机械工程控制基础练习题

一、传递函数

1、已知控制系统的结构图，如图T2.5所示，求系统的传递函数。

--Y(s)R(s)+++ G1G2-+

G3

+G4 +

G5

图T2.5 (a)

【解】：(a)：在图T2.5(a)中， 单个回路有：-G1，-G2，G4G5，-G1G2G4，-G1G3G4，其中两两互不接触回路有-G1与-G2，-G1与G4G5，-G2与G4G5，三个互不接触回路有-G1与-G2，G4G5 通道有：G1G2，G1G3，Δ1=1-G4G5，Δ2=1-G4G5

G

G1G2(1G4G5)G1G3(1G4G5)YR1G1G2G4G5G1G2G4G1G3G4＋G1G2－G1G4G5－G2G4G5－G1G2G4G5+-G3H3R(s)+-G1H1+-G2H2++Y(s) 图T2.5 (b)

【解】：(b)：在图T2.5(b)中，

单个回路有：-G1H1，-G2H2，-G3H3，其中两两互不接触回路有-G1H1与-G2H2，-G1H1与-G3H3，-G2H2与-G3H3，三个互不接触回路有-G1H1与-G2H2，-G3H3 通道有：G1G2，G3，Δ1=1+G3H3，Δ2=1+ G1H1+ G2H2+ G1H1G2H2 根据Mason公式，

GG1G2(1G3H3)G3(1G1H1G2H2G1H1G2H2)YR1G1H1G2H2G3H3G1H1G2H2G1H1G3H3G2H2G3H3G1H1G2H2G3H3 如果采用结构图化简，首先求各个负反馈回路的传递函数，然后根据串并联关系，得到下式，进一步的运算，不难得到与上式相同的结果。故结构图中回路互相不接触的情况，用结构图化简的方式比用Mason公式简单。如果回路都互相接触，则用Mason公式更简单。 G

G3G1G2Y R1G1H11G2H21G3H3-+-+G1+Y(s)+G2R(s)+- 图T2.5 (c)

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机械工程控制基础练习题

【解】：(c)：在图T2.5(c)中，

一共有5个回路，且两两互不接触，它们是：-G1， G2，-G1G2，-G1G2，-G1G2

有4条通道：-G1， G2，G1G2，G1G2，它们与所有回路都有接触，故Δ1=1，Δ2=1，Δ3=1，Δ4=1

根据Mason公式， GG2G1G1G2G1G2Y R1G2G1G1G2G1G2G1G2 最后得到， GG2G12G1G2

1G2G13G1G22、已知控制系统的结构如图T2.6，R(s)是设定输入，N(s)是扰动信号，求传递传递函数

Y(s)R(s)Y(s)和。 N(s)R(s)+N(s)G3-+--

G1+G2++Y(s)H1 图T2.6 (a)

【解】：(a)：在图T2.6(a)中，单个回路有：-G1G2H1，-G1G2，它们都互相接触。从R(s)到Y(s)的通道为G1G2，且与回路都有接触。从N(s)到Y(s)的通道为1和- G2G3，通道1与回路-G1G2H1不接触，故Δ1=1+G1G2H1，通道- G2G3对应Δ2=1。

G1G2Y(s) R(s)1G1G2H1G1G2Y(s)1G1G2H1G2G3 N(s)1G1G2H1G1G2N(s)

G4R(s)++-G1+-G2H1G3+-+Y(s) 图T2.6 (b)

【解】：(b)：在图T2.6(b)中，单个回路有：-G2H1，-G1G2，-G1G3，它们都互相接触。从R(s)到Y(s)的通道为G1G2和G1G3，Δ1=1，Δ2=1+G2H1。从N(s)到Y(s)的通道为-1和G4G1G2，Δ1=1+G2H1，Δ2=1。

Y(s)G1G2G1G3(1G2H1) R(s)1G2H1G1G2G1G3(1G2H1)G4G1G2Y(s) N(s)1G2H1G1G2G1G3第 2 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

3、已知系统的结构如图T2.7，求传递函数

Y(s)Y(s)Y(s)、、。 R1(s)R2(s)R3(s)G2R3(s)＋－＋＋＋＋－R1(s)R2(s)＋－G1G3Y(s)＋H2＋H1图T2.7

【解】：在图T2.7中，单个回路有：- G1G3H1，- G2G3H1，- G3H2，- G3，它们都互相接触。从R1(s)，R2(s)，R3(s)到Y(s)的通道与回路都有接触。

G1G3G2G3Y(s) R1(s)1G1G3H1G2G3H1G3H2G3G1G3G2G3Y(s) R2(s)1G1G3H1G2G3H1G3H2G3G3Y(s) R3(s)1G1G3H1G2G3H1G3H2G3

4、已知系统的结构如图T2.8，求传递函数

Y1(s)Y2(s)Y1(s)Y(s)、、、2。 R1(s)R1(s)R2(s)R2(s)Y1(s)-R1(s)+G1G3G4++R2(s)+-G2++Y2(s) 图T2.8

【解】：在图T2.8中，单个回路有：- G1，- G2， G3G4，其中两两互不接触回路有- G1与- G2。从R1(s)到Y1(s)的通道与- G2不接触，从R2(s)到Y2(s)的通道与- G1不接触。

Y1(s)G1(1G2) R1(s)1G1G2G3G4G1G2

G3Y2(s) R1(s)1G1G2G3G4G1G2Y1(s)G4 R2(s)1G1G2G3G4G1G2

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机械工程控制基础练习题

Y2(s)G2(1G1) R2(s)1G1G2G3G4G1G2二、判稳及时域参数求解

1、 已知控制系统的特征方程，判别系统是否稳定性。

(1)s6s30 (2)s4s6s1000 (3)s6ss17s60 【解】：(1)二阶系统特征方程的系数全为正，系统稳定。

(2)三阶系统特征方程的系数全为正，但中间两项系数乘积小于首末两项系数乘积，

即461100，系统不稳定。

(3)系统特征方程的系数有负号，系统不稳定。

2、已知系统的闭环传递函数表达式如下，试判断系统的稳定性。

(1)M(s)232432s110(s4) (2) M(s)232(s2)(s9)s5ss(3)M(s)k(s7)5 (4) M(s)232s5s6s3s2s132【解】：(1)系统特征多项式s5ss，缺项（无常数项），系统不稳定。 (2)系统特征多项式(s2)(s9)，特征方程有虚轴上的根，系统不稳定。 (3)系统特征多项式s5s6，二阶系统的系数全为正，系统稳定。 (4)系统特征多项式s3s2s1，系数有负号，系统不稳定。

3、已知控制系统的特征方程如下，试用Routh稳定判据判别系统的稳定性。若系统不稳定，

清指出位于右半s平面的根的个数；如有对称于s平面原点的根，清求其值。

(1)s2s3s4s50 【解】： Routh表

4323222s4 s3 s s1 s0

21 2 23141 23 4 25105 25 0 0 0 0 1425－6 10 0 5 第 4 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

第一列符号改变两次，有两个根在右半平面，系统不稳定。 (2)s7s25s42s300 【解】：Routh表

432s4 s3 21 7 25 42 30 0 0 30 0 0 0 0 72514219 s 7s1194273030.95 19s0 30

Routh表中第一列元素全部大于零，系统是稳定的。 (3)s2s2s4s11s100 【解】：Routh表

5432s5 s4 s3 s2 s1 s0 41 2 0 122 4 6 10 0 0 1211 10 0 0 0 0 12 6 10 Routh表第一列的为很小正数，个正根在右半平面，系统不稳定。 (4) s4s8s8s7s40 【解】：Routh表 5432是一个很大的负数。第一列两次变号，有两

s5 s4 1 4 8 8 7 4 第 5 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

s3 s2 s1 s1 s0 481847146 6 4468464 60 0 0 0 0 →辅助多项式，4s2＋4

求导

4 0 0 0 0 8 4 ←构造新行，8s

在Routh表中s1行全为零的情况，可由前一行s2得到辅助多项式，然后对辅助多项式求导，得到的数据，构造新得行，代替全为零的行，将Routh表继续计算下去。改造后的Routh表的第一列系数符号没有变化，系统没有在s平面右半平面的特征根。

辅助方程的根也是原特征方程的根，4s44(sj)(sj)＝0，辅助方程有一对根为±j，故系统有一对根在虚轴上，系统不是渐近稳定，也不是工程意义的稳定。

4、设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试确定使系统稳定的k值范围。

(1)G0(s)2k

s(s2)(s2s1)2432【解】：特征多项式，s(s2)(ss1)k＝s3s3s2sk

s4 1 3 33127 33(7/3)23k92k 7/373 2 k 0 0 k 0 0 s3 s2 s1 s0 k 92k0，k>0， 由Routh表的第一列，可以得到系统稳定的条件是，

7因此，系统稳定的k值范围为，

14k0 9第 6 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

(2)G0(s)k(s1)

s(s1)(s5)32【解】：特征多项式，s(s1)(s5)k(s1)＝s4s(k5)sk

s3 s2 s1 s0 1 4 4(k5)1k3k20 44k-5 k 0 0 k 由Routh表的第一列，可以得到系统稳定的条件是，3k200，k>0，

20 因此，系统稳定的k值范围为，k

3(3)G0(s)k(0.5s1) 2s(s1)(0.5ss1)【解】：特征多项式，

s(s1)(0.5s2s1)k(0.5s1)＝0.5s41.5s32s2(10.5k)sk

s4 0.5 1.5 1.520.5(10.5k)10k 1.561.5k105k0.5k2(10.5k) (10k)/610k2 1+0.5k k 0 0 k 0 0 0 0 s3 s s s0 12k 由Routh表的第一列，系统稳定的条件是，k>0，10k20，105k0.5k20

由第3个不等式可得到二次方程，105k0.5k＝0，其根为-11.7和1.7，当k在

-11.7～1.7区域内，105k0.5k2表达式值为正；k在-11.7～1.7区域外时，表达式值

为负。因此，系统稳定的k值范围为，1.7k0

5、已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，当输入信号分别为r(t)=1(t)和 r(t)=t第 7 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

时，试求系统的稳态误差。 (1) G0(s)20

(0.1s1)(0.2s1)【解】：首先判断系统得稳定性。系统得特征方程为，(0.1s1)(0.2s1)200，由Routh判据可知，系统稳定。系统为0型系统，K=20。 静态位置误差系数为，KplimG0(s)K20

s0 静态速度误差系数为，KvlimsG0(s)0

s0 当输入信号为r(t)=1(t)时，ess11

1Kp21 当输入信号为r(t)=t时，ess1 Kv(2)G0(s)200

s(s2)(s10)【解】：首先判断系统得稳定性。系统得特征方程为，s(s2)(s10)2000，即，

s312s220s2000，由Routh判据可知，系统稳定。系统为Ⅰ型系统，K=10。

静态位置误差系数为，KplimG0(s)lims0s0s0K s 静态速度误差系数为，KvlimsG0(s)10 当输入信号为r(t)=1(t)时，ess10

1Kp 当输入信号为r(t)=t时，ess110.1 Kv10(3)G0(s)5(3s1) 2s(2s1)(s2)2【解】：首先判断系统得稳定性。系统得特征方程为，s(2s1)(s2)5(3s1)0，即，

2s45s32s215s50。由Routh表

第一列符号改变两次，有两个根在右半平面，系统不稳定。因此，系统不存在稳定状态，也不存在稳态误差。

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机械工程控制基础练习题

s4 2 5 522154 54155585 442 15 5 0 0 5 0 0 0 0 s3 s2 s1 s0 5 6、已知闭环系统的传递函数如下，试确定系统的闭环极点的位置，并求单位阶跃响应的超调量σ%(如果无超调，则σ%＝0)和调整时间ts。 (1)G(s)1

0.1s1110，故σ%＝0， 0.110.4s p1【解】：系统是1阶系统，系统极点为，p1 单位阶跃响应的调整时间，ts4T4(2)G(s)4 2s2s42【解】：系统是2阶系统，由特征多项式s2s4，得n＝2，＝0.5，

12 单位阶跃响应的超调量 %e 单位阶跃响应的调整时间 ts(3)G(s)0。521（0。5）＝e＝0.163＝16.3％

4n4＝4s 0.5216

s26s162【解】：系统是2阶系统，由特征多项式s6s16，得n＝4，＝0.75，

12 单位阶跃响应的超调量 %e 单位阶跃响应的调整时间 ts(4)G(s)0。7521（0。75）＝e＝0.028＝2.8％

4n4＝1.33s

0.7541 2s4【解】：系统是2阶系统，由特征多项式s24，得n＝2，＝0，系统为无阻尼状态，这时，%100％，系统的单位阶跃响应呈正弦变化，不可能趋于一个恒定的稳态值，因此，不能定义调整时间。

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机械工程控制基础练习题

7、设单位反馈二阶系统的阶跃响应曲线如图T3.1所示，确定此系统的开环传递函数。 y(t) 54

000.4t/s

图T3.1

解：由图T3.1可知，超调量%54100%25％，到达峰值时间tP0.4s， 4R(s)+-2ns(s2n)12 由 %e tp＝25％，可得0.4

2Y(s)n10.4，可得n8.585

2n73.7 系统的开环传递函数，G0(s)

s(s2n)s(s6.868) 从图T3.1看，该二阶系统的输入是r(t)=4(t)，是一个阶跃输入，而不是单位阶跃输入。

8、已知控制系统的结构如图T3.2(a)所示，系统的单位阶跃响应如图图T3.2(b)所示。试确定参数k1、k2和T的值。 y(t)

6 5Y(s)R(s)k2+ k1s(Ts1)-

0 00.6t/s (a) (b) 图T3.2

【解】：由图T3.2(b)可知，超调量%65100%20％，到达峰值时间tP0.6s， 512 %e tp＝25％，可得0.4037

0.6，可得n5.723

n122n32.757.09 系统的开环传递函数，G0(s)

s(s2n)s(s4.62)s(0.216s1) 对应图T3.2(a)，K2＝7.09,T0.216

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机械工程控制基础练习题

图T3.2(a)的输入为单位阶跃输入，对应图T3.2(b)的响应，函数方框K1以后的输入为5倍单位阶跃输入，故K1＝5。 9、已知单位反馈控制系统的阶跃响应为， y(t)10[11.25e1.2tsin(1.6t53.10)]

求：(1)若系统的稳态误差ess = 0，求系统的闭环传递函数和开环传递函数；

(2)确定系统的阻尼系数ζ和自然振荡频率ωn； (3)求系统的超调量σ%和调整时间ts。 【解】：设系统是2阶系统，由2阶系统的单位阶跃响应表达式可以得到对应的参数， y(t)1112entsin(dt)

11－2＝1.25，n＝1.2，dn121.6，coscos53.10

显然，由上述4个公式可以计算阻尼系数ζ和自然振荡频率ωn是冗余的。 ＝0.6， n＝2

12 超调量 %e0。621（0。6）＝e＝0.095＝9.5％

R(s)+-2ns(s2n)4 调整时间 ts＝3.33s

n0.624Y(s)2n4 系统的开环传递函数，G0(s)

s(s2n)s(s2.4)2n4 系统的开环传递函数，G(s)2 22s2nsns2.4s410、已知一个系统的传递函数

1，试画出它的极点在s平面上的位置，并计算系统2ss1的单位阶跃响应的超调量σ％和调整时间ts。 根据以下传递函数的零极点位置，分析它们的单位阶跃响应的超调量σ％和调整时间ts相对于系统

1的变化趋势（不用计算时域响应曲线和计算超调量和调整时间）。

s2s111(1) 2 (2) 2

s0.7s14s2s111.2s1 (4)

(s2s1)(1.2s1)s2s12(3)

解：由系统的特征方程，ss10，可得n1，0.5，

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机械工程控制基础练习题

12 超调量 %e 调整时间 ts0。521（0。5）＝e＝0.163＝16.3％

1-0.52jj0.8664n4＝8s 0.510.5j0.866

0 特征根为，p1，2njn12 -j0.866(1)系统特征方程，s0.7s10，可得n1，0.35，p1， 20.35j0.937。系统的极点比

1更靠近虚轴，而离实轴更远。系统的单位阶跃响应的超调量σ％和2ss122调整时间ts都会增加。这个结论可以通过公式计算σ％和ts得到。

(2)系统特征方程，4s2s10，即s0.5s0.250，可得n0.5，0.5，

p1，20.25j0.433。系统的极点比

1更靠近虚轴，调整时间ts会增加。系统的

s2s1阻尼系数没有改变，0.5，因此，单位阶跃响应的超调量σ％基本保持不变。

1相同极点p1，0.833。由20.5j0.866，同时具有零点z1＝－2ss11于零点的影响，系统相对于2单位阶跃响应的超调量σ％会增加，系统响应变快，

ss1(3)系统具有与

故调整时间ts可能减少。

0.833。(4)系统的极点为p1，由于极点的影响，系统相对于20.5j0.866和极点p3＝－1单位阶跃响应的超调量σ％会减少，系统响应变慢，调整时间ts会增加。

s2s1

三、频域响应

1、已知控制系统的开环传递函数，试绘制其频率特性的极坐标图。 (1) G0(s)1

(s1)(5s1)00【解】：①特殊点：0时，G0(j0)10；时， G0(j)0180 ②变化趋势：当从0增加到∞时，G0(j)和G0(j)都单调递减变化。

Im0Im-10-10Re1Re0第 12 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

(2) G0(s)5

s(0.2s1)(0.05s1)00【解】：①特殊点：0时，G0(j0)90；时， G0(j)0270 ②变化趋势：当从0增加到∞时，G0(j)和G0(j)都单调递减变化。 系统特征方程，s(0.2s1)(0.05s1)50.01s0.25ss50

对于这个3阶方程，中间两项乘积大于首末两项乘积，即0.2510.015，故系统稳定。Nyquist图不包围(1,j0)点。

32(3) G0(s)2 2s(s1)(2s1)00【解】：①特殊点：0时，G0(j0)180；时， G0(j)0360 ②变化趋势：当从0增加到∞时，G0(j)和G0(j)都单调递减变化。

Im0Im0-100Re-10Re0(4) G0(s)10

s(0.2s1)(s1)00【解】：①特殊点：0时，G0(j0)270；时， G0(j)0270 ②变化趋势：当从0增加到∞时，G0(j)单调递减变化。相角变化可表达为，

G0(j)900arctan(0.2)[1800arctan()]2700arctan(0.2)arctan() 因为从0到∞的变化过程，始终有arctan(0.2)arctan()，故G0(j)在变化过程大于－2700。 (5) G0(s)2 2s(s1)00【解】：①特殊点：0时，G0(j0)180；时， G0(j)0270

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机械工程控制基础练习题

②变化趋势：当从0增加到∞时，G0(j)和G0(j)都单调递减变化。

Im0Im0-100Re-10Re0(6) G0(s)3(s3)

s(s1)00【解】：①特殊点：0时，G0(j0)270；时， G0(j)090 ②变化趋势：考虑从0增加到∞时，

11G0(j)900arctan()[1800arctan()]2700arctan()arctan()

33故在变化过程G0(j)为单调递增变化。 G0(j)主要受

1ssj这项因子的影响，所以表现为单调递减变化。

2、已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制其频率特性的极坐标图。

(1) G0(s)k

(T1s1)(T2s1)00解：①特殊点：0时，G0(j0)K0；时， G0(j)0180 ②变化趋势：当从0增加到∞时，G0(j)和G0(j)都单调递减变化。

Im0-10KRe (2) G0(s)k

s(T1s1)(T2s1)00【解】：①特殊点：0时，G0(j0)－90；时， G0(j)0270 ②变化趋势：当从0增加到∞时，G0(j)和G0(j)都单调递减变化。 系统特征方程，s(T1s1)(T2s1)K0 T1T2s(T1T2)ssK0

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3机械工程控制基础练习题

当T1T2KT1T2，即

11K0时，系统稳定，Nyquist图与横轴交点在-1右T1T2侧，当

11K时，系统不稳定，Nyquist图与横轴交点在-1左侧。 T1T2ImIm00-10-1Re0Re00系统稳定 系统不稳定

(3) G0(s)k(T3s1) ，式中T1>>T3，T2>>T3。

s(T1s1)(T2s1)00【解】：①特殊点：0时，G0(j0)－90；时， G0(j)0180 ②变化趋势：考虑从0增加到∞时，G0(j)和G0(j)的变化。 由于T1>>T3，T2>>T3，G0(j)单调递减变化，但G0(j)并不是单调变化。 由G0(j)900arctan(考虑T1>>T3，T2>>T3，T3)arctan(T1)arctan(T2) ，当从0变化时，G0(j)变化规律如下，

⑴ arctan(T1)和arctan(T2)首先分别达到450，这时arctan(T3)还远小于450，因此，G0(j)首先将从－900减小到小于－1800，Nyquist图进入2象限。

T3)超过450，这时该项相角变化很快，将使G0(j) ⑵ 随的继续增加，arctan(变为增加，而且可能大于－1800，使Nyquist图重新返回3象限。 ⑶ 在3象限，随的继续增加，G0(j)逼近－1800。

Im00Re0第 15 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

3、已知系统中的一个环节的传递函数如下，试绘制该环节的频率特性极坐标图，讨论T1>T2和T1T2s10【解】：①特殊点：0时，G(j0)10；时， G(j)T100 T2 ②变化趋势：考虑从0增加到∞时，G(j)和G(j)的变化。 G(j)arctaTn)arctaTn()， G(j)1j(2jT1j1T2j10

若T1T2，则arctan(T1j)arctan(T2j)，G(j)0，G(j)从1到

T11 T2T11 T2 若T1T2，则arctan(T1j)arctan(T2j)，G(j)0，G(j)从1到

ImIm0

00-101T1ReT20T1T21Re

T1T1 11

T2T2T1s1

T2s10(2) G(s)【解】：①特殊点：0时，G(j0)1180；时， G(j)T100 T2 ②变化趋势：考虑从0增加到∞时，G(j)和G(j)的变化。

G(j)arctan(T1j)[1800arctan(T2j)]1800arctan(T1j)arctan(T2j) G(j)T1j1T2j1

对于本题，无论T1T2，或T1T2，G(j)都从－1800单调递增到00。T1T2时，

G(j)从1单调递增到

T1T，T1T2时，G(j)从1单调递减到1。 T2T2第 16 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

ImIm00-101T1T2Re-10T11T2Re

T1T1 11

T2T24、已知控制系统的开环传递函数，试绘制其频率特性的极坐标图，并判断其闭环系统的稳

定性。 (1) G0(s)k

s(Ts1)00【解】：①特殊点：0时，G0(j0)－90；时， G0(j)0180 ②变化趋势：当从0增加到∞时，G0(j)和G0(j)都单调递减变化。 G0(s)的积分环节数r=1，Nyquist图在无穷远处顺时针绕原点1800，可得到如图的Nyquist图，包围(1,j0)点周数N ＝0。开环极点数n=0， N＝m－n，可以得到m =0，故系统稳定。

0

-1

0

(2) G0(s)ImIm000Re-10Rek

s2(s1)(0.5s1)00【解】：①特殊点：0时，G0(j0)180；时， G0(j)0360 ②变化趋势：当从0增加到∞时，G0(j)和G0(j)都单调递减变化。 G0(s)的积分环节数r=2，Nyquist图在无穷远处顺时针绕原点3600，Nyquist图包围

(1,j0)点周数N ＝2。开环极点数n=0， N＝m－n，可以得到m =2，故系统不稳定。

(3) G0(s)k(s5)

(s6)(s7)(s8)第 17 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

【解】：①特殊点：0时，G0(j0)5K1800；时， G0(j)01800 336 ②变化趋势：考虑从0增加到∞时，G0(j)和G0(j)的变化。

1111G0(j)arctan()arctan()arctan()[1800arctan()]5687

11111800arctan()arctan()arctan()arctan()5678 因为从0到∞的变化过程始终有关系，

arctan()arctan()arctan()arctan()

故在从0增加到∞变化过程，G0(j)大于－1800。 G0(j)单调递减变化。 Nyquist图的负频部分与正频对称。开环极点数n=0。Nyquist图包围(1,j0)点周数与交

151716185K5K有关。当1，K67.2，则N＝1， N＝m－n，可以得到m =2，故系统

3363365K不稳定；当 1，K67.2，则N＝0， N＝m－n，可以得到m =0，故系统稳定。

336点ImIm

5K 336 5K336

0-100-10ReRe

K67.2系统不稳定 K67.2系统稳定

(4) G0(s)k(Ts1) 3s00【解】：①特殊点：0时，G0(j0)270；时， G0(j)0180 ②变化趋势：当从0增加到∞时，G0(j)和G0(j)都单调变化。

G0(s)的积分环节数r=3，Nyquist图在无穷远处顺时针绕原点5400，Nyquist图包围

(1,j0)点周数N ＝2。开环极点数n=0， N＝m－n，可以得到m =2，故系统不稳定。

0Im-10Re0第 18 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

5、已知控制系统的开环传递函数如下，找出图T4.1所对应的频率特性极坐标图，并判断其闭环系统的稳定性。 (1) G0(s)kkk (3) G0(s)2 (5) G0(s)

(T1s1)(T2s1)(T3s1)s(Ts1)s(Ts1)(2) G0(s)

k(T2s1)kk (4) G0(s) (6) G0(s)

s(T1s1)(T2s1)s(T1s1)(Ts1)Im0ImIm0-10Re-10Re-10Re0 (a) (b) (c)

Im0Im0Im-10Re0-10Re-10Re (d) (e) (f)

图T4.1

【解】：根据开环传递函数积分环节数确定Nyquist图在无穷远处顺时针绕原点情况，完成

Nyquist图的封闭围线，从而确定N。再由传递函数表达式确定n，最后得到m。 Im0ImIm

000Re Re-1-1-10Re

0

(a)对应(1)，不稳定 (b)对应(2)，稳定 (c)对应(6)，稳定 N=2，n=0，m=2 N=0，n=0，m=0 N=－1，n=1，m=0

Im0

Im Im0

0Re0-1 00ReRe-1-1

(d)对应(3) ，不稳定 (e)对应(4)，稳定 (f)对应(5)，不稳定 N=2，n=0，m=2 N=－1，n=1，m=0 N=1，n=1，m=2

6、设控制系统开环频率特性极坐标图如图T4.2所示，试判断闭环系统的稳定性。图中，r为原点的开环极点数，n为位于右半平面的开环极点数。

第 19 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

ImImImIm0-1r = 0n = 10Re-10r = 0n = 20Re-1r = 1n = 200Re0-10r = 0n = 1Re(a) (b) 图T4.2

(c) (d) 【解】：(a)：开环传递函数没有积分环节r=0。负频部分与正频部分对称，用虚线表示，可得到如图的Nyquist图。 它包围(1,j0)点周数N ＝1。开环极点数n=1， N＝m－n，可以得到m = 2，故系统不稳定。

Im

00Re-1 r = 0n = 1

Im0-1r = 0n = 20Re(b)：开环传递函数没有积分环节r=0。Nyquist图包围(1,j0)点周数N＝－2。开环极点数n=2， N＝m－n，可以得到m = 0，故系统稳定。

(c)：开环传递函数积分环节数r=1，Nyquist图在无穷远处顺时针绕原点1800。Nyquist图包围(1,j0)点周数N＝－2。开环极点数n=2， N＝m－n，可以得到m = 0，故系统稳定。

ImIm0-1r = 1n = 200Re-1r = 0n = 10Re(d)：开环传递函数没有积分环节r=0。Nyquist图包围(1,j0)点周数N＝－1。开环极点数n=1， N＝m－n，可以得到m = 0，故系统稳定。

7、设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统的Bode图。其中幅频特性曲线画渐近线，相频特性曲线画草图。 (1) G0(s)10 2s1【解】：①低频段 转折频率以下 L(ω) = 20lg10 =20dB 斜率为0dB/dec ②转折频率 ω1＝0.5 ， 转折频率后斜率增加－20dB/dec 系统的开环相频特性低频段为00，高频段为－900。 L()dBL()dB

20 0dB/dec20-200.560-20dB/dec

00.011000.11 -40rad/s0.10.1250.51-20-20第 20 页 共 39 页

rad/s机械工程控制基础练习题

()度00-450-900()度0.51渐近线10rad/s00-900-18000.010.10.1250.51渐近线rad/s(2) G0(s)2

(2s1)(8s1)【解】：①低频段 转折频率以下 L(ω) = 20lg2 =6dB 斜率为0dB/dec ②转折频率 ω1＝0.125 ，转折频率后斜率增加－20dB/dec。

ω2＝0.5 ， 转折频率后斜率增加－20dB/dec，为－40dB/dec。 系统的开环相频特性低频段为00，高频段为－1800。 (3) G0(s)10

s(s1)(10s1)解：①低频段 ω＝1时， L(ω) = 20lg10 =20dB 斜率为－20dB/dec ②转折频率 ω1＝0.1 ， 转折频率后斜率增加－20dB/dec，为－40dB/dec ω2＝1， 转折频率后斜率增加－20 dB/dec，为－60dB/dec 系统的开环相频特性低频段为－900，高频段为－2700。 L()dBL()dB 80-2060-20dB/dec60

4040 34-4020 20-40dB/dec000.0110.10.167-8010rad/s 0.011-60dB/dec10rad/s0.1

()度 ()度100.10.1670.011100.11 00.01000rad/srad/s 0-900-90渐近线 渐近线-1800-1800 -27000 -180-3600(4) G0(s)50 2s(ss1)(6s1)【解】：①低频段 ω＝1时， L(ω) = 20lg50 =34dB 斜率为－20dB/dec ②转折频率 ω1＝0.167 ， 转折频率后斜率增加－20dB/dec，为－40dB/dec ω2＝1， 转折频率后斜率增加－40 dB/dec，为－80dB/dec 系统的开环相频特性低频段为－900，高频段为－3600。

(5) G0(s)10(0.2s1) 2s(0.05s1)【解】：①低频段 ω＝1时， L(ω) = 20lg10 =20dB 斜率为－40dB/dec ②转折频率 ω1＝5 ， 转折频率后斜率增加20dB/dec，为－20dB/dec

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机械工程控制基础练习题

ω2＝20，转折频率后斜率增加－20 dB/dec，为－40dB/dec 系统的开环相频特性低频段为－1800，高频段为－1800。 L()dBL()dB 6040-40 4020-20 2010dB205-2.5dB 0dB110100rad/s-20 -20-20-40

()度 ()度101102051000 00rad/s渐近线 -900-900

-1800-1800

(6) G0(s)5100-40100rad/s510渐近线100rad/s75(0.2s1)

s(s216s100)【解】：首先将开环传递函数化为时间常数表达式， G0(s)75(0.2s1)0.75(0.2s1) ＝22s(s16s100)s(0.01s0.16s1) ①低频段 ω＝1时， L(ω) = 20lg0.75=-2.5dB 斜率为－20dB/dec ②转折频率 ω1＝5 ， 转折频率后斜率增加20dB/dec，为0dB/dec

ω2＝10， 转折频率后斜率增加－40 dB/dec，为－40dB/dec 系统的开环相频特性低频段为－900，高频段为－1800 四、校正

1、设最小相位系统的开环传递函数如下，试绘制系统的幅频特性曲线（画渐近线），并判断系统的稳定性和计算系统的相角裕量和幅值裕量。

(1)G0(s)10100 (2)G0(s)

s(0.1s1)(0.25s1)s(0.2s1)(3)G0(s)5020 (4)G0(s)

(0.2s1)(s2)(s0.5)s(10s1)(0.25s1)(0.1s1)【解】：(1)：G0(s)100

s(0.2s1)①绘制幅频特性曲线，低频段，ω＝1时，L(ω) = 20lg100=40dB。转折频率ω1＝5，斜率增加20dB/dec。系统的幅频特性曲线如图所示。

②求穿越频率ωc，40(lgclg5)20(lg5lg1)40dB，故ωc=22.36。 ③求相角裕量，G0(j)100，在ωc=22.36的相位角为，

j(0.2j1)第 22 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

L()dB6040200-200.11-20-4040dB-20-40c510100rad/s0dB15c (c)90arctan(0.2c)167.4

相角裕量为， 180(c)12.6，系统稳定。

对于本题，因相频特性不超过－1800，即与－1800线没有交点，故不讨论幅值裕量。 【解】：(2)：G0(s)000010

s(0.1s1)(0.25s1)①绘制幅频特性曲线，低频段，L(ω) = 20lg10=20dB。转折频率ω1＝4，斜率增加20dB/dec。转折频率ω2＝10，斜率增加20dB/dec。系统的幅频特性曲线如图所示。

L()dB 20dB-2040 -20-40 200dB c1004c1rad/s0.14-40 1-20-60

②求穿越频率ωc，根据如图所示两个三角形，可以得到以下关系式， 40(lgclg4)20(lg4lg1)20dB， c6.32 ③求相角裕量，G0(j)010，在ωc=6.32的相位角为，

j(0.1j1)(0.25j1)0 (c)90arctan(0.1c)arctan(0.25c)179.96 相角裕量为， 180(c)0.04，系统稳定。 ④求幅值裕量，设相频特性曲线穿越－1800线时的频率ωg，可得 (g)90arctan(0.1g)arctan(0.25g)180 用试探法得近似解，ωg ≈6.325， 根据如图三角形，计算幅值裕量。 Kg40(lg6.325lg6.32)0.0137dB

0000c0dBgKg-40第 23 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

【解】：(3)：G0(s)5050 (0.2s1)(s2)(s0.5)(0.2s1)(0.5s1)(2s1)①绘制幅频特性曲线，低频段，L(ω)=20lg50=34dB。转折频率ω1＝0.5，斜率增加20dB/dec，ω2＝2，斜率增加20dB/dec，ω3＝5，斜率增加20dB/dec。系统的幅频特性曲线如图所示。

L()dB34dB -2040 0-2034-40 20-40 -60c100dB0 0.525c0.10.5125-60rad/s -20

②求穿越频率ωc，根据如图所示3个三角形，可以得到以下关系式， 60(lgclg5)40(lg5lg2)20(lg2lg0.5)34dB， c6.3 ③求相角裕量， G0(j)50，在ωc=6.3的相位角为，

(0.2j1)(j2)(j0.5)0 (c)arctan(0.2c)arctan(0.5c)arctan(2c)209.41 相角裕量为， 180(c)29.41，系统不稳定。 ④求幅值裕量，设相频特性曲线穿越－1800线时的频率ωg，可得

(g)arctan(0.2g)arctan(0.5g)arctan(2g)180 用试探法得近似解，ωg ≈3.7， 根据如图三角形，计算幅值裕量。 Kg60(lg6.3lg5)40(lg5lg3.7)11.25dB

000-40Kg0dB-60g5c【解】：(4)：G0(s)20

s(10s1)(0.25s1)(0.1s1)①绘制幅频特性曲线，低频段，L(ω) = 20lg20=26dB。转折频率ω1＝0.1，斜率增加20dB/dec。转折频率ω2＝4，斜率增加20dB/dec。转折频率ω3＝10，斜率增加20dB/dec。系统的幅频特性曲线如图所示。

②求穿越频率ωc，根据如图所示两个三角形，可以得到以下关系式， 40(lgclg0.1)46dB， c1.41

第 24 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

L()dB6046-2046dB-40-404020260-20-40c0.010.11410-60-80rad/s0dB0.1c③求相角裕量，G0(j)为，

20，在ωc=1.41的相位角

j(10j1)(0.25j1)(0.1j1)10c)arctan(0.25c)arctan(0.1c)203.39 (c)90arctan( 相角裕量为， 180(c)23.39，系统不稳定。 ④求幅值裕量，设相频特性曲线穿越－1800线时的频率ωg，可得

000010g)arctan(0.25g)arctan(0.1g)180 (g)90arctan(用试探法得近似解，ωg ≈0.54， 根据如图三角形，计算幅值裕量。 Kg40(lg1.41lg0.54)16.67dB

Kg0dB-4000gc2、已知单位反馈系统的开环传递函数，试分析k (k＞0)的变化对相角裕量的影响。 (1) G0(s)k

s(T1s1)(T2s1)【解】：系统的相频特性在K变化过程不会变化。故当K增加时，穿越频率c右移，这时相位欲量变小，甚至可能减小为负值，系统变为不稳定。相反，当K减少时，穿越频率c左移，相位欲量变大。 L()dB

40

20

0dB -20

()度

00

-900

-1800

-2700

K增加-20-401T1cc1T2-60rad/sc1T1c1T2rad/s渐近线第 25 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

(2) G0(s)k(Ts1) s2【解】：系统的相频特性在K变化过程不会变化，在本题中随穿越频率值增加，相位移减少，传递函数的相位欲量增大。故当K增加时，穿越频率c右移，这时相位欲量变大。相反，当K减少时，穿越频率c左移，频率减少，相位欲量变小。

L()dB -40K增加

20-20

c0dB rad/s1c-20T

()度 cc00 rad/s渐近线-900 -1800

3、设最小相位系统的开环幅频特性曲线（渐近线）如图T4.3所示，试确定系统的开环传递函数，求出系统的相角裕量，说明系统的稳定性。

L()dB L()dB4040-20

20-40 20-200dB800dB 10rad/s0.10.51rad/s12100 -201020-60-20-40

(a) (b)

L()dBL()dB-40-2040200dB40200dB-20-40100.1-201-40rad/s-200.112.5rad/s (c) (d)

图T4.3

【解】：(a)：①由开环幅频特性写传递函数。根据低频段的斜率为－20dB/dec，传递函数有1阶积分环节。根据转折频率和斜率的变化，传递函数有2个惯性环节，故可得， G0(s)K

s(T1s1)(T2s1) ②求时间常数。 T1111110.1 2 T22100.5第 26 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

③求K。 由题图0.5时，20lg

K20dB， 20lgK20lg10

K10， K100.55

5

s(2s1)(0.1s1) 系统的开环传递函数为， G0(s) 求穿越频率， 40(logclog0.5)20， 40log00c0.520， c1.58

0 相角裕量为，180(c)90－arctan(21.58)－arctan(0.11.58)8.58 故系统稳定。

【解】：(b)：①由开环幅频特性写传递函数。根据低频段的斜率为0dB/dec，传递函数没有积分环节。根据转折频率和斜率的变化，传递函数有2个惯性环节，故可得， G0(s)K

(T1s1)(T2s1)1111 0.5 T20.01252280 ②求时间常数。 T11 ③求K。 由题图系统的低频段有，20lgK20dB， K10 系统的开环传递函数为， G0(s) 穿越频率为，c20

相角裕量为，180－arctan(0.520)－arctan(0.012520)81.67

故系统稳定。

【解】：(c)：①由开环幅频特性写传递函数。根据低频段的斜率为－40dB/dec，传递函数有2阶积分环节。根据转折频率和斜率的变化，传递函数有惯性环节和比例微分环节，故可得， G0(s)0010

(0.5s1)(0.0125s1)k(T1s1) (4.24) 2s(T2s1)11110， T21 0.11 ②求时间常数。 T12 ③求K。 由题图0.1时，20lg

K220dB， 20lgK220lg10

K2＝10， K0.1210＝0.1

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机械工程控制基础练习题

系统的开环传递函数为， G0(s) 穿越频率为，c1

0.1(10s1) 2s(s1)11)arctan(101)39.29 相角裕量为， 180(c)－arctan( 故系统稳定。

【解】：(d)：①由开环幅频特性写传递函数。根据低频段的斜率为－20dB/dec，传递函数有1阶积分环节。根据转折频率和斜率的变化，传递函数有1个比例微分环节和2个惯性环节（题中未给定阻尼系数，可不按振荡环节处理），故可得， G0(s)00K(T1s1) 2s(T2s1)11 T2 ②求时间常数。 T111210.4 2.5 ③求K。 由题图1时，20lgK20dB， K10 系统的开环传递函数为， G0(s)10(s1) 2s(0.4s1) 求穿越频率， 40(logclog2.5)20， 40log00c2.520， c7.9

0 相角裕量为，180(c)90－2arctan(0.47.9)arctan(7.9)27.9 故系统稳定。

4、串联校正装置的传递函数分别如下，试绘制它们的Bode图（幅频特性画渐近性，相频特性画草图）,并说明它们是超前校正装置还是滞后校正装置。

(1) G(s)10s1

10s1j1

10j1【解】：G(j)10＝0时，G(0)10，在低频段，L()20lg1020dB；时，G(j)1，在

高频段，L()20lg10dB。转折频率10.1，21。串联校正装置是滞后校正装置。 L() 20 0dB

() 00-900dBL()dB0dB12510-200.1度-8+20度rad/s1rad/s-20()90000rad/srad/s第 28 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

(2) G(s)s2 s5j2

j5【解】：G(j)＝0时，G(0)0.4，在低频段，L()20lg0.48dB；时，G(j)1，

在高频段，L()20lg10dB。转折频率12，25。串联校正装置是超前校正装置。 (3) G(s)s0.05

s0.01j0.05

j0.01【解】：G(j)＝0时，G(0)5，在低频段，L()20lg514dB；时，G(j)1，在高

频段，L()20lg10dB。转折频率10.01，20.05。串联校正装置是滞后校正装置。 L()dB

20

14 0dB 0.01()度

00L()dB-200.052014+200.1rad/s0dB1()度900005rad/ss1

0.2s1rad/s-900rad/s(4) G(s)【解】：＝0时，G(0)1，在低频段，L()20lg10dB；时，G(j)5，在高频段，L()20lg514dB。转折频率11，25。串联校正装置是超前校正装置。

5、控制系统的结构如图T5.1所示，试选择控制器Gc(s)， 使系统对阶跃响应输入的超调量 σ％ ≤ 20％，调整时间ts ≤ 0.5s 。

R(s)Y(s)1+ Gc(s)s(0.1s1)-

图T5.1

【解】：① 校核原系统和绘制原系统根轨迹。

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机械工程控制基础练习题

G0(s)12 特征方程为，D(s)0.1s2s10，即，s10s100，

s(0.1s1)101.58，原系统为过阻尼系统， 2n n103.162，

%0，ts4n40.8s，

1.583.162 原系统的开环极点为p10，p210，作系统的根轨迹如图。原系统的两个极点在负实轴上，解方程s10s100，可得s11.13，s28.87。

j原系统原系统极点极点2p2-10-5p10② 计算期望主导极点位置。 超调量σ％ ≤ 20％，调整时间ts ≤ 0.5s

412n0.5s， n8 %e0.2， 0.45，63.20

故，期望主导极点位置，s1,28j15.8

63.2pp-8-100

-j15.8期望极点

③ 配置超前校正装置的零极点。

j15.8021期望极点js1期望极点cc2pcjj15.81p10zc-11-10p2-8s2-j15.8 取超前校正装置的零点为－11，则校正环节Gc(s)校正后的开环传递函数G0(s)为， Gc(s)kcs11s111(s)kc， G0

spcspcs(0.1s1) 根据相角条件求校正后的超前校正装置的极点。系统的根轨迹通过期望主导极点，因此

根轨迹相角条件应等于1800。如图所示有等式， 12cc180

即，(s10)s1(10)s1(pc)s1(11)180

00第 30 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

116.882.8c79.2180

得到超前校正装置极点－pc的相角c为， c300.40(59.60) pc000015.8817.3，超前校正网络极点坐标，－pc =－17.3。 0tan59.6 由幅值条件： kcs1111 得 kc = 32.2

s17.3s(0.1s1)s18j15.832.2(s11)

(s17.3) 因此，满足设计性能指标要求的串联超前校正装置的传递函数为， Gc(s)6、控制系统的结构如图T5.2所示，试选择控制器Gc(s)， 使系统闭环主导极点具有阻尼系

2数，自然振荡频率n42。

2

R(s)+-Gc(s)16s(s4)Y(s)图T5.2

【解】：① 校核原系统。 G0(s)16 D(s)s24s160，

s(s4)0.5，arccosarccos0.5600

n164， 42n 故，原系统主导极点位置，s1,22j3.46

j

j3.46原系统极点

600p2p1

-4-20

-j3.46原系统极点

② 计算期望主导极点位置。

j一个具有期望极点的2阶系统s142j4p2-8-4450p10s2-j4 系统期望闭环主导极点具有阻尼系数2，自然振荡频率n42， 2arccosarccos2450，则一个具有期望极点的2阶系统特征方程为，2第 31 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

D(s)s22242s(42)20，即 s28s320 2 期望主导极点位置，s1,24j4

(s) 一个具有期望极点的2阶系统开环传递函数为，G0③ 配置超前校正装置的零极点。可以采用“对消法”。

32

s(s8)(s) G0322(s4)16＝Gc(s)G0(s)

s(s8)(s8)s(s4) Gc(s)

2(s4)，很明显，这是一个超前校正装置。

(s8)7、控制系统的结构如图T5.3所示，Gc(s)为校正装置传递函数，用根轨迹法设计校正装置，使校正后的系统满足如下要求，速度误差系数kv ≥ 20，闭环主导极点n4，阻尼系数保持不变。

R(s)+-Gc(s)4s(s2)Y(s)图T5.3

【解】：①校核原系统。 G0(s)4 D(s)s22s40，

s(s2) n42， 22n0.5，arccos0.5600

原系统主导极点位置，s1,21j1.73 G0(s)42，原系统开环放大倍数K=2，故kv＝2。 s(s2)s(0.5s1) 为满足系统的性能指标要求，必须有 kv≥20，需提高开环放大倍数10倍。 j期望极点j3.46j

原系统极点2j1.73n＝4p2-2600-1p10p2600-1p10-4-3-2原系统极点-j1.73期望极点-j3.46第 32 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

② 采用“对消法”配置超前校正装置，满足系统的动态性能。 首先计算期望主导极点位置，为满足n4，0.5的要求，

期望特征方程为D(s)s24s160，期望主导极点位置，s1,22j3.46

(s)对应的2阶系统开环传递函数为， G016

s(s4)(s)Gc(s)G0(s)＝G04(s2)416 (s4)s(s2)s(s4)4(s2)

(s4)超前校正装置为， Gc(s)③ 配置串联滞后校正装置，满足系统的稳态误差要求。

期望主导极点的实轴坐标－2，则校正装置的零点坐标为－2／10＝－0.2。为满足稳态精度要求，需提高开环放大倍数10倍，因此，校正网络的极点坐标选为0.02。故滞后校正装置传递函数为， Gc(s)s0.2

s0.024(s2)(s0.2) (s4)(s0.02) 最后，系统的校正装置为， Gc(s)8、设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试用根轨迹法设计串联滞后校正装置，使系统的速度误差系数kv = 5，阻尼系数ζ＝0.5。 G0(s)k

s(s1)(s2)【解】：① 首先满足系统的动态性能，校核系统的稳态精度。

原系统的开环极点为－p1 = 0，－p2 = －1，－p1 = －2，可以计算出渐近线与实轴的交点和夹角为， F121 600,1800,3000，原系统根轨迹如图所示。 30 阻尼系数ζ＝0.5， arccos0.560，因此，期望主导极点到原点的连线交角为600，连线与根轨迹的交点就是期望主导极点的位置。根据作图得到的交点，期望主导极点的位置大约在－0.33 ± j 0.58附近。

j

期望极点

j期望极点 j0.58pp2p1 600119.64019.15040.88-3-10-2

0.330-2-1 -j

30第 33 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

校核相角条件：根据在图中主导极点位置的近似值－0.33 ± j 0.58和开环极点的位置，作由各开环极点到期望主导极点的向量，

Φ = －119.640 －40.880 －19.150 = －179.670≈－1800

－0.33 ＋ j 0.58位置满足相角条件，因此，它是根轨迹上的点，是期望主导极点位置。这时系统的阻尼系数ζ＝0.5，动态性能满足要求。 校核稳态精度：由根轨迹幅值条件，这时系统的开环传递函数为， G0(s)k1，得k′= 1.045，

s(s1)(s2)s0.33j0.581.0450.523 s(s1)(s2)s(s1)(0.5s1) 因此，速度误差系数kv = 0.523，稳态误差不满足要求，开环放大倍数需提高10倍。 ② 配置滞后校正装置：

由于期望主导极点的实轴坐标－0.33，则校正网络的零点坐标为－0.33／5≈－0.06。为满足稳态精度要求，需提高开环放大倍数11倍，因此，校正网络的极点坐标选为0.006。故滞后校正网络的传递函数为， Gc(s)s0.06

s0.006 校正后的系统开环传递函数为，

(s) G0s0.061.045601.045， 此时 k5.23

s0.006s(s1)(s2)62k，试设计串联超前校正装置，满

s(s1)0

9、设单位反馈控制系统的开环传递函数为G0(s)足在单位斜坡输入下ess ≤ 1/15，相位裕量γ≥ 45 【解】：①绘制系统Bode图。调整开环系统的增益k，满足稳态设计指标，即在单位斜坡输入下ess ≤ 1/15，必须保证k ≥ 15。 设k = 15，系统的开环频率特性为G0(j)15。

j(j1) 在低频段，ω＝1时，20lg15=23.5dB，斜率为－20dB/dec。 转折频率为，1，转折频率后斜率增加－20dB/dec。

L()dB

L()dB +2040-200dB 20 0dB 0.1 -20

23.520lg1T-40()度1Trad/s1c10rad/s00mmrad/s第 34 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

计算相角裕量。如图所示，当ω＝1时，L(1) = 20lg15 = 23.5dB，这个值可以通过斜边为－40的一个直角三角形的直角边来表示，因此可以列出方程，

2 20lg1540lgc20lgc， 15c 得到， c153.87。

2相角裕量： 180(c)18090arctan3.8714.5 因此，相角裕量不满足设计要求，需要串联超前校正网络进行校正。 ②配置超前校正装置。

设超前校正装置传递函数为，Gc(s)kc00001Ts1，其中1。令kc，超前校

Ts1正装置将保持低频段的增益不变，而对高频段增益提升倍，或20lgdB，校正网络的幅频特性曲线如图所示。

根据设计要求，相角裕量γ ≥450，现在系统的相角裕量为14.50，所以校正装置应提供的超前相角为： Φm ≈ 45－14.5 + 7.5 = 38， 其中7.50为附加相角。

0

0

0

0

sinm1， 4.2 sin3800.6161 如果把超前校正装置的最大相移点设置在新的穿越频率点，则在这点的幅值提升为超前

1，即 211 20lg20lg4.26.23dB

22校正装置最大提升的

lgc)40lg 6.2340(lgc5.54， T 令mc

T0.3037c5.54 ， c3.8710.072

5.546.231m 超前校正装置传递函数为， Gc(s) 校正后系统开环传递函数为，G0(s)Ts10.3037s1Ts10.072s14.2s3.29

s13.90.3037s115 0.072s1s(s1) 校正后的系统Bode图如下

L()dB

40-20 23.520-40 5.54100dB

0.13.291

-203.87

③ 校算系统的相角裕量。

13.9-20rad/s-40第 35 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

5.54，计算系统的相角裕量， 根据新的穿越频率c 18090arctan(15.54)arctan(0.0725.54)arctan(0.30375.54)47.76 满足要求。

10、为满足稳态性能指标的要求，一个单位反馈伺服系统的开环传递函数为， G0(s)000200

s(0.1s1)0

试设计一个校正装置，使已校正系统的相位裕量γ≥ 45，穿越频率ωc≥50rad/s。 【解】：① 绘制原系统Bode图，校核原系统性能。 系统的开环频率特性为G0(j)200。

j(0.1j1) 在低频段，ω＝1时，20lg200=46dB，斜率为－20dB/dec。 转折频率为，10，转折频率后斜率增加－20dB/dec。

L()dB

60

4640-20

26 20-400dB

110c100rad/s

-20

当ω＝1时，L(1)= 46dB，可以推算，ω＝10时，L(10)= 26dB。通过斜边为－40的直角三角形可以计算c，40lgc1026，c44.67

原系统Bode图以－40dB穿越0dB线，故相角欲量不会满足要求（可以不用再计算）。 ② 配置超前校正装置。

60的位置 由于题意对穿越频率有要求，故采用作图法设计校正装置。首先，试在c作－20dB/dec幅频特性穿越0dB线，交原系统Bode图于1(如下图所示)。

计算1（也可以通过作图法得到1的值）。通过斜边为－40直角三角形和斜边为－20直角三角形计算1的表达式，得到方程，

lg1)，即，40lg( 40(lgclg1)20(lgc44.671)20lg(601)

20lg(44.671)220lg(601)， (44.671)2601， 133.26

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机械工程控制基础练习题

1Ts11 设超前校正装置传递函数为， Gc(s)1T2s11s1

2s1 已求得133.26，即T10.03，用试探方法设2130，即T20.0077，根据新

60，计算系统的相角裕量 的穿越频率c 18090arctan(0.160)arctan(0.007760)arctan(0.0360)45.6 满足要求。

L()dB6040200dB46000-20-40110c601002-20-401crad/s-2011、单位反馈控制系统的开环传递函数表达式如下，若要求单位斜坡输入r(t) = t时，稳态

0

误差ess ≤ 0.06，相角裕量γ≥ 45，试设计串联滞后校正装置。 G0(s)k

s(s1)(0.01s1)【解】：① 先满足动态性能，并绘制系统的Bode图，校算稳态系统性能。 转折频率11，转折频率后斜率增加－20dB/dec，为－40dB/dec；转折频率

1100，转折频率后斜率增加－20dB/dec，为－60dB/dec。 0.010

为使系统有足够的相角裕量，γ≥ 45，必须使Bode图以－20dB/dec穿越0dB线。设

2穿越频率c0.8，系统相角裕量为，

10.8)arctan(0.010.8)50.88 18090arctan(

L()dB40200dB000-200.110.8-4010100rad/s-20-40-60-80-60 在c0.8时，幅频特性为零（对应lg1），故有，20lgKc20lg(K)1， K0.8。 0.8第 37 页 共 39 页

机械工程控制基础练习题

满足稳态误差ess ≤ 0.06，则K=1/0.06=16.67。

② 配置串联滞后校正装置。

设串联滞后校正装置传递函数为，Gc(s)kc kc16.67/0.820.84， 取

Ts1Ts1，其中1，令kc1。

， 1/20.840.0481T12.5c0.08， T12.5， T260.4 T100.04812.5s1s0.08 Gc(s)20.8 260.4s1s0.00384 校正后的系统相角裕量为，

1800900arctan(0.8)arctan(0.010.8)arctan(260.40.9)arctan(12.50.9)45.440 满足要求。

12、单位反馈控制系统的开环传递函数表达式如下，若要求系统的性能指标为，速度误差系数kv ≥ 32，相角裕量γ≥ 45，试设计串联滞后校正装置。 G0(s)0

k

s(0.1s1)(0.01s1)【解】：① 先满足动态性能，并绘制系统的Bode图，校算稳态系统性能。 转折频率1110，转折频率后斜率增加－20dB/dec，为－40dB/dec；转折频率0.11100，转折频率后斜率增加－20dB/dec，为－60dB/dec。 0.010

为使系统有足够的相角裕量，γ≥ 45，必须使Bode图以－20dB/dec穿越0dB线。设

2穿越频率c5，系统相角裕量为，

18090arctan(0.15)arctan(0.015)60.57

L()dB40200dB000-20100.115-40-60100rad/s-20-40 在c5时有，20lgKc20lg(K)1， K5，而满足稳态误差Kv=32。因此，5放大倍数需提高32/5=6.4。

② 配置串联滞后校正装置。

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机械工程控制基础练习题

设串联滞后校正装置传递函数为，Gc(s)kc kc32/56.4， 取

1/6.40.156Ts1Ts1，其中1，令kc1。

1c1， T1， T6.4 T5s1s1 Gc(s)6.4 6.4s1s0.156 校正后的系统相角裕量为，

18090arctan(0.15)arctan(0.015)arctan(6.45)arctan(15)51.05 满足要求。

L()dB-2040000-40-20105-40-60100rad/s200dB0.156-20-401第 39 页 共 39 页