2017-2018学年内蒙古赤峰市高一（下）期末数学试卷（理科）（A卷）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 若集和 ， ，则
A. B. C. 0， D. 0，1，
【答案】A
【解析】解： ， ； ． 故选：A．
先解出M，然后进行交集的运算即可．
考查描述法表示集合的概念，绝对值不等式的解法，以及交集的运算． 2.
已知
，则下列正确的是
A. 奇函数，在 上为增函数 B. 偶函数，在 上为增函数 C. 奇函数，在 上为减函数
D. 偶函数，在 上为减函数
【答案】B
【解析】解：根据题意，
，
则
，则函数 为偶函数；
当 时，
，则
，则 在 上为增函数；
故选：B．
根据题意，由函数的解析式可得 ，可得 为偶函数，当 时，求出函数 的导数，由函数导数与函数单调性的关系，分析可的 在 上为增函数；即可得答案．
本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键掌握函数单调性、奇偶性的判断方法，属于基础题．
3. 直线 与 的位置关系是
A. 平行 B. 垂直 C. 斜交 D. 与a，b， 的值有关 【答案】B
【解析】解：当 或 时，这两条直线中，有一条斜率为0，另一条斜率不存在，两条直线垂直． 当 和 都不等于0时，这两条直线的斜率分别为
和 ，显然，斜率之积等于 ，
故两直线垂直 综上，两条直线一定是垂直的关系， 故选：B．
当这两条直线中有一条斜率不存在时，检验他们的位置关系式垂直关系 当它们的斜率都存在时，求出它们的斜率，发现斜率之积等于 ，两条直线垂直．
本题考查两条直线垂直的条件是斜率之积等于 ，或者它们的斜率中一个等于0，而另一个不存在 体现了分类讨论的数学思想．
4. 函数 的图象大致是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解： 是偶函数， 所以排除C，D，
当 时， 函数为减函数，排除A． 故选：B．
先由奇偶性来确定是A还是B选项中的一个，再通过对数函数，当 时，函数为减函数，可进一步确定选项． 本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键．
5. ， 是夹角为
的单位向量，则 ， 的夹角的余弦值为
A.
B.
C. D.
【答案】C
【解析】解： ；
，
； ；
． 故选：C．
根据条件即可求出 ，从而可求出
夹角的余弦值． 考查单位向量的概念，向量夹角的余弦公式，向量数量积的运算．
6. 设l，m是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 【答案】D
【解析】解：由l，m是两条不同的直线， 是一个平面，知：
在A中，若 ， ，则l与 相交、平行或 ，故A错误； 在B中，若 ， ，则l与m相交、平行或异面，故B错误； 在C中，若 ， ，则 或 ，故C错误；
在D中，若 ， ，则由线面垂直的性质定理得 ，故D正确． 故选：D．
在A中，l与 相交、平行或 ；在B中，l与m相交、平行或异面；在C中， 或 ；在D中，由线面垂直的性质定理得 ．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
7. 《张丘建算经》卷上有“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同 已知
第一天织布6尺，30天共织布540尺，则该女子织布每天增加 A.
尺
B. 尺
C.
尺
D. 尺
【答案】C
【解析】解：由于某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同． 所以织布的数据构成等差数列，
设公差为d，第一天织的数据为 ，第30天织的数据为 ， 则：
，
解得： ，
则： ， 解得：
，
故选：C．
利用数学文化知识，首先判定数列为等差数列，进一步利用等差数列的通项公式的前n项和公式求出结果．
本题考查的知识要点：数学文化知识的应用，等差数列的通项公式的应用和前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
8. 如果一个几何体的三视图如图所示 单位长度： ，则此几何体的表面积是
A.
B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：由已知中的三视图，可知该几何体是下部一个四棱柱 正方体 与上部是四棱锥的组合体，
四棱柱 正方体 的棱长为1cm，故每个面的面积为： ， 四棱锥的底面边长为1cm，高为
，故斜高为： ，
故每个侧面的面积为：
， ； 故组合体的表面积
；
故选：A．
由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱柱 正方体 与四棱锥的组合体，分别计算各个面的面积，相加可得答案．
本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
9. 若 ，则 的最小值为
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】解： ， ，
，a， ．
当且仅当 时取等号．
的最小值是 ． 故选：D．
根据对数的运算性质可得
，a， ，再根据基本不等式即可求出．
本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．
10. 在正四棱柱 中， ，E为 的中点，则直线BE与平面 所形成角的余弦值为 A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系， 设 ，
则 1， ， 0， ， 1， ， 0， ，
， 0， ， ，
设平面 的法向量
y， ， 则
，取 ，得 2， ， 设直线BE与平面 所形成角为 ， 则
．
直线BE与平面 所形成角的余弦值为
． 故选：C．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面 所形成角的余弦值．
本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
11. 若函数
图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 ，且该函数图象关于点 成中心对称，
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解： 函数
图象的两条相邻的对称轴之间的距离为
， ，
令 ， ，求得
，故该函数的图象的对称中心为 ， ． 根据该函数图象关于点 成中心对称，结合
，则
，
故选：B．
利用函数 的图象的对称性，得出结论．
本题主要考查函数 的图象的对称性，属于基础题．
12. 已知 中， ， ， ，若AM是BC边上的高，垂足为M，点P在 内部或边界上
运动，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B
【解析】解：以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：
则 、 、 ，设 ，
， 直线AM：
，直线BC： ，
联立
解得： ，
，
，
，
设 ，则 ， 在 内部或边界上运动，
当直线 与直线BC重合时，z取得最大值 ， 当直线 ，过原点A时，z取得最小值0，
的最大值为 ，最小值为 ，
故 的取值范围为： ， 故选：B．
以A为原点建立平面直角坐标系，通过两直线方程联立得M得坐标，然后用向量数量积公式得 ，最后用线性规划知识求得最大最小值．
本题考查了直线方程、数量积、线性规划 属中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设x，y满足约束条件 ，则
的最小值为______． 【答案】
【解析】解：设x，y满足约束条件： ，
在直角坐标系中画出可行域 ，由
，可得
， 所以 的最小值为 ．
故答案为：
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， 表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
14. 计算：
______．
【答案】 【解析】解：
．
故答案为： ．
通分后利用两角和的正弦及倍角公式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦，是基础题．
15. 定义在R上的偶函数 在 上单调递增，且 ，则满足 的x的集合为______． 【答案】
或
【解析】解： 是定义在R上的偶函数，且在 上递增； 在 上单调递减， 且 ，则 ，
由 ，可得 或 ， 要满足
， 即 或 ， 解得：
或 ． 故答案为：
或
根据定义在R上的偶函数 在 上单调递增，且 ，则 ， ，可得 或 ，可得
或 ，即可求解x的集合．
考查奇函数的定义，奇偶函数的单调性特点，增函数的定义，以及指数式和对数式的运算，指数函数和对数函数的单调
性，对数中的真数大于0．
16. 函数 的定义域为D，若存在闭区间 ，使得函数 满足： 在 内是单调函数； 在
上的值域为 ，则称区间 为 的“等值区间” 下列函数中存在“等值区间”的有______．
【答案】
【解析】解： 由 ，可得 ，解得 或 ， 函数 在 上为单调增函数，且值域为 ， 有等值区间 ；
令 ，当 时， ，函数无零点，当 时， ， 由 ，可得
， 存在 ，满足 ， 使得当 时， ，当 时， ，
． 无零点，即 不存在“等值区间”； 由
，可得 或 ． 当 时，
在 上为增函数，
而对于
，满足 ， ，
有等值区间 ；
令 ，则 ，
为单调减函数，又 ，
方程 仅有一解 ，故 不存在“等值区间”． 存在“等值区间”的有 ． 故答案为： ．
利用“等值区间”的定义，只要方程 在定义域内存在两个不同实数根即可得出“等值区间”的两个端点值，然后验证单调性得答案．
本题考查了系新定义“等值区间”、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知函数
．
求函数 的最大值及取得最大值时相应的x的值； 求
的单调区间．
【答案】解：
函数 的最大值为2， 此时
，即
， ；
由
，可得
， ．
的单调增区间为
， ；
由
，可得
， ．
的单调减区间为
， ．
【解析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．
直接求得函数最大值，再由
求得使函数求得最大值的x值； 利用复合函数的单调性求解 的单调区间．
本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查 型函数的图象和性质，是中档题．
18. 设等差数列 的前n项和为 ，且满足 ， ．
求数列 的通项公式；
记
，求数列 的前n项和 ．
【答案】解： 等差数列 的前n项和为 ，且满足 ， ． 设首项为 ，公差为d， 则：
，
整理得：
解得： ， ，
所以： ． 由 得：
，
所以：
，
， 得：
，
所以：
，
．
【解析】 首先利用已知条件建立方程组，求出数列的首项与公差，进一步确定等差数列的通项公式． 利用 的结论，进一步求出数列的通项公式，最后利用乘公比错位相减法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
19. 在 中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知 ．
求角A的大小；
若 的面积 ， ，求 的值． 【答案】解： 中， ， ，解得
， ． ， 的面积
， ． 再由余弦定理可得
，
．
【解析】 利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得 的值，可得A的值． 利用余弦定理求得a，再利用正弦定理求得 的值．
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，诱导公式、二倍角的余弦公式，属于中档题．
20. 已知圆C： ，直线l： ．
Ⅰ 求证：直线l与圆C必相交；
Ⅱ 求直线l被圆C截得的弦长最短时直线l的方程以及最短弦长．
【答案】 Ⅰ 证明：根据题意得：直线l： 恒过 点， 圆心 ，半径为5，
， 为圆内，
则直线l与圆C必相交；
Ⅱ 当直线 直线MC时，直线l被圆C截得的弦长最短， 设直线MC解析式为 ， 把M与C坐标代入得：
，
解得：
， ，
直线MC解析式为
，
直线l斜率为2， 直线l过点M，
直线l方程为 ，即 ； 根据题意得：最短弦长为 ．
【解析】 Ⅰ 根据直线l方程得到直线l恒过 ，求出 距离小于半径，即可得到直线l与圆C必相交；
Ⅱ 当直线 直线MC时，直线l被圆C截得的弦长最短，求出直线MC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为 求出直线l斜率，根据M坐标确定出直线l方程，利用垂径定理，勾股定理求出最短弦长即可．
此题考查了直线与圆的应用，涉及的知识有：圆的标准方程，恒过定点的直线方程，待定系数法求出一次函数解析式，垂径定理，以及勾股定理，根据题意确定出直线l恒过定点M是解本题的关键．
21. 如图，已知在直三棱柱 中， ， ，
， ，点
D是AB上的动点．
求证： ；
若D是AB上的中点，求证： 平面 ； 求三棱锥 的体积．
【答案】 证明：在 中，由 ， ，
，
利用余弦定理得 ，则 ， 为直角三角形，得 ． 又 面ABC， ，
而 ， 面 ，则 ； 证明：设 交 于点E，则E为 的中点， 连接DE，则DE为 的中位线，则 ， 又 面 ，则 面 ；
解：在 中，过C作 垂足为F， 由面 面ABC，得 面 ， ．
而
， 在 中，由等面积法得
，
．
【解析】 由余弦定理得BC，由勾股定理得 ，由 面ABC得到 ，从而得到 面 ，故AC ；
连接 交 于点E，则DE为 的中位线，得到 ，从而得到 面 ；
过C作 垂足为F， 面 ，面积法求CF，求出三角形 的面积，代入体积公式进行运算． 本题考查证明线线垂直、线面平行的方法，考查三棱锥的体积的求法，求点C到面 的距离是解题的关键，是中档题．
22. 已知函数 ．
当
时，求 的最大值；
问a取何值时，方程 在 上有两解？ 【答案】解： 函数 ， ， 设 ， ，则 ，
，
当 时，函数y取得最大值 ；
方程 ， ，
即 在 上有两解， 设 ，则
在 上解的情况如下； 当方程在 上只有一个解或相等解时， x有两解 或 ； 或 ；
当 时，x有唯一解 ， 当 时，x有唯一解 ；
综上，当 或 时，方程 在 上有两解．
【解析】 根据函数 得出 的解析式，用换元法，设 ， ，求出 在区间 上的最值即可；
把方程 转化为 在 上有两解的问题，用换元法，求方程 在 上解的情况即可．
本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质，考查了函数与方程的应用问题，考查了换元法的应用问题，是综合性题目．
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