江苏省无锡市2021-2022学年高一下学期第一阶段考试数学试题

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题

1．下列结论中正确的是（ ） A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥 C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是正六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

2．已知非零向量a，b，若|a|2|b|，且a(a2b)，则a与b的夹角为（ ） A．

6B．

 4C．

 3D．

3 43．已知i为虚数单位，如果复数z满足|z2i||z2i|4，那么|zi1|的最小值是（ ） A．1

B．2 C．2

D．5 4．如图，A处为长江南岸某渡口码头，北岸B码头与A码头相距3km，江水向正东

(AD)流.己知一渡船从A码头按AC方向以10km/h的速度航行，且BAC30，若航

行0.2h到达北岸的B码头，则江水速度是（ ）

A．102km/h B．52km/h C．5km/h D．1km/h

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos A＋acos C＝2c，若a＝b，则sin B等于（ ） A．15 41B．

4C．3 4D．3 26．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（ ）

试卷第1页，共5页

A．者 B．事 C．竟 D．成

7．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

ABACOPOA，R，则动点P的轨迹一定通过ABC的

|AB|cosB|AC|cosC（ ） A．重心

B．外心

C．内心

D．垂心

8．如图，在RtABC，A90,AC1,AB2，点P在以B为圆心，1为半径的圆上，则PAPC的最大值为（ ）

A．5171 17B．517 得分 二、多选题 C．

16 5D．

56 5评卷人 9．已知向量a2,1,b3,1，e是与b同向的单位向量，则下列结论错误的是（ ） A．ab//a

25C．a与ab的夹角余弦值为

51B．向量a在向量b上的投影向量为e

2525cD．若5,5，则ac 10．设有下面四个命题，其中真命题为（ ） A．若复数z满足z2R，则zR； B．若复数z满足zR，则z2R；

C．若复数z1,z2满足z1z20，则z10或z20； D．若复数z满足|z|2z2，则zR

11．设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c4,C3，则下列选项正确的是

试卷第2页，共5页

（ ）

A．ABC外接圆半径为43 3B．ABC面积的最大值为43 C．a4b最大值为87 D．a2b2的最小值为32

12．定义：a,b两个向量的叉乘ab的模ababsina,b，则下列命题正确的是（ ）

A．若平行四边形ABCD的面积为4，则ABAD4 B．在正ABC中，若ADABACABAC，则C．若ab3,ab1，则a2b的最小值为23 D．若ab1,bc2，且b为单位向量，则ac的值可能为223 评卷人 AD|BC|33

得分 三、填空题 13．若复数z满足方程z220，则z3_____________. 14．在锐角ABC中，a2，b3，A4，则B__________.

15．设e1,e2是平面内两个不共线的向量，AB(a1)e1e2，ACbe12e2，a0，12

b0．若A、B、C三点共线，则的最小值是____.

ab

16．在ABC中，若AB4,AC5,BCD为等边三角形（A,D两点在BC两侧），则四边形ABDC的面积S的最大值为__________. 评卷人 得分 四、解答题 17．已知AB(1,3),BC(3,m),CD(1,n),AD//BC． （1）求实数n的值；

（2）若ACBD，求实数m的值．

18．已知复数zmi（mR），且z13i为纯虚数（z是z的共轭复数）. （1）设复数z1m2i，求z1； 1i试卷第3页，共5页

ai2021（2）复数z2在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.

z19．如图，在ABC中，已知AB2,AC3,BAC60,N为AC边上的中点，点M在线段BC上，且CM2MB；

(1)求线段AM的长度，

(2)设AM与BN相交于点P，求MPN的余弦值. 20．在梯形ABCD中，AB//CD，CD3AB3．

6，求ABC的面积S； 632（2）若cosDAC，cosACD，求BD的长．

44（1）若CACD，且cosABC21．某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD，

CE为路灯灯杆，CDAB，DCEMEN2π，在E处安装路灯，且路灯的照明张角3π，已知CD4m，CE2m． 3

（1）当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN； （2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值．

22．如图，设ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD为BC边上的中线，已知c1,A1，且2csinAcosBasinAbsinBbsinC，

43试卷第4页，共5页

(1)求b的值.

(2)设点E,F分别为边AB,AC上的动点，线段EF交AD于G，且AEF的面积为

ABC面积的一半，求AGEF的最小值.

试卷第5页，共5页