对二阶变系数线性微分方程求解法的研究

理论前沿　对二阶变系数线性微分方程求解法的研究　张文英　内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗昭君镇中心小学　内蒙古摘鄂尔多斯０１４３００　要：本文推导二阶变系数线性微分方程的一般解法。从特殊型和一般型的二阶变系数线性微分方程进行研究，首先研究某些特　殊型的二阶变系数线性微分方程。本文研究了三种满足特殊条件的二阶变系数微分方程，在此基础上，研究一般型的二阶变系数线　性微分方程。从方程的自身特点出发，巧妙构造结构，利用降阶法把二阶变系数线性微分方程的求解问题转嫁为一阶线性微分方程　的求解问题。首先构造结构系数函数，然后利用构造结构的系数函数，通过降阶法得到求二阶变系数线性微分方程通解或特解的一　般方法。　关键词：二阶变系数齐次线性微分方程；二阶变系数非齐次线性微分方程；一阶线性微分方程；通解；特解　中图分类号：Ｇ６　３１　文献标志码：Ａ　引言　在微分方程的理论中，二阶线性微分方程占有十分重要的　位置。国内外现行《高等数学》中的方程…，只是对常系数微　分方程的情况做了详细的讨论，　《常微分方程》也未对二阶变　系数微分方程的解作进一步的阐述。一般的变系数微分方程的　通解没有普遍的求法。在高等数学中，只有对欧拉方程这种特　殊的变系数微分方程研究了它的解法　。本文通过研究几种特　殊的二阶变系数线性微分方程通解的求法，推导二阶变系数线　性微分方程的通解的一般求法，包括二阶变系数齐次线性微分　方程和二阶变系数非齐次线性微分方程。诣在解决二阶变系数　线性微分方程的求解问题，并得出成规的求解的方法与结论，　以便适应在工程技术的实际领域或学生在学习相关专业中的需　要。　ｌ　方程的求解方法　考虑如下的二阶变系数微分方程　ｙ　ｐ　）　）　Ｏ　（１）　其中Ｐ　），目　）都是连续函数，当ｐ　），ｇ　），Ｐ　）满足一　定条件时，通过适当的变量代换；方程（１）可化为欧拉方程，　进而求出其通解．　引理ｌ　假如方程　Ｙ　）　ｇ　）　（　）中ｑ　）＝÷　）＋２ｐ　）］．　只需引进变量ｙ：ｅ　ｖ（　），则方程可化为　ｖ　（　）＋　’（　）＋　ｖ（　）：＿厂（　）　一　。”“　定理１当ｑ（ｘ）一　１　ｐ　（ｘ）一　１　ｐ。（ｘ）＝　时，方程（１）可通过变　量代换　：　（　）．Ｐ　２』（－ｐ（ｘ））ｄｘ化成欧拉方程且通解为　（Ｉ）ｃ＜÷时，ｙ：（ｃｌ　譬＋　．　（ＩＩ）ｃ＝ｉｌ时，ｙ：（ｃｌ＋　Ｉｎ　）　Ｉ．Ｐ｛　．　（ＩＩＩ）ｃ＞｛时，　【ｃｌｃ０ｓ（　ｌｎ　ｍｌｔ√－　　Ｔ－－ｌｎ坍　证明：设ｙ：　（　）ｅ　“　，这里＆　）为待定的连续可微　函数，此时有　’：　（　＋　（　）（　（　一Ｐ（　））　ｙ　：　（　Ｐ　ｆ‘　‘功　＋　“。（砷位（　）一ｐ（砷）Ｆ　』　＋　１（　（　）ｐｏ））“　（　）　ｆ　‘瑚　１＋　“（　）（口。（　）一ｐ。（　））　＋　ｏ）（　（　）一ｐ　ｅ　　‘将Ｙ，Ｙ’，Ｙ”代入方程（１），得　“’’（　＋　（　“。（　）＋【　（　）一　１　ｐ　（　）一ｉ１　ｐ’（　１口’（　＋　（　（　＝０（２）　４　２９６一　文章缟号：１６７１－５８６１（２０１５）０６－０２９６－０２　因为ｇ（　卜　１　Ｐ２（　卜　１　ｐ’（　）＝　所以（２）式化为　（　＋。０）“（　）＋［孝＋　（　＋　１　】“（　＝０（３）　若设吣）＝；，则（３）为欧拉方程，将其代入（３）得　（　ｃ，　）＋　ｃ￣＋２ｃ　。　（４）　或　“　（　＋ＣＸＵ＇（　一ｃ＇　＋２ｃ“（　）＝。　（５）　令ｔ＝ｌｎｘ，则ｘ＝ｅ　，（５）式化为　ｗ。（ｏ＋（ｃ—Ｄ“’（０＋！：≠“（０＝。　（６）　（６）式变成为常系数线性微分方程未知函数为Ｕ（ｔ），自变　量换成ｔ．求解（６），再由ｔ＝Ｉｎｘ代回“（，），得到　∽，从而　得到方程（１）的解．具体解法如下：　方程（６）对应的特征方程为　＋（ｃ　ｚ＋半＿ｏ，　判别式　：（ｃ－１）　一４・￡　＝１＿４ｃ．分以下三种情况讨论：　（Ｉ）当Ａ＞Ｏ即ｃ　ｉ１时，特征方程有两个相异实根　＾＝　２　方程（６）的通解为　ｌ－ｃ＋Ｉ￣４ｃ１－ｃ－￣－Ｉ４ｃ　—ｆ——“（ｆ）＝Ｃ，ｅ　＋Ｃ２ｅ　将ｔ＝ｌｎｘ代入上式，得　１ｃ￣￣１－－４ｃ　１－　ｃ－￣１４ｃ　—ｕ（ｘ）＝ｃ１　＋Ｃ２　所以方程（１）的通解为　ｙ＝　：　（Ａｘ　＋ｅ　＋Ｃ２　）　ｃ’　若ｃ＝０，即４ｑ　）　。　）一　）＝Ｏ时，方程（１）的通解为　：（ｑ　＋ｃ２）Ｐ－ｑ‘舳‘　一　（ＩＩ）当Ａ＝Ｏ即ｃ＝　１时，特征方程有两个二重根　２＝告　方程（６）的通解为　三ｌ　“（ｆ）＝（ｃｌ＋Ｃ２Ｏｅ。．　将ｔ－＝ｌｎｘ代入上式有　！　（　）＝（Ｇ＋　Ｉｎｘ）ｅ。．　所以方程（１）的通解为　ｙ：（ｃｌ＋　ｈ　）ｘ　．。一　（ＩＩＩ）当Ａ＜Ｏ即ｃ＞÷时，特征方程有一对共轭复根　１一ｃ＋√　，　———　一／Ｌ２　——＿厂一１一ｃ一√　　．　中国科技经济新闻数据库教育　方程（６）的逋解为ｖ“＋［２ｕ＋ｐ（ｘ）】ｖ’：　（　）　————　“（ｆ）：ｅ等　［ｃｌ　ｃ。ｓ（ｘ／４ｃ－１　ｆ）＋Ｃ２　ｓｉｎ（掣ｆ）】・　显然（７）为可降阶的微分方程．利用可降阶的微分方程的　将ｔ－＝ｌｎｘ代入上式，有　求解方法可求得（７）的通解（即求得ｖ：ｖ　））为　）：　孚［ｃｌｃ。ｓ（　ｌｎ　Ｃ２　ｓｉｎ（掣ｌｎ圳‘　ｖ＝Ｂ　∞出［扩　）ｕｅＪＰ￣＞击　＋ｃ１］ｄｘ＋ｃ２．　其中积分ｌｐ（ｘ）ｄ￣，　∞　和　∞　∞‰　】　所以方程（１）得通解　都表示一个原函数，ｃ１和ｃ２为任意常数．由此得（１）的通解为　１－５ｃ＿ｌｎ训．。Ｊｐ∞出Ⅱ　）“　∞　＋ｃ１］ｄｘ＋ｃ２　），：　ｚ【ｃｌ。。。　ｌｎ　ｃ２　　功　・　ｙ＝ｅ　－２—般型＝阶变系数线性微分方程的求解方法　例１求方程），　＋（２ｘ一　＇＋ｘ２ｙ＝０的通解．　定义　若Ｐ　）、ｑ　）为连续非常数的函数，则称方程　．　解：这里ｐ∽＝　１　ｇ∽　。，且ｇ∽一　ｐ　（　）一　ｐ’（　＝一；　Ｙ　）　）ｙ＝ｆ（ｘ）　（１＿１）　为二阶变系数线性微分方程。如果厂　）恒等于零，那么该　此处ｃ＝一；　１．符合情况（Ｉ）．将ｃ＝－３４，ｐ（　）＝２Ｘ－　代入通解公　方程称为二阶变系数齐次线性微分方程；如果ｆ（ｘ）不恒等于零，　式并化简得方程的通解为　那么该方程称为二阶变系数非齐次线性微分方程。　ｙ＝（Ｑｘ　＋　．　假设二阶变系数非齐次线性微分方程中Ｐ　）具有一阶连续　设１＂１阶变系数线性非齐次微分方程　的导数、　∽连　）掣＋口１　）掣＋．　＿）　＋ａｎ（咖：　续．令　‘　ｖ　）＋“　）－＿ｐ　），　（１．２）　对应的齐次方程为　ｖ’　）＋ｖ　）”　）＝　），　（１．３）　）掣＋　）掣＋．．　（ｘ）　（　：０（２）　则方程（Ｌ　１）变形为　”＋［ｖ（　）＋　（ｘ）　＋【ｖ’（　）＋ｖ（ｘ）　（　）】ｙ＝，（　）　（１．４）　定理２若方程（２）的特解为　），则方程（１）的通解为　ｙ　）＝“　），　）　目口！　Ｉ・　：—：　；　兰　＋“（　）　’＋ｖ（　）　］＝，（　）　引理２　对于ｎ阶变系数线性微分方程　令Ｙ＝ｙ’＋ｖ　）　（１．５）　（　≥＋ｑ　）　兰　＋…＋口　（力窆＋　（　）　：ｏ　那么原方程（１．１）就化简为　“ｙ　）可　）．　有以下结论：　解之，得ｙ＝ｅ’　』，（咖　＋Ｇ『　，将之代入（１．５）式，　（１）若　一１∽　）＝Ｏ，则特解为　；　则方程（１．５）通过上述变换可降阶为　（２）若ａ０　）＋口１　）＋．．・＋ｄ　）：０，则特解为　＝　；　（３）若（一１）　）＋（一１）　ａ　）＋．．・　）＝Ｏ，则特解为　ｙ。　ｙ　“　咖卜　＋Ｇ］　ｙ＝ｅ－Ｘ：　此一阶线性非齐次微分方程的解就是我们所要求的二阶变　（４）若ｒ＂ａｏ　）＋，　ａ１　）＋．．・　）＝０，则特解为　．　系数非齐次线性微分方程的解㈣，而方程　上述寻找特解的方法要求系数要满足一定的条件，有时并　不好实现．但对于一些二阶变系数线性微分方程可通过变量代　），’＋ｖ（ｘ）　＝ｅ一　［』，（　）ｅ　ｃ６ｃ＋ｃ１］　换化为常系数方程，从而很容易求解．　的解为　考虑二阶变系数齐次线性微分方程　Ｙ　ｐ　）　）　＝Ｏ　（３）　＝＝ｅ一　ｙ（　｛Ｊｅ一　（　［Ｊ，（　“（　ｋ＋ｃ１］ｅ　Ｖ（　ｋｃ　ｃ　－　｝　其中Ｐ　），ｑ　）都是连续函数，当Ｐ　），ｑ　）满足一定条件　即　时，通过适当的变量代换，方程（３）可化为常系数微分方程，　进而求出其通解。　ｙ＝ｅ－　｛Ｌ　’　帅“恤ＪＬ　’ｆ　　ｄｘ＋ｃ】ＪＩｄ　ｘ＋ｃ２Ｊ｝　　定理３对于二阶变系数线性非齐次微分方程　总结　ｙ　∽　）　），　（１）　对一般的二阶变系数线性微分方程而言，由《常微分方　若Ｐ　），ｑ　），和实数ｒ满足　程》　教材　知，只要能求出二阶变系数齐次线性微分方程的　ｒ　（　ｒ＋　（ｘ）ｙ－Ｏ，　（２）　一个特解，则二阶变系数线性齐次或非齐次微分方程的解即可　则（１）的通解为　求得．尽管专家学者目前的研究给出了一些特殊类型的二阶变　ｙ＝　ｆ系数线性微分方程的求解方法，然而，如何求出其中的某一特　’Ｕ　　ｅ一　．［Ｊ，（’　　）ｕｅ　，Ｉｘ＋Ｃ１】　＋ｃ：　（３）　解是无法可循的．通过研究特殊类型的二阶变系数线性微分方　其中积分　∽　，扩　）　∞哆出和　∞　咖）　∽寥　＋　程的求解方法，深入研究了　Ｃ　】都表示一个原函数，Ｃ　和Ｃ２为任意常数．　一般二阶变系数线性微分方程的求解方法，包括二阶变系　证明：设方程（１）的解为　∽　∽，求导得　数齐次线性微分方程和二阶变系数非齐次线性微分方程．　Ｙ。＝　’Ｖ＋ｚｆＶ’，Ｙ”：甜”ｖ＋２ｕ、，＋“　’，　参考文献　将Ｙ，　，Ｙ”代入（１）化简得　［１】同济大学应用数学系．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版　“ｖ”＋（２　’　：　）“）ｖ’＋（””　：　）　’　ｇ　）　）ｖ＝ｆ（ｘ）　（４）　社，２００３，（２１）：１２８．　在（４）中，不妨令　【２］丁同仁，李承治．常微分方程教程［Ｍ］．北京：高等教育出　”　ｐ　）“’　ｇ　）ｕ＝Ｏ　（５）　版社，１９９１（１２）：１８３．　方程（５）为二阶变系数线性齐次微分方程，文献［４］给出　【３］陈惠汝，刘红超．二阶变系数线性微分方程的变量代换解法　一类若Ｐ　），ｑ　）满足（２），则方程（５）的一个特解必为　［Ｊ］．高等函授学报自然科学版，２００８，２１（３）：２１—２２．　／．／＝ｅ　（６）　［４］王高雄，周之铭．常微分方程［Ｍ】．第２版　北京：高等教　将（５）代入（４）整理得　育出版社，２００２，（１３）：８６．　——２９７—－