在“解决问题”中发展学生的思维

四则运算法则和大小比较法则。　。当上底发生变化时，三角形和平行四边形的面积　再如，许贻亮老师执教《分数的基本性质》，以　“变形”为寻找显性关联的依据，引导学生发现除了　分数可以“变形”、大小不变，还有别的数学知识也　存在这种现象：数字改写，如２００００＝２万：单位　均可由梯形面积计算公式推导出，结论得出的过程　具有趋同性。教完这三种图形的面积计算公式后，　再引导学生回过头来分析这种变化关联中“变”与　“不变”的关系，那么这三个面积计算公式就不是独　立存在的个体，而是充满有机联系的整体。　王国维先生在《人间词话》中说：　“诗人对宇　宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。入乎其内，　故能写之。出乎其外，故能观之。”数学教学也需要　换算３米＝３００厘米；除法计算，如４＋０．０８＝４００＋８。　这样就把零散的相关的知识连“线”结‘‘网”，形成　有机体，把原本貌似无关的零散知识点整合成一个　有机体，激活了旧知，增添了趣味性，同时调动了　学生学习的积极性。　二、挖掘隐性关联。丰富认知　小学数学中的很多问题，学生还无法直面本质，　无法投入其本原性问题的探究中，但其涉及的数学　思想方法必须让学生有所体悟，为学生后续学习播　下可持续发展的种子。这恰恰喻示了挖掘知识问隐　性关联对丰富学生认知的重要性。　如，某教师引导学　生探究“圆木有几根”，　如右图，设计了几个问　题：①圆木的堆放有何　特点？　（下层总比上层　多１。）②如果不按“逐层多１，，的规律堆放，而是　无规律乱堆放，还可以用梯形面积计算公式计算吗？　（学生举例验证。）③如果按“逐层多２”的规律堆放　呢？此题表面上在求梯形面积，其数学本质却是等　差数列求和。教师引导学生探究简单知识背后蕴涵　的数学思想方法，初步体会等差数列求和在具体情　境中的应用，同时暗示了梯形面积计算公式在实际　情境中运用的条件，防止学生机械套用。这是一种　有“奠基”意义上的教法。在此过程中，学生从对　图形的观察、比较，到举例、验证、提出猜想，进　而用数学语言加以表达，把梯形面积公式与等差数　列求和公式建立联系。虽说这种联系只是一种没有　言明的体悟，但这不正是珍贵的数学思考吗？善于　把简单知识教得厚重，赋予不显眼的一道题以深度　探究的意义，这正是执教者善于追问知识间隐性关　联所散发的教学魅力。　三、寻找变化关联，拓展认知　变化关联类型存在于两个或两个以上对象之间，　学生较难独立发现其关系，需要教师突破常规思维　加以引导。如，梯形面积计算公式为ｓ＝　（ａ＋ｂ）ｈ，当　Ｚ　ａ＝Ｏ时，梯形变成三角形，其面积为ｓ＝（Ｏ＋ｂ）　：　１　ｂｈ；　Ｚ　当ａ＝ｂ时，梯形变成平行四边形，其面积为ｓ＝（ａ＋ａ）＾＝　５６福正数　２０１１．５　引领学生“入其内”，又“出其外”。“入其内”才　能洞悉知识关联，　“出其外”方能高屋建瓴构建数　学知识的整体意义。◇　美国心理学家马斯洛的“成长动机说”认为，　每个人都潜藏着“自我实现的创造力”，良好的思维　是成才的重要心理品质。数学是培养思维能力的基　础课，其教学活动中蕴涵着无穷的创造因素。古人　云：“学源于思，思源于疑。”任何思维都是从发现　问题开始，以解决问题而告终。因此，“解决问题”　教学对培养小学生的思维能力具有特殊的作用。但　是，要提高思维能力培养的实效性，教师还要遵循　思维发展的基本规律，抓住训练重点，有针对性地　优化教学策略。　一、明确重要前提：充分感知。展开思维　小学生的思维正处在由具体形象思维到逻辑思　维过渡的阶段，在很大程度上还要以形象思维作为　认知基础。形象思维的基础材料是表象，而表象是　对直观材料的初步概括，因此积累并充分感知表象　是小学生思维展开的重要前提。在“解决问题”教　学中，教师要善于联系生活、贴近生活，以学生熟　知的、亲近的、现实的生活创设直观形象的教学环　境，让学生充分感知题目所呈现的具体表象，进而　明确问题所反映的数量关系，理清解题思路，探索　解决问题的有效方法，展开逻辑思维。例如教学北　９６０＋１　ｌ２０＝２０８０（７１２）。　三、立足关键环节：比较辨析，深化思维　师版五年级上册《数学与交通》中“相遇问题”：　比较辨析是探求事物间联系的思维过程，包括　求同和求异两种类型。小学生的比较思维能力发展　是一个不断深化的过程，刚开始比较，容易发现事　物的相异点，并逐步从比较明显的差异发展到比较　细微的差异。然后，才能发现事物的相同点或相似　点。起初只能直观地区分具体事物的异同，还不善　于判断本质的差别，渐渐地才会区分抽象事物的异　“张叔叔在天桥要给在遗址公园的王阿姨送一份材　料。他们约定两人同时坐车出发。遗址公园距天桥　５０千米，已知张叔叔坐小轿车，车速６Ｏ千米／，ｊ、时；　王阿姨坐面包车，车速４０千米　、时。他们出发后几　时相遇？”在理解题意阶段，教师必须通过图像直观　（挂出题目内容示意图）、动作直观（让学生根据图　意表演）以及符号直观（线段图）等，让学生多角　度充分感知题意，从中积累反映“相向”　“同时”　“相遇”“速度”“速度和”“时间”“距离”等概　念的表象，理解表象间的相互关系，进行分析、综　合，从中找出决定整体特征的本质联系，即“面包　车行驶的路程＋小轿车行驶的路程＝总路程”。这样，　在分析、解决问题的过程中，学生的思维自然而然　得到了发展。　二、把握基本过程：分析综合，发展思维　分析和综合作为重要的逻辑思维方法，也是进　行思维的基本过程。分析是指将事物的整体分为各　个部分加以研究，从而认识事物的本质属性ｉ综合　则是把事物的各个部分联系起来加以研究，从而认　识事物整体构成的思维过程。在数学教学中，分析　就是由问题入手，逐步探索解决问题的条件；综合　则是由条件入手，逐步探索能够解决的问题。问题　解决的思维过程一般就是根据具体问题将分析与综　合结合起来，沟通条件与问题的联系，建立起清晰　的思维脉络。例如，北师版五年级下册“用分数乘　法解决问题”的题目：　“五一‘黄金周’，星星游乐　场第一天的门票收入为９６０元，第二天比第一天增　加了　，这两天的门票收入一共是多少元？”教师可　。　让学生先运用图像直观感知题意，再抓住题目中的　问题进行分析，探求这一问题中蕴涵的数量关系。　分析时，可引导学生剖析题目中的“问题”部分，　启迪学生思考、探究：　“这两天的门票收入一共是　多少元”中的“一共”由几个数量组成：第一天的　门票收入与条件中的什么数字有联系；第二天的门　票收入与条件中的什么数字有联系；如何从第一天　和第二天门票收入的联系中求出第二天的门票收入。　然后，引导学生综合信息，形成解题思路，得出解　题方法：先根据两天的门票收入之间的数量关系求　出第二天的门票收入，然后将两天的门票收入相加，　得出“共多少元”，即９６０ｘ（１＋　）＝１１２０（元），　同，区分简单事物的本质差异。可以说，培养学生　的比较辨析能力是训ｌ练思维深刻性的关键环节。因　此，在“解决问题”教学中，教师要善于恰当地运　用比较的思维方法，通过求同和求异的判断，帮助　学生辨析概念，分清方法优劣，找出事物间的区别　与联系。这样，不仅能帮助学生克服思维定式，提　高思维的系统性和逻辑性，还能促进学生不断更新　自己的认知结构，提升思维的深刻性。例如，用分　数乘除法解决问题：①我们学校电脑上网网速正常　情况下是ｌＯＭｂｐｓ，某公司的上网网速比我们学校的　网速快＿１，该公司的上网网速是多少Ｍｂｐｓ？②我们　４－　学校电脑上网网速正常情况下是ｌＯＭｂｐｓ，比某公司　的上网网速快　，该公司的上网网速是多少Ｍｂｐｓ？　斗　教师可运用线段图让学生充分感知，再引导学生　比较两道题的不同点和相同点，得出：由于比较　的标准不同，比较所得结果的含义也不同，因此　这两道题中数量关系的表达式也不相同。在学生　经过比较列出两道题的解答算式后，教师进一步　引导学生对两个算式进行比较，以加深学生对数　量关系的理解。　四、关注创新品质：开放探索，发散思维　发散思考是指思维沿着不同方向展开，获得不　同思维结果的过程，是创造性思维品质的具体表现。　培养学生的发散思维，是一种综合性的心智训练，　并非为了发散而发散，因此必须让学生熟悉基本的　逻辑思维方法，经过联想、转换、互逆等各种过程，　不断提高思维的流畅性、变通性和独特性。开放性　问题由于条件不充分或没有确定的思路、结论，其　解题策略往往是多样的，有利于学生在做数学、谈　数学、用数学的过程中学习知识、掌握方法，促进　学生拓展思维广度、提升思维品质。教师可以采用　问题变式培养学生的发散思维，把条件结论完整的　题目改造成先猜结论再进行证明的形式，让学生探　２０１１．５塥ＩＬ　５７　求多个结论或多种解法；也可以给出结论，让学生　补充条件；还可以将题目的条件、结论进行拓展演　地表达出来，以形成抽象概念。　例如，在认识三角形的概念之前，学生头脑里　变，形成拓展性问题。例如，教学北师版五年级上　可能有红领巾、三角架、交通警示牌、三角板等各　种实物三角形的形象。但这些形象都不是概念中的　册《尝试与猜测》中的“鸡兔同笼，有２０个头，５４　条腿，鸡、兔各有多少只”时，教师应尽可能引导　三角形，而是经过初步抽象的三角形的表象。这时，　学生对三角形概念的理解可能是“有三条边、三个　角的图形”，也可能是“由三条线段组成的图形”，　学生用列表法、算术法、方程法　画图法等多种方　法解决问题，而不能仅仅局限于得出答案。实践证　明，问题变式和～题多解的训练，不仅可以培养学　生善于联想、分解组合、灵活变通的思维能力，还能　而“有三条边、三个角的图形”“由三条线段组成　的图形”都不是三角形的本质特征。这时，如果教　为学生提供交流合作的机会，充分发挥学生的主体　作用。◇　小学阶段作图教学的要求并不高，许多看来很　重要的内容，例如画垂线、画高等，只学不考；具　体的作图教学，基本上都是要求在方格纸上画图。　这就意味着我们需要把准作图教学的尺度和侧重点，　应侧重引导学生经历探索作图方法的过程，理解作　图的依据，感悟作图的意义，内化作图的策略、养　成严谨的作图习惯等，以发展学生思维能力、学习　能力。作图应作为一种发展学生空间观念的手段，　帮助学生经历从图形到概念的抽象过程。下面就如　何利用作图教学促进学生对概念的理解谈几点体会。　一、概念的形成——通过作图外化概念的表象　表象是事物不在眼前时，人们在头脑中出现的关　于事物的形象。由于小学生的知觉水平有限，因此他　们的表象水平也处于初级阶段，即对概念的认知大多　处于形象阶段，还未能概括出抽象的概念图形。而作　图是将积累的表象外化成概念所指的图形，是对概念　的形象描绘。作图，既不像词概念那样需要克服文字　障碍进行抽象地概括和表达，又可以体现事物的本质　属性，因此可以促进学生在边思考边画图的过程中对　头脑中的表象进行３ｎ　Ｔ，借助形象思维和抽象推理的　相互作用，提高表象的抽象水平，将概念的形象鲜明　５８福止觳｛２０Ｉ１．５　师让学生用尺子画一个三角形，并将学生画的标准　和非标准的三角形都加以展示、辨析，那么学生对　“相邻两条线段的端点相连”　（即“围成”）就有了　深刻的印象，因为只有相邻两条线段的端点相连才　能封闭，画出的才是三角形的形象，否则就不是三　角形的形象。可见，表象虽然具有概括性，却又低　于词的概括水平，能为词的思维提供感性材料。鉴　于小学阶段的学生表象水平具有直观形象性的特点，　教师可以充分利用作图，提高表象的概括性，从而　更好地实现感知与思维之间的过渡。学生通过作图　活动将表象外化成图形，有助于真正理解概念。　二、概念的理解——通过作图理解概念的内涵　用高度的概括性和抽象性来体现事物的本质属　性是概念的重要特征。因此，对于以具体形象思维为　主，逐步向抽象思维过渡的小学生来说，教师不仅应　引导他们充分观察、想象概念所指的具体原型，积累　表象；还应引导他们动手画图、用数学特有的符号和　图形来再现概念所指的具体形象，使获得的概念形象　更加鲜明。否则，就算是学生记住了概念的描述，也无　法在具体情境中灵活应用。　例如，在学生直观感知线段、射线、直线的特　征后，教师可引导他们借助尺子画几厘米长的线段，　画一条射线，画一条直线。画线段时，必须定起点，　量长度，定终点；画射线时，定起点，画线；画直　线时无需定点，只要沿尺子画线就成。这么一画，　“线段有两个端点，可以度量长度；射线只有一个端　点，可以向一端无限延长，没有一定的长度；直线　无端点，可以向两端无限延长，没有一定的长度”　的特征，无需过多的解释，学生就能理解。　又如，教学《圆的认识》时，某教师开门见山地让　学生尝试用圆规画圆，进而弓Ｉ导学生仔细观察教师在　黑板上画圆。教师刚开始画圆时，要么针尖没有固定，　画出的图形不圆；要么圆规两脚尖的距离变化了，画　出的图形不圆；要么没有旋转完整的一周，画出的圆　不封闭。这样，学生通过观察教师从不规范到规范地