山东省济南市2021-2022学年度高考第一次模拟考试数学(文)试题及答案解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A{x|x2x30}，B{1,1}，则AA．{1} B．{1,1,3} C．{3,1,1} D．{3,1,1,3} 2.若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则（ ） A．命题p与命题q都是真命题 B．命题p与命题q都是假命题 C．命题p是真命题，命题q是假命题 D．命题p是假命题，命题q是真命题

3.欧拉公式eixcosxisinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x时，ei10被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，

2B（ ）

e4i表示的复数在复平面中位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.下列曲线中离心率为

22的是（ ） 3x2y2x2x2y2x221 B．y1C．1 D．y21 A．9899895.若sinAA．

72A，,，则sinA的值为（ ） 410434343B．C．或D． 55554xy406.已知变量x，y满足约束条件2x2，若z2xy，则z的取值范围是（ ）

y1A．[5,6) B．[5,6]C．(2,9) D．[5,9] 7.将函数f(x)cos2xA．为奇函数，在0,4的图象向左平移

个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)（ ） 83,上单调递增 884上单调递减 B．为偶函数，在C．周期为，图象关于点3,0对称 D．最大值为1，图象关于直线x对称

288.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则PAC在该正方体各个面上的正投影可能是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 9.函数yx1的图象大致为（ ） ex

A． B． C． D． 10.执行如图所示的程序框图，当输入i2018时，输出的结果为（ ）

A．-1008 B．1009 C．3025 D．3028

x2y21的两条渐近线是l1，l2，点M是双曲线C上一点，若点M到渐近线l1距离11.已知双曲线C：94是3，则点M到渐近线l2距离是（ ） A．

1236 B．1 C． D．3 1313x12. 设x1，x2分别是函数f(x)xa和g(x)xlogax1的零点（其中a1），则x14x2的取值范围

是（ ）

A．[4,) B．(4,) C．[5,) D．(5,)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a，b满足b5，2ab53，ab52，则a．

14.如图，茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩（单位：环），则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为．

15.在平面四边形ABCD中，AC90，B30，AB33，BC5，则线段BD的长度为． 16.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.

217.记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn2nn，nN*.

（1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn1，求数列{bn}的前n项和Tn. anan118.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD//BC，ABBC别为线段AD，PB的中点.

1AD，E，F分2

（1）证明：PD//平面CEF；

（2）若PE平面ABCD，PEAB2，求四面体PDEF的体积.

19. 2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指

标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.

表1：设备改造后样本的频数分布表 质量指标值 频数 [15,20) 4 [20,25) 36 [25,30) 96 [30,35) 28 [35,40) 32 [40,45] 4 （1）完成下面的22列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；

合格品 不合格品 合计 设备改造前 设备改造后 合计 （2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较； （3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损 100元，用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？ 附：

P(K2k0) 0.150 2.072 0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 k0 2n(adbc)2K

(ab)(cd)(ac)(bd)20.如图，在平面直角坐标系xOy中，点M(2,1)在抛物线C：xay上，直线l：ykxb(b0)与抛

2物线C交于A，B两点，且直线OA，OB的斜率之和为-1.

（1）求a和k的值；

（2）若b1，设直线l与y轴交于D点，延长MD与抛物线C交于点N，抛物线C在点N处的切线为n，记直线n，l与x轴围成的三角形面积为S，求S的最小值. 21.设函数f(x)x21alnx2，aR. xx（1）讨论f(x)的单调性；

（2）当a0时，记f(x)的最小值为g(a)，证明：g(a)1.

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

1x1t2在直角坐标系xOy中，过点P(1,2)的直线l的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，xy23t2轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin. （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C相交于M，N两点，求23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f(x)2x2x2. （1）求不等式f(x)6的解集；

（2）当xR时，f(x)xa恒成立，求实数a的取值范围.

11的值. PMPN济南市高三教学质量检测 文科数学参考答案

一、选择题

1-5: CDCDB 6-10: ADBCB 11、12：AD 二、填空题 13.

56420 14. 2 15.27 16. (,) 333三、解答题

217.解：（1）由Sn2nn，得

当n1时，a1S13；

2当n2时，anSnSn12n2n2(n1)(n1)4n1.

所以an4n1. （2）bn11111()，

anan1(4n1)(4n3)44n14n3所以Tn1111111[()()()] 4377104n14n3111n. ()434n312n918.（1）证明：连接BE、BD，BD交CE于点O， ∵E为线段AD的中点，AD//BC，BC∴四边形BCDE为平行四边形， ∴O为BD的中点，又F是BP的中点， ∴OF//PD，

又OF平面CEF，PD平面CEF， ∴PD//平面CEF.

（2）解法一：由（1）知，四边形BCDE为平行四边形，∴BECD， ∵四边形ABCD为等腰梯形，AD//BC，ABBC1ADED，∴BCED， 21AD， 2∴ABAEBE，∴三角形ABE是等边三角形，∴DAB做BHAD于H，则BH3，

3，

∵PE平面ABCD，PE平面PAD，∴平面PAD平面ABCD，

又平面PAD平面ABCDAD，BHAD，BH平面ABCD，

∴BH平面PAD，∴点B到平面PAD的距离为BH3，

又∵F为线段PB的中点，∴点F到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离的一半，即h又SPDE3，21PEDE2， 21331. SPDEh23233∴VPDEF解法二：CD//BE，CD平面BEP，BE平面BEP，∴CD//平面BEP， ∴点D到平面BEP的距离等于点C到平面BEP的距离，

做CTBE于点T，由BCBEEC，知三角形BCE是等边三角形，∴CT3， ∵PE平面ABCD，PE平面BEP，∴平面BEP平面ABCD， 又平面BEP平面ABCDBE，CTBE，CT平面ABCD，

∴CT平面BEP，∴点C到平面BEP的距离为CT3， 又F为线段PB的中点，∴SPEF∴VPDEF11SPBEPEBE1， 24131. SPEFCT1333318.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD//BC，ABBC别为线段AD，PB的中点. （1）证明：PD//平面CEF；

（2）若PE平面ABCD，PEAB2，求四面体PDEF的体积. 19.解：（1）根据图1和表1得到22列联表：

合格品 不合格品 合计 设备改造前 172 28 200 设备改造后 192 8 200 1AD，E，F分2合计 364 36 400 将22列联表中的数据代入公式计算得： n(adbc)2400(172828192)2K12.21.

(ab)(cd)(ac)(bd)200200364362∵12.216.635，

∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.

（2）根据图1和表1可知，设备改造后产品为合格品的概率约为

19296，设备改造前产品为合格品的200100概率约为

17286；即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好. 200100（3）用频率估计概率，1000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品，

18096010040168800，所以该企业大约获利168800元.

20.解：（1）将点M(2,1)代入抛物线C：xay，得a4，

2x24y，得x24kx4b0， ykxb设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1x24k，x1x24b，

解法一：kOAkOB1212xxy1y241421(x1x2)，

x1x2x1x24由已知得

14k(x1x2)1，所以1，k1. 44kx1bkx2bb(x1x2)4kb2k2kk， x1x2x1x24b解法二：kOAkOB由已知得k1.

（2）在直线l的方程yxb中，令x0得D(0,b)，kDM直线DM的方程为：y11b， 21b(1b)x(x2)，即yb， 22(1b)xyb2由，得x2(1b)x4b0， 2x24y解得：x2，或x2b，所以N2b,b2， 由x4y，得y21211x，y'x，切线n的斜率k(2b)b， 42222切线n的方程为：ybb(x2b)，即ybxb，

ybxb22b2由，得直线l、n交点Q，纵坐标yQ，

b1yxb在直线yxb，ybxb中分别令y0，得到与x轴的交点R(b,0)，E(b,0)，

2b2(2b3)12b22b31所以SREyQbb，S'，b(1,)，

(b1)22b1b12当b(1,)时，函数单调递减；当b(,)时，函数单调递增； ∴当b3232327时，S最小值为. 22

21.解：（1）f(x)的定义域为(0,)，

x22x22(x22)(xa)212a3， f'(x)12a(3)x2xx3xxx当a0时，f'(x)0，f(x)在(0,)上单调递增； 当a0时，当x(0,a)，f'(x)0，f(x)单调递减； 当x(a,)，f'(x)0，f(x)单调递增； 综上，当a0时，f(x)在(0,)上单调递增；

当a0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,)上单调递增. （2）由（1）知，f(x)minf(a)a即g(a)aalna211a(lna2)aalna， aaa1. a1121，lnag''(a)0，

a2a2a3a解法一：g'(a)1lna1∴g'(a)单调递减，

又g'(1)0，g'(2)0，所以存在a0(1,2)，使得g'(a0)0， ∴当a(0,a0)时，g'(a)0，g(a)单调递增； 当a(a0,)时，g'(a)0，g(a)单调递减； ∴g(a)maxg(a0)a0a0lna0111，又g'(a0)0，即2lna00，lna02， a0a0a0∴g(a0)a0a0112a，令t(a0)g(a0)，则t(a0)在(1,2)上单调递增， 0a02a0a0又a0(1,2)，所以t(a0)t(2)211，∴g(a)1. 解法二：要证g(a)1，即证aalna令h(a)lna1111，即证：1lna2， aaa111121，则只需证h(a)lna210， aaaa112a2a2(a2)(a1)， h'(a)2333aaaaa当a(0,2)时，h'(a)0，h(a)单调递减； 当a(2,)时，h'(a)0，h(a)单调递增； 所以h(a)minh(2)ln21111ln20， 244所以h(a)0，即g(a)1. 22.【解析】

1x1t2（1）由已知得：，消去t得y23(x1)，

y23t2∴化为一般方程为：3xy230， 即：l：3xy230.

曲线C：4sin得，4sin，即xy4y，整理得x(y2)4，

22222即：C：x(y2)4.

221x1t2（2）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程中得：

y23t213(t1)2(t)24，即t2t30， 22t1t21tt设M，N两点对应的参数分别为1，2，则，

tt312∴

PMPNtt211 1PMPNPMPNt1t2t1t2t1t2(t1t2)24t1t213.

3t1t223.【解析】

（1）当x2时，f(x)x4，∴f(x)6x46x2，故x2； 当2x1时，f(x)3x，∴f(x)63x6x2，故x； 当x1时，f(x)x4，∴f(x)6x46x10，故x10； 综上可知：f(x)6的解集为(,2][10,).

x4,x2（2）由（1）知：f(x)3x,2x1，

x4,x1【解法一】

如图所示：作出函数f(x)的图象，

由图象知，当x1时，1a3，解得：a2， ∴实数a的取值范围为(,2]. 【解法二】

当x2时，x4xa恒成立，∴a4， 当2x1时，3xxa恒成立，∴a2， 当x1时，x4xa恒成立，∴a2， 综上，实数a的取值范围为(,2].