角
角，既可以用静止的眼光来观察，也可以用运动的眼光来看待．具有公共端点的两条射线组成的图形或一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一位置所成的图形，称为角．
角也是几何学的基本图形之一，与角相关的知识有：周角、平角、直角、锐角、钝角、角平分线、数量关系角(如余角、补角)、位置关系角(如邻补角、对顶角)等概念及关系．
解与角有关的问题，类似于解与线段相关的问题，常常用到重要概念、分类的思想、代数化的观点等知识与方法．
例题
【例1】如图是一个3× 3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是 ．
思路点拨 除∠3＝∠5＝∠7＝45°外，其他各角的度数无法求出，故不能顺序求和．考虑应用加法的交换律、结合律，关键是对图形进行恰当的处理．
【例2】 如图．A、O、B在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是( )．
11113A．∠2一∠l B．∠2一∠1 C．（∠2一∠l） D．（∠2+∠1）
32222
思路点拨 ∠1的余角表示为90°一∠1，化简这个代数式，直至与选择项相符为止． 注：概念是数学的基础与出发点，几何的学习贯彻着丰富的概念，为掌握重要的几何概念，应注意以下几点：
(1)重视概念的图化，即用田来反映出概念，做到图意相通．
(2)图文互译，由图说出概念，由概念的文字叙述画出图，做到会说、会写、会画． (3)注意概念判定与性质在解题中的双重作用．
【例3】 已知∠1和∠2互补，∠3和∠2互余，求证∠3=
1 (∠l一∠2)． 2
思路点拨 依据互补、互余的概念得到含∠l、∠2、∠3的两个等式，盯住所要达到的目的，恰当处理两个等式．
【例4】 如图，已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，∠BOE=
1∠EOC，∠DOE= 72°，求∠EOC的度数． 2
思路点拨 设∠AOB=x度，∠BOC= y度，建立x、y的方程组，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．
【例5】(1)如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分之∠BOC，求∠MON的度数．
(2) 如果(1)中∠AOB=α，其他条件不求，求∠MON的度数． (3) 如果(1)中∠BOC=β（β为锐角），其他条件不求，求∠MON的度数． (4)从(1)、(2)、<3)的结果中能得出什么结论?
(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)~(4)设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律，并给出解答．
思路点拨 本例层层设问，由易到难，从特殊入手，观察归纳，发现一般规律，并运用类比的方法(线段与角相关概念类比)提出问题，是一个从模仿到创造的过程，根据条件，结合图形寻找图形中各种数量之间的关系是解这类问题的常用方法．
注：互余、互补的概念在角的计算与证明中占有重要地位，由这两个概念得到的两个等式，是几何问题代数化的桥梁，方程(组)的应用，可以简洁、清晰地表示出几何量之间的数量关系。
探索是数学发现的先导，探索性数学问题是近年出现在中考竞赛中的新题型，解答这类问题，有一个探索发现结论的过程，要对结论论作出判断，这就需要展开观察。试验、类比、归纳、猜测等探索活动，有启迪科学方法的作用，具有创速发现的意义，具有较高层次的训练价值．
【例6】 钟面上从2点到4点有几次时针与分针的夹角为60°?分别是几点几分? 思路点拨 第一次正好为两点整；
第二次设为两点x分时，时针与分针的夹角为60°，则x=10+x+10，解之得x=219(分)；
1211第三次设为两点y分时，时针与分针的夹角为60°，则y+10=y +15，解之得y=55 (分)； 1211第四次设为3点z分，时针与分针的夹角为60°，则z=15+z+10，解之得z=273(分)． 1211注：时钟问题的关键是将时针、分针、秒针转动的速度用角表示出来．时针转动的速
度为0.5°／分，分针为6°／分，秒针为360°／分．
学力训练
1．一个角的补角与这个角的余角的度数比为3：l，则这个角是 度． 2．钟表时间是2时15分时，时针与分针的夹角是 ．
3．由O点引出的7条射线如图，若OA⊥OE，OC⊥OC，∠BOC>∠FOC，则图中以O为顶角的锐角共有 个．
4．如图，O是直线AB上一点，∠AOD＝120°，∠AOC=90°，OE平分∠BOD，则图中彼此互补的角有 对．
5．如图，∠AOB=180°，OD是∠COB的平分线，OE是∠AOC的平分线，设∠BOD=α，则与α的余角相等的角是( )．
A．∠OOD B．∠ODE C．∠DOA D．∠COA
6．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB，AC，那么这两条对角线的夹角等于( )．
A．60° B．75° C．90° D．135°
注：解钟表上的问题，常用到以下知识：
(1)钟表上相邻两个数宇之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如与角度联系起来，每小格对应6°．
(2)秒钟每分钟转运360°，分针每分钟转过6°，时钟每分钟特过0.5°． (3)画示意图把这类问题看成是行程问题中的追及问题来解决．
7．将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为( )． A．60° B．75° C．90° D．95°
8．如图，∠1>∠2，那么∠2与
1 (∠1一∠2)之间的关系是( )． 2 A．互补 B．互余 C．和为45° D．和为22．5°
9．如图，已知A、O、E三点在一条直线上，OB平分∠AOC，∠AOB+∠DOE=90°，试问：∠COD与∠DOE之间有怎样的关系?说明理由．
10．(1)一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形组成．利用这副三角板构成15°角的方法很多，请你画出其中三种不同构成的示意图，并在图上作出必要的标注，不写作法．
(2)一个长方形和一个正方形摆放如图，试找出除直角外的互余的角和互补的角． 11．α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算
1()的值 时，15有三位同学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果，其中确有一个是正确的答案，则 ．
12．如图，O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD＝90°，OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的是 ，与∠DOE互补的角是 ．
13．以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC=5：4，若∠AOB=15°，则∠AOC的度数是 ．
14．光线以图所示的角度α照射到平面镜I上，然后在乎面镜I、Ⅱ之间来回反射，已知∠α=60°，∠β=50°，则∠γ＝ ．
14．若∠β与∠α互补，∠γ与∠α互余，且∠β与∠γ的和是的( )． A．2
4个平角，则∠β是∠α31倍 B．5倍 C．11倍 D．无法确定倍数 515．4点钟后，从时针到分针第二次成90°角，共经过( )分钟(答案四舍五入到整数) ．
A．60 B．30 C．40 D．33
17．如图，从点O引出6条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，且∠AOB＝100°，OF平分∠BOC，∠AOE＝∠DOE，∠EOF=140°，求∠COD的度数．
18．过点O任作7条直线，求证：以O为顶点的角中必有一个小于26°． 19．钟面上从2点到4点有几次时钟与分针夹成60°的角?分别是几点几分?
20．(1)现有一个19°的“模板”(如图)，请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来．
(2)现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来? (3)用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来?
对于(2)、(3)两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由．
参考答案
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