有

94

|n(x)|n(x)n(x)n1(x)n1(x)|n1(x)|，

limn(x)limn(x)limn(x)f(x)f(x)f(x). 定理得证. nnn2．可测函数与连续函数

定理4.3.2 鲁金定理（ЛУЗИН，英文Lusin，1883—1950，俄国数学家）

设f(x)是E上几乎处处有限的可测函数，则对任意的0，存在闭集FE，使

m(EF)，而f(x)在F上连续.

证明 （1）f(x)是简单函数情形

设EE，各E是互不相交的可测集，当xE时，f(x)C(i1,2,,n). 对于

iniiii10，由于Ei(i1,2,,n)是可测集，存在闭集FiEi，使得

m(EiFi)令Fn,i1,2,,n.

F，则F是闭集，且

ii1nnnm(EF)mEiFi

i1i1n m(EiFi)

i1 m(EF)

iii1nn n

i1 

往证f(x)在F上连续. 事实上，任取x0F，存在1i0n，使x0Fi0，由各Fi互不相交，则x0F. 而F是闭集，所以xiiii0ii0i00C(Fi)且C(Fi)是开集，因此有x0的

ii0ii0i邻域U(x0)使U(x0)C(F). 即U(x)Fii0ii0，从而

95

nU(x0)FU(x0)FiU(x0)Fi0.

i1所以当xU(x0)F时，有

|f(x)f(x0)||Ci0Ci0|.

因而f(x)在x0连续. 由x0F是任意的，f(x)在F上连续. （2）f(x)是一般可测函数情形 （i）mE.

设f(x)是E上的可测函数,则由定理4.3.1,有简单函数列{n(x)}使limn(x)f(x).

n**由Egoroff定理，对任意的0，存在可测子集E0上一致收敛E，使{n(x)}在E0于f(x)，且m(EE0)*4.

**又因为存在闭集F0E0，使m(E0F0)**m(EF0)m((EE0)(E0F0)) ** m(EE0)m(E0F0)

4，所以

2

*由F0E0，{n(x)}在F0上也一致收敛于f(x).

由于每个i(x)也是F0上的可测函数，由情形（1）知，存在闭集FiF0，使i(x)在Fi上连续，且m(F0Fi)2i1(i1,2,).

令FF，则F是闭集，且FF.

i0i1由F0FF0F(Fii1i10Fi)，有

m(F0F)m(F0Fi)

i1 96

2i1i1

2

因为{n(x)}在闭集F上一致收敛于f(x)，且每个n(x)在F上连续，则极限函数

f(x)在F上连续，并且

m(EF)m(EF0)m(F0F)

2（ii）mE

n2.

设Si为R中开球S(0,i)，当i0时，S0.

令Ei(SiSi1)E(i1,2,)，那么SiSi1是R中互不相交左闭右开的球环且Ei是有界集，mEi，i1,2,. EnE.

ii1由（i）知存在闭子集FIEi，使得f(x)在Fi上连续且

m(EiFi)i令F2i(i1,2,).

Fi1i，则FE，f(x)在F上连续，且

m(EF)mEFi

i1 mEiFi

i1i1 m(EiFi)

i1 m(EF)

ii1i 2i1i

97



往证F是闭集. 任取x0F，则x0Rn，有唯一的kN，使x0SkSk1(k1). 因为

FkSkSk1

Fk1Sk1Sk2（k1时） Fk1Sk1Sk

由于各个(SkSk1)(k1,2,)互不相交，则x0Fk1且x0Fk1. 因为Fk1是闭集，

x0不是Fk1的聚点，所以有x0的某邻域U1(x0)，使U1(x0)Fk1，同理有x0的某邻域

，U2(x0)，使U2(x0)Fk1. 取U(x0)U1(x0)U2(x0)（且使U(x0)的半径小于1）则U(x0)Fk1，U(x0)Fk1，并且当ik时，U(x0)Fi.

因为x0F，所以存在点列{xj}FU(x0)，使xjx0(j)，而FFi1i，

由以上分析，当ik时，U(x0)Fi，所以{xj}Fk，x0是Fk的聚点. 而Fk是闭集，所以x0FkF. 这样FF，F是闭集. 综上定理得证.

鲁金定理还有另一种表达方式，这种形式的鲁金定理会经常用到.

定理4.3.3 设f(x)是ER上的几乎处处有限的可测函数，则对任意的0，存在闭集FE和在R上的连续函数g(x)，使得m(EF)，且对任何xF，g(x)f(x)，还有

supg(x)supf(x)，infg(x)inff(x).

xRxFxRxF证明 由鲁金定理（定理4.3.2），存在闭集FE，使f(x)在F上连续且m(EF). 以下将闭集F上的连续函数f(x)延拓成R上的连续函数.

由于F是闭集，所以F是从直线上挖掉至多可数个互不相交的开区间(ai,bi)所得到的集. 将f(x)在直线上挖掉的各个开区间(ai,bi)上按如下方式保持线性连续地延拓为g(x).

98

f(x),f(bi)f(ai)(xai),f(ai)g(x)biaif(a),if(bi),xF;x(ai,bi),ai,bi是有限的;

x(ai,bi),bi;x(ai,bi),ai这样g(x)是R上的连续函数，且满足当xF时g(x)f(x).

在各个(ai,bi)上，supg(x)max{f(，infg(x)min{f(ai),f(bi)}，从ai),fb(i)}而

supg(x)supf(x)，infg(x)inff(x). 定理得证.

xRxFxRxF鲁金定理的逆定理是成立的，也就是鲁金定理所述结论还是使函数成为可测的一个充分

条件，这个条件可以作为可测函数的定义.

定理4.3.4（鲁金定理的逆定理）

设f(x)是可测集E上的几乎处处有限的函数，若对任意的0，总有闭集FE，使f(x)在F上连续，且m(EF)，则f(x)是E上的可测函数.

证明 对任意的nN，存在闭集FnE，使f(x)在Fn上连续，且m(EFn)设F1. nFn1n，则F是可测集，且EFEFn,n1,2,，所以

m(EF)m(EFn)1,n1,2,. n)0，EF是零测度集，则f(x)在EF上可测. 由于因此m(EFE(EF)F，故只须证明f(x)在F上可测.

事实上，对任意的实数a，F[fa]F[fa]，对于任意的nNnn1，由于f(x)在

Fn上连续，所以f(x)在Fn上可测.

所以Fn[fa]是可测集(n1,2,). 因此F[fa]F[fnn1a]是可测集，这样

f(x)在F上可测. 因而f(x)在E上可测. 定理得证.

99

§4 依测度收敛

教学目的：使学生掌握依测度收敛的概念，以及依测度收敛与处处或者几乎处处收敛之间

的区别与联系。

本节重点：依测度收敛的定义及其与几乎处处收敛之间的关系。

定义4.4.1 设f，fn(nN)都是可测集E上的几乎处处有限的可测函数. 若对任意的0，有

limmE[|fnf|]0，

n则称函数列{fn}在E上依测度收敛于f，记为

fnf.

因为点集的测度是一个非负数，所以测度收敛是数列的收敛. 用“N”方式表述，就是：

设f，fn(nN)都是可测集E上的几乎处处有限的可测函数. 若 对任意的0和0，存在正整数N(,)，使当nN(,)时，有

mE[|fnf|].

则称函数列{fn}在E上依测度收敛于f.

在一般情况下，从函数列{fn}测度收敛未必能推出几乎处处收敛，反之亦然. 例1 测度收敛而处处不收敛的函数列. 取E(0,1]，将E二等分，定义两个函数：

11,x0,;2 f1(1)(x)0,x1,1.210,x0,;2 f2(1)(x)1,x1,1.2然后将(0,1]四等分，八等分等等，一般地，对每个n，将[0,1]2等分，作2个函数：

nn 100

fj(n)j1j1,xn,n;22j1,2,,2n. 0,xj1,j.nn22把{fj(n):n1,2,;j1,2,,2n}先按n，后按j的顺序逐个地排成一列：

f1(1),f2(1),,f1(n),f2(n),,f2(nn), （4.4.1）

fj(n)在这个函数列中是第N21222n1j2n2j个函数.

往证这个函数列是依测度收敛于零的. 事实上，对任意的0，E[|fj(n)0|]或是空集(1)，或是j1j,n(01). 所以 n22m(E[|fj(n)1|])1. n2由于当N2n2j时，必有n，所以

Nlimm(E[|fN0|])limm(E[|fj(n)0|])0，

n即

fj(n)0.

再证函数列（4.4.1）在(0,1]上的任何一点都不收敛.

事实上，对任何点x0(0,1]，不论n多么大，总存在j，使x0j1j,n，因而n22n)(n)fj(n)(x0)1，而fj(1(x0)0. 就是说，对任何x0(0,1]，在{fj(x0)}中必有两个子列，

一个恒为1，另一个恒为0，所以序列{fj(x0)}不收敛. 由x0(0,1]是任意的，所以序列4.4.1在(0,1]上任何点都不收敛.

例2 几乎处处收敛而不依测度收敛的函数列. 取E(0,)，作函数列

(n)1,x(0,n); fn(x)0,x[n,).n1,2, 101

对任何xE，存在nN，使nx，则fn,fn1,都是1. 因而limfn(x)1，xE.

n然而当取01时，E[|fn1|](n,)，而m(n,),n1,2,，所以

limmE[|fn1|](01).

n因而{fn}不依测度收敛于1.

尽管在一般情况下，几乎处处收敛和依测度收敛其中一种收敛不能蕴涵另一种收敛，但是它们还是有密切联系的，当把条件限制一下，它们之间的某种联系甚至是很深刻的. 下面的两个定理反映出它们之间的联系.

定理4.4.1（黎斯F.Riesz，1880-1956，匈牙利数学家） 设可测函数列{fn}在E上依测度收敛于函数f，则存在子列{fni}几乎处处收敛于f.

证明 对任何正整数i，取i11，，由fnf，存在正整数ni，使iii2211mE|fnif|ii,i1,2,，而且能做到使n1n2.

221为叙述方便，记EiE|fnif|i. 令Fk(EEi)，由于

2ik1EEiE|fnif|i，

2所以

1FkE|fnif|i,ik,k1,.

2往证{fni}在Fk(k1,2,)上收敛于f. 若xFk，则当ik时，有|fnif|任意的0，存在i0使

1. 对2i1，取Nmax{k,i0}，则当iN时，有 2i0|fni(x)f(x)|，

所以fni(x)f(x)(i)，又令F以下证明m(EF)0.

Fk1k，则在F上{fni}收敛f.

102

EFEFk(EFk)

k1k1 E(EEi)

k1ik (E(Ek1ikEi) ) E

ik1ikkEk lim对任何kN，有limEkkE，所以对任何kNiik，有

m(EF)m(limEk)mEi

kikik11(k1,2,) k1i22因此m(EF)0.

综上，{fni}在E上几乎处处收敛于f，定理得证.

定理4.4.2（勒贝格Lebesgue） 设mE，f,fn(n1,2,)都是E上几乎处处有限的可测函数. 且fnfa.e.于E，那么fnf.

证明 对任意的0，为叙述方便，记En()E[|fnf|],n1,2,. 对每个iN，令Fi()E()E[|fnnininf|].

令E1E[fnf]，AE[|f|]，AnE[|fn|].

 E0AAn(EE1)

n1则

103

mE0mAmAnm(EE1)0，

n1所以mE00.

往证

F()Eii10.

事实上，任取x0E0，则fn(x0),(n1,2,)和f(x0)都是有限实数，且

limfn(x0)f(x0)，

n所以对任意的0，存在i0，当ni0时，有

|fn(x0)f(x0)|，

因此x0Fi0()，所以x0由Fi()的定义，有

F()，这样F()Eiii1i10.

Fi1()ni1E()E()F(),i1,2,，

nnini因而{Fi()}是单调减少的可测集列，并且mF1()mE.

由定理3.2.10，有

limmEn()limmFi()m(limFi())mFi()mE00. iiniii1而对任何kN，Ek()En()，所以mEk()mEn()，令k，有

nknklimmEk()limmE[|fkf|]0，

kk因此fnf. 定理得证.

注：（1）本定理的条件mE是必不可少的，见例2.

（2）本定理说明，在mE的条件下，依测度收敛弱于a.e.收敛.

下面的定理说明，依测度收敛的极限函数在忽略不计一个零测度集上的函数值的意义下是唯一的.

定理4.4.3 设fn(x)f(x)，fn(x)g(x)，则f(x)g(x)a.e.于E.

104

证明 因为|f(x)g(x)|f|x()fkx()|fk|x(g)x(k)|,1,，2,所以对任何

nN，有

111E|fg|E|ffk|E|fkg|.

n2n2n因此

111mE|fg|mE|ffk|mE|fkg|.

n2n2n令k，有mE|fg|10，而 n1E[fg]E|fg|，

nn1从而

1mE[fg]mE|fg|

nn1 1 mE|fg|nn1 0 于是f(x)g(x)a.e.于E.

例3 设ER，f(x)是E上的几乎处处有限的可测函数，则存在R上的连续函数列

{gk}，使得limgk(x)f(x)a.e.于E.

k证明 因为f(x)在E上可测，由鲁金定理，对任何正整数n，存在E的闭子集En，使得m(EEn)1，同时存在R上的连续n(x)使得当xEn时，有n(x)f(x). 所以对任n意的0，成立E[|fn|]EEn，所以

mE|fn|m(EEn)因而

1,n1,2,， nlimmE[|fn|]0，

n 105

m于是nf.

由F.Riesz定理，存在{n}的子列{nk}，使limnk(x)f(x)a.e.于E.

k记nk(x)gk(x)，则命题得证.

106