二次函数压轴题解题思路有答案

一、基本知识 1会求解析式

2.会利用函数性质和图像

3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。一些方法：如相似、三角函数、解方程。一些转换：如轴对称、平移、旋转。 二、典型例题：

（一）、求解析式 1.（2014?莱芜）过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、 D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；

2.（2012?莱芜）顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式； 练习：（2014兰州）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）

A.y=﹣2（x+1）2+2 B.y=﹣2（x+1）2﹣2 C.y=﹣2（x﹣1）2+2 D.y=﹣2（x﹣1）2﹣2

（二）、二次函数的相关应用 第一类：面积问题

例题. （2012?莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0） 与y 轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点． （1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．）

（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积； 2. （2014?莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．

（1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为：y=﹣x2+

x．）

（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合）， 在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

3.（2014?兰州）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（3）

点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 第二类：.构造问题 （1）构造线段

（2013?莱芜）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；

（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；

2

（2）构造相似三角形

（2013?莱芜）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为y=

．）（3）抛物线上是否存在一点P，作

2

PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）构造平行四边形

（2014?莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；

（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；

（4）构造等腰三角形

（2013?泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．

（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，

连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．

练习：（2014遵义）如图，二次函数yx2bxc的图象与交于A（3,0）、B(-1,0),与y轴交于点C.若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随即停止运动. （1）

4312求该二次函数的解析式及点C的坐标.

（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以

请求出点的坐标，若不存在，请A，E，Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，

说明理由.

（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标.

E（5）构造直角三角形

22.（2014?四川内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；

（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

（6）构造角相等

（2014?娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

（7）构造梯形

（2011莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物

线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．(1)求抛物线的函数表达式； (2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；

(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

C A（-1，练习：（2010临沂）如图：二次函数y=﹣x2 + ax + b的图象与x轴交于

2A B 0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点

的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由． （8）构造菱形

（2013?枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． （9）构造对称点

（2011莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物

线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．(1)求抛物线的函数表达式； (2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；

(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． （10）构造平行线

31（2013?威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+ 2与直线y=x交于点231A，点B在直线y= x+ 2上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，2顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；

（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，

交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．

练习：（2014?山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=﹣a经过点B（2，

，抛物线y=ax2﹣ax），与y轴交于点D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由； （3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．

（11）构造垂直

（2014宜宾市）如图，已知抛物线y= x2+bx+c的顶点坐标为M(0，–1)，与x轴交于A、B两点. (1)求抛物线的解析式； (2)判断

y△MAB的形状，并说明理由； (3)过原点的任意直线(不轴重合)交抛物线于C、D两点，连结MC、MD，试判断MC、ADOBCM与yxMD是否垂直，并说明理由． （12）构造圆

第24(2014年淄博)如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB=30°的点P有 无数 个；

（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；

（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．

（13）轴对称

（2012浙江丽水）在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．

(1)如图1，当点A的横坐标为 时，矩形AOBC是正方形； (2)如图2，当点A的横坐标为点，连

1时，①求点B的坐标； 2②将抛物线y＝x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝－x2，

试判断抛物线y＝－x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．

（14）规律

（2014?江西抚州，第23题，10分） 如图，抛物线yax22ax(a<0)位于x轴上方的图象记为F1 ，它与x轴交于P1 、O两点，图象F2与F1关于原点O对称， F2与x轴的另一个交点为P2 ，将F1与F2同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得F3与F4 ；再将F3与F4 同时沿x轴

向右平移P1P2的长度即可得F5与F6 ； ……按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F1 ,F2 ,…… ，Fn ,我们把这组图象称为“波浪抛物线”.⑴ 当

a1时， ① 求图象F1的顶点坐标；

② 点H(2014 , －3) 不在 (填“在”或“不在”)该“波浪抛物线”上；若图象Fn 的顶点Tn的横坐标为201，则图象Fn 对应的解析式为

yx20112 ，其自变量x的取值范围为

200x202. ⑵ 设图象Fm、

Fm+1的顶点分别为Tm 、Tm+1 (m为正整数),x轴上一点Q的坐标为(12 ,0).试探

究：当a为何值时，以O、Tm 、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值.

2解析：(1)当a1时， ①yx2xx11，∴F的顶点是（-1,1)；

1

2 ②由①知：“波浪抛物线”的 由平移知：F2：yy值的取值范围是-1≤y≤1， ∴点H(2014,-3)不在“波浪抛物线”上；

223

x11, F：yx31，…，

2n

∵F的顶点横坐标是201，∴F的解析式是：yx2011，

n

此时图象与202 .

x轴的两个交点坐标是（200,0)、(202,0), ∴200≤x≤

(2)如下图，取OQ的中点O′,连接Tm Tm+1 , ∵四边形OTmQTm+1是矩形，∴Tm Tm+1=OQ=12, 且 Tm Tm+1 经过O′, ∴OTm+1=6,∵F1：

yax22axax1a∴T

2m+1

的纵坐标为a，∴(a)+1=6, ∴

2

2

2

a=±35 ,已知a＜0 ， ∴

a35 .∴当a35时，以以O、T

m

、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形. 此时m=4.

解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；

（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．

∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，

∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC

的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S

=BD?OC+EF?CM+EF?BN，=

∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=

+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣，∴E（2，1）．

△BEF

（a﹣2）2+

（2014?莱芜）解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx．

∴，解得，∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+

x．

（2）存在．

设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入求得k=，∴直线OD解析式为y=x． 设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，﹣x2+

x），∴MN=|yM﹣yN|=|x﹣（﹣x2+

x）|=|x2﹣4x|．由题意，

可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．∴|x2﹣4x|=3．若x2﹣4x=3，整

理得：4x2﹣12x﹣9=0，解得：x=或x=；若x2﹣4x=﹣3，整理得：4x2﹣12x+9=0，解得：x=． 或

．

∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：或

（3）∵C（1，3），D（3，1）∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=x．

如解答图所示，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），则图中AF=t，F（1+t），Q（1+t，+t），C′（1+t，3﹣t）．设直线O′C′的解析式为y=3x+b，将C′（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，∴直线O′C′的解析式为y=3x﹣4t．∴E（t，0）．联立y=3x﹣4t与y=x，解得x=t，∴P（t，t）．过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=t．∴S=S△OFQ﹣S△OEP=OF?FQ﹣OE?PG=（1+t）（+t）﹣?t?t=﹣（t﹣1）

2+

当t=1时，S有最大值为．∴S的最大值为．

（2013?莱芜）解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=．

（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．设直线MA的表达式为y=kx+b，则．解得

．∴直线MA的表达式为y=x+1．设点D的坐标为（），则点F的坐标为

（当

）．DF=

时，DF的最大值为．此时

=

，即点D的坐标为（

）． ）．

．

（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，

在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，∴﹣3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．

②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，∴m+11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）． ③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3m=2时，若PN=3NA，则﹣

．此时点P的坐标为（2，﹣）．

，即m﹣7m﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标

为（10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．

2

2

，即m+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又

2

，即

，即m+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当

2

（2012?莱芜）解：（1）依题意，设抛物线的解析式为 y=a（x﹣2）2﹣1，代入C（O，3）后，得：a（0﹣2）2﹣1=3，a=1 ∴抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3． （2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；

设直线BC的解析式为：y=kx+3，代入点B的坐标后，得：3k+3=0，k=﹣1

∴直线BC：y=﹣x+3；由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D（2，1）；∴AD2=2，AC2=10，CD2=8 即：AC2=AD2+CD2，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；∴S△ACD=AD?CD=×（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：

①∠DFE=90°，即 DF∥x轴；将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：x2﹣4x+3=1，解得 x=2±当x=2+1+

时，y=﹣x+3=1﹣

；当x=2﹣

时，y=﹣x+3=1+

；∴E1（2+

，1﹣

；

，

×2

=2．

）、E2（2﹣

）．②∠EDF=90°；易知，直线AD：y=x﹣1，联立抛物线的解析式有：x2﹣4x+3=x﹣1，解得 x1=1、x2=4；当x=1

，1﹣

）、（2﹣

，1+

）、（1，2）或（4，﹣1）．

时，y=﹣x+3=2；当x=4时，y=﹣x+3=﹣1；∴E3（1，2）、E4（4，﹣1）； 综上，存在符合条件的点E，且坐标为：（2+（2011莱芜）解得：a11，b1，c0∴抛物线的函数表达式为yx2x。

2212112（2）由yxx(x1)，可得，抛物线的对称轴为直线x1，且对称轴x1是线段OB的垂直平

222分线，连结AB交直线x1于点M，即为所求。∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴

AB=42∴MO+MA的最小值为42。（3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线x1对称，由A(－2，－4),得P(4,

－4),则得梯形OAPB。②若OA∥BP，设直线OA的表达式为设直线BP的表达式为

ykx，由A(－2，－4)得，y2x。

y2x4由

y2xm，由B(2,0)得，04m，即m4，∴直线BP的表达式为

y2x4，解得x14，x22（不合题意，舍去）当x4时，y12，∴点P(4，12)，则得梯12yxx2形OAPB。③若AB∥OP，设直线AB的表达式为

42kmk1，解得，∴ABykxm，则02kmm2的表达式为

yx2，得 x0，解得x0，（不合题意，舍去），此时yx2。∴直线OP的表达式为yx。由12yxx2点P不存在。综上所述，存在两点P(4,－4)或P(4，12)使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形。

（2014?山东临沂）解：（1）直线y=2x﹣1，当x=0时，y=﹣1，则点C坐标为（0，﹣1）．设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵点A（﹣1，0）、B（1，0）、C（0，﹣1）在抛物线上，

∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣1．

（2）如答图2所示，直线y=2x﹣1，当y=0时，x=；设直线CD交x轴于点E，则E（，0）．在Rt△OCE中，OC=1，OE=，由勾股定理得：CE=

，设∠OEC=θ，则sinθ=

，cosθ=

．过

点A作AF⊥CD于点F，则AF=AE?sinθ=（OA+OE）?sinθ=（1+）×=，∴点A到直线CD的距离为．（3）

∵平移后抛物线的顶点P在直线y=2x﹣1上，∴设P（t，2t﹣1），则平移后抛物线的解析式为y=（x﹣t）2+2t﹣1．联立

，化简得：x2﹣（2t+2）x+t2+2t=0，解得：x1=t，x2=t+2，即点P、点Q的横坐标相差2，

∴PQ===．△GPQ为等腰直角三角形，可能有以下情形：

i）若点P为直角顶点，如答图3①所示，则PG=PQ=．∴CG====10，

∴OG=CG﹣OC=10﹣1=9，∴G（0，9）；ii）若点Q为直角顶点，如答图3②所示，则QG=PQ=同理可得：Q（0，9）；iii）若点G为直角顶点，如答图3③所示，此时PQ=

，则GP=GQ=

． ．

分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足分别为点M、N．易证Rt△PMG≌Rt△GNQ，∴GN=PM，GM=QN． 在Rt△QNG中，由勾股定理得：GN2+QN2=GQ2，即PM2+QN2=10 ①∵点P、Q横坐标相差2，∴NQ=PM+2， 代入①式得：PM2+（PM+2）2=10，解得PM=1，∴NQ=3．直线y=2x﹣1，当x=1时，y=1，∴P（1，1），即OM=1．∴OG=OM+GM=OM+NQ=1+3=4，∴G（0，4）．

综上所述，符合条件的点G有两个，其坐标为（0，4）或（0，9）．

12（2010临沂）（1）根据题意，将A,0，B（2，0）代入yxaxb中，

211ab0,得42 解这42ab0.33a,2个方程，得2∴该抛物线的解析式为yxx1. 当x0时，y1.∴点C的坐标为(0,1).

2b1.∴在

AOC中，

51ACOAOC1222222.在

BOC中，

BCOB2OC222125.ABOAOB∴ABC是直角三角形.（2）点D的坐标为（3）存在.由（1）知，AC155252.∵AC2BC25AB2，22443,1 2可求得直线

BC.

①若以BC为底边，则BC∥AP，如图5所示.

BC的解析式为

1yx1.直线AP可以看作是由直线BC平移得到的，

211yxb.把点A,0代入直线AP的解析式，求得

22∴点

所以设直线AP的解析式为

b111，∴直线AP的解析式为yx.∵点P既在抛物线上，又在直线AP上,42431151P的纵坐标相等，即x2x1x.解得x1,x2(不合题

22422意，舍去).

当x5353时，y.∴点P的坐标为,.②若以AC为底边，则BP∥AC，如图6所示.

2222所以直线BP的解析式为

可求得

直线

AC的解析式为y2x1.直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，y2xb.

把点B(2,0)代入直线BP的解析式，求得b4.∴直线BP的解析式为线

y2x4.∵点P既在抛物线上，又在直

当

BP上.

∴点

P的纵坐标相等,即x235x12x4.解得x1,x22 (不合题意，舍去).

22x55535时，y9.∴点P的坐标为,9.综上所述，满足题目条件的点P为,或,9. 22222y448(x1)(x3)x2x4 C(0,4) 333（2014遵义）

（2）存在分三种情况讨论如下：

A为圆心，AQ为半径画弧，交x轴于点E1,E2.AQ=4，OA=3，OE1=1，AE2=3+4=7.∴

E1(1,0),E2(7,0)

②以Q为圆心，QA为半径画弧，交x轴于E3,E4(与A点重合，不合题意)过Q作QN⊥x轴于点N,则QNANAQAN412∥y轴， 即 ，∴AN,

AOAC3551239912312,E3(，0). ON3,NE3NA,∴OE35555555o③作AQ的中垂线交x轴于点E5,垂足为G,E5AG=CAO,AGE5=COA=90.∴E5AG∽

①以

CAO∴

1AE5AGAE5210101，AE5,OE53∴E5(,0) 即

3CAAO5333391E(，0)E(,0). 综上，这样的点有四个，E1(1,0),E2(7,0)，3，553（3）（6分）四边形APDQ是菱形.

解法一：过D作DH⊥x轴于点H,设运动的时间为t秒，则

PD=PA=t.

∵PD∥AC,∴DPH=OAC,DHP=AOC=90. ∴

oDHP∽COA, ∴

DHDPHPCOACOA, ∵

AC32425,即

3DHtHP4， ∴DHt，HPt,∵OP3t， ∴4535538OHt(3t)t3 ∴D(38t,4t) ∵点D在抛物线上，

55551454488 ∴t(3t1)(3t3) 解得t10（舍去），t2

645355 38814554414529529t3，t∴D(,) 55648556416816（2014娄底）解（1）依题意：x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1，∵x1+x2+x1x2=7，∴（x1+x2）2﹣x1x2=7，∴（﹣m）2﹣（m﹣1）=7，即m2﹣m﹣6=0，解得m1=﹣2，m2=3，∵c=m﹣1＜0，∴m=3不合题意∴m=﹣2抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；

（2）能如图，设p是抛物线上的一点，连接PO，PC，过点P作y轴的垂线，垂足为D．若∠POC=

∠PCO则PD应是线段OC的垂直平分线∵C的坐标为（0，﹣3）∴D的坐标为（0，﹣）∴P的纵坐标应是﹣令x2﹣2x

﹣3=，解得，x1=，x2=因此所求点P的坐标是（，﹣），（，﹣）

(2014年淄博)（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．在优弧AP1B上任取一点P，如图1，则∠APB=∠ACB=×60°=30°．∴使∠APB=30°的点P有无数个．故答案为：无数． （2）①当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA=1，OB=5．∴AB=4．∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG=BG=AB=2．∴OG=OA+AG=3． ∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AB=4．∴CG=

=

=2

．∴点C的坐标为（3，2

． =

．∵点C为圆心，

）．过

点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1，∵点C的坐标为（3，2），∴CD=3，OD=2

∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B=∠AP2B=30°．∵CP2=CA=4，CD=3，∴DP2=CD⊥P1P2，∴P1D=P2D=

．∴P2（0，2

﹣﹣

）．P1（0，2

﹣）、（0，2

++

）．

+

）． ﹣

）、（0，﹣2

②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P3（0，﹣2综上所述：满足条件的点P的坐标有：（0，2

）．P4（0，﹣2

）、（0，﹣2+）．

（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．

①当点P在y轴的正半轴上时，连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．∵⊙E与y轴相切于点P， ∴PE⊥OP．∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．∴四边形OPEH是矩形． ∴OP=EH，PE=OH=3．∴EA=3．∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，∴EH==

=

∴OP=

∴P（0，

）．理由：①若点P

）．②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P（0，﹣

在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），

连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．∵∠ANB是△AMN的外角， ∴∠ANB＞∠AMB．∵∠APB=∠ANB，∴∠APB＞∠AMB．②若点P在y轴的负半轴上， 同理可证得：∠APB＞∠AMB．综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，

此时点P的坐标为（0，

）和（0，﹣

）．

2014泰安解：（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，），

根据题意得：，解得：，则

二次函数的解析式是：y=﹣

（2）设N（x，﹣x2﹣x+1）=﹣x2﹣

﹣x+1；

x+1﹣（﹣

x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）．∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣

，则当x=﹣时，MN的最大值为

；

x=﹣（x+）2+

（3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，即﹣x2﹣

x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=

，解得：x=1，故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分．

（2014?四川内江，第28题，12分）解：（1）如图1，∵A（﹣3，0），C（0，4），∴OA=3，OC=4． ∵∠AOC=90°，∴AC=5．∵BC∥AO，AB平分∠CAO，∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．∴BC=AC．

∴BC=5．∵BC∥AO，BC=5，OC=4，∴点B的坐标为（5，4）．∵A（﹣3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c

上，∴解得：∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．

（2）如图2，设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直线AB上，∴

解得：∴直线AB的解析式为y=x+．设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．

∴yP=t+，yQ=﹣t2+t+4．∴PQ=yQ﹣yP=﹣t2+t+4﹣（t+）=﹣t2+t+4﹣t﹣=﹣t2++=﹣（t2﹣2t﹣15）=﹣ [（t﹣1）2﹣16]=﹣（t﹣1）2+．∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．∴线段PQ的最大值为． （3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．

抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．∴xH=xG=xM=．∴yG=×+=．∴GH=．

∵∠GHA=∠GAM=90°，∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，

∴△AHG∽△MHA．∴．∴=．解：MH=11．∴点M的坐标为（，﹣11）．②当∠

ABM=90°时，如图4所示．∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=

=

．同理：AG=

=，∴BG=

．∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，

∴△AGH∽△MGB．∴=．∴=．解得：MG=．∴MH=MG+GH=+=9．

∴点M的坐标为（，9）．综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）． （2014宜宾市）解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），∴b=0，c=﹣1，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣1．

（2）△MAB是等腰直角三角形，由抛物线的解析式为：y=x2﹣1可知A（﹣1，0），B（1，0），∴OA=OB=OC=1，∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠BOM=45°，∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°∵y轴是对称轴，∴A、B为对称点，∴AM=BM，∴△MAB是等腰直角三角形．

（3）MC⊥MF；分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC于G，交DF于H，设D（m，m2﹣1），C（n，n2﹣1），

∴OE=﹣n，CE=1﹣n2，OF=m，DF=m2﹣1，∵OM=1，∴CG=n2，DH=m2，∵FG∥DH， ∴

=

，即

=

解得m=﹣，∵

=

=﹣n，

=

=，

∴=，∵∠CGM=∠MHD=90°，∴△CGM∽△MHD，

∴∠CMG=∠MDH，∵∠MDH+∠DMH=90°∴∠CMG+∠DMH=90°，∴∠CMD=90°，即MC⊥MF． （2013?泰安）解：（1）把点C（0，-4），B（2，0）分别代入y=12x+bx+c2c-4b1中，得1，解得。∴该抛物线的解析式为222bc0c-42x1=-4，x2=2，∴A（-4，0），S△ABC=y=1x+x-4．（2）令22y=0，即12x+x-4=0，解得21AB?OC=12．设P点坐标为（x，0），则PB=2-x．∵PE∥AC，∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠2PB2S2x2)，即PBE()，化简得：SAB12622△PBEBCA，∴△PBE∽△ABC，∴SSPBEABC(2=（2-x）．S△PCE=S△PCB-S△PBE=13212PB?OC-S△PBE=111281×（2-x）×4-（2-x）=-x-x+=-（x+1）+3∴当x=-1时，S233333△PCE的最大值为3． （3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图①所示．DO=DM=DA=2，∴∠OAC=∠AMD=45°，∴∠ADM=90°，∴M点的坐标为（-2，-2）；（II）当MD=MO时，如答图②所示．过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，∴M点的坐标为（-1，-3）；（III）当OD=OM时，∵△OAC为等腰直角三角形，∴点O到AC的距离为22×4=22，即AC上的点与点O之间的最小距离为22．∵22＞2，∴OD=OM的情况不存在．综上所述，点M的坐标为（-2，-2）或（-1，-3）． 31（2013?威海）解：（1）由直线y=x+22与直线y=x交于yxx3点A，得，∴点A的坐标13，解得，yxy322是（3，3）．∵∠BOA=90°，∴OB⊥OA，∴直线OB的解析式为y=-x．又∵点B在直线y=12x+32上，∴yxx1，∴点B的坐标是（-1，1）．综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（-1，1）．（2）13，解得，yxy1221a29a3bc31由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（-1，1）．∵抛物线y=ax+bx+c过点A，O，B，∴c0，解得b，2a-bc1c021111111x-x，或y=（x-）-．∴顶点E的坐标是（，-）；（3）OD与CF平行．理由如2222828111下：由（2）知，抛物线的对称轴是x=．∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，∴C（，）．设直线BC的表达式为222∴该抛物线的解析式为y=221k--kb1211123y=kx+b（k≠0），把B（-1，1），C（，）代入，得1，解得，∴直线BC的解析式为y=-x+12kb2233b223直线BC与抛物线交于点B、D，∴-21211．∵121144122x+=x-x，解得，x=，x=-1．把x=代入y=-x+，得y=，∴点33223333942DN111D的坐标是（，）．如图，作DN⊥x轴于点N．则tan∠DON=．∴．∵FE∥x轴，点E的坐标为（，-）39ON62831111313111315点F的纵坐标是-．把y=-代入y=x+2，得x=-，∴点F的坐标是（-，-），∴EF=+=．∵882448248115CE1CE=+=，∴tan∠CFE=， 288EF6∴∠CFE=∠DON．又∵FE∥x轴，∴∠CMN=∠CFE，∴∠CMN=∠DON，∴OD∥CF，即OD与CF平行． （2012浙江丽水10分）解：(1) －1。(2) ①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，当x＝－

12时，y＝(－

12111)＝，即OE＝，AE＝。∵∠AOE＋∠BOF＝180°－90°＝90°，21 2424∠AOE＋∠EAO＝90°，∴∠EAO＝∠BOF。又∵∠AEO＝∠BFO＝90°，∴△AEO∽△OFB。

1OFAE41∴。设OFBFEO122＝t，则BF＝2t，∴t2＝2t，解得：t1＝0(舍去)，t2＝2。∴点B(2，4)。②过点C作CG⊥BF于点G，∵∠AOE＋∠EAO＝90°，∠FBO＋∠CBG＝90°，∠EOA＝∠FBO，∴∠EAO＝∠CBG。在△AEO和△BGC中，∠AEO＝∠G=900，∠EAO＝

1113117，BG＝AE＝。∴xc＝2－，yc＝4＋。∴点24224431733317C(, )。∵当x＝时，y＝－()2＋3×＋2＝，∴点C也在此抛物线上。∴经过A、

222244∠CBG,AO=BC，∴△AEO≌△BGC(AAS)。∴CG＝OE＝

B、C三点的抛物线解析式为y＝－x2＋3x＋2＝－(x－上平移

32)2＋

173。平移方案：先将抛物线y＝－x2向右平移

24个单位，再向

17317个单位得到抛物线y＝－(x－)2＋。

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