北京市2010中考数学题与评分标准

数 学 试 卷

学校 姓名 准考证号 1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。 考2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 生3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 须知 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．1．2的倒数是

11A． B． C．2 D．2

222．2010年6月3日，人类首次模拟火星载人航天飞行试验“火星 — 500”正式启动， 包括中国志愿者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12 480小时的“火星之旅”. 将 12 480用科学记数法表示应为

A．12.48103 B．0.1248105 C．1.248104 D．1.248103 3．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，

DE∥BC，若AD:AB3:4，AE6，则AC等于 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8

4．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为

A．20 B．16 C．12 D．10

5．从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是

1311A． B． C． D．

102536．将二次函数yx22x3化为y(xh)2k的形式，结果为

A．y(x1)24 B．y(x1)24 C．y(x1)22 D．y(x1)22

数学试卷 第 1 页 （共 6页）

7．10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：cm）如下表所示：

甲队 乙队 队员1 177 170 队员2 176 175 队员3 175 173 队员4 172 174 队员5 175 183 设两队队员身高的平均数依次为x甲，x乙，身高的方差依次为S2甲，S2乙，则下列关系 中完全正确的是 A．x甲x乙，S2甲SC．x甲x乙，S2甲S2乙 B．x甲x乙，S2甲S2乙

22乙 D．x甲x乙，S甲S2乙

8．美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线裁开， 用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放 在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么 ．．．．这个示意图是

A B

C D

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．若二次根式2x1有意义，则x的取值范围是 ．

10．分解因式：m34m .

11．如图，AB为⊙O的直径，弦CDAB，垂足为点E，连结

OC，若OC5，CD8，则AE ．

12．右图为手的示意图，在各个手指间标记字母 A，B，C，D.

请你按图中箭头所指方向（即 A→B→C→D→C→B→A→B →C → „ 的方式）从 A 开始数连续的正整数 1，2，3， 4，„，当数到 12 时，对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第2n1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是 （用含n的代数式表示）.

数学试卷 第 2 页 （共 6页）

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 113．计算：2010043tan60.

31

14．解分式方程

15．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EAAD，

FDAD，AEDF，ABDC． 求证：ACEDBF．

16．已知关于 x 的一元二次方程 x24xm10 有两个相等的实数根，求m的值及方

程的根． 17．列方程或方程组解应用题：

2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民 家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用 水各多少亿立方米．

18．如图，直线y2x3与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1） 求A，B两点的坐标；

（2） 过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP2OA，

求△ABP的面积．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABDCAD2，BC4．求B的度数

及AC的长．

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3x1． 2x4x2220．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O

过D、B、C三点，DOC2ACD90．

（1）求证：直线AC是⊙O的切线；

（2）如果ACB75，⊙O的半径为2，求BD的长．

21．根据北京市统计局公布的2006—2009年空气质量的相关数据，绘制统计图如下： 2006—2009年北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数统计图

（1） 由统计图中的信息可知，北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数与

上一年相比，增加最多的是 年，增加了 天；

（2） 表1是根据《中国环境发展报告（2010）》公布的数据绘制的2009年十个城市 空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比的统计表，请将表1中

的空缺部分补充完整（精确到1%）；

表1 2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比统计表

城 市 百分比

北京 上海 91% 天津 84% 昆明 100% 杭州 89% 广州 95% 南京 86% 成都 86% 沈阳 90% 西宁 77% （3） 根据表1中的数据将十个城市划分为三个组，

百分比不低于95%的为A组，不低于85%且 低于95%的为B组，低于85%的为C组．按 此标准，C组城市数量在这十个城市中所占的 百分比为 %；请你补全右边的扇形统计图．

2009年十个城市空气质量达到 二级和好于二级的天数占全年

天数百分比分组统计图

数学试卷 第 4 页 （共 6页）

22．阅读下列材料：

小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD8cm，AB6cm． 现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着与AB边夹角为45的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与 这条边夹角为45的方向作直线运动，并且它一直按照这种 方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿与BC边夹角 为45的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD 边夹角为45的方向作直线运动，…，如图1所示．问P点 第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合 ．．．．．时所经过的路径的总长是多少． ．

小贝的思考是这样开始的 : 如图2，将

矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形 A1B1CD．由轴对称的知识，发现P2P 3P2E，P. 1APE1图1

请你参考小贝的思路解决下列问题：

重合时所经过的路径的总长是 cm； ．．．

图2

（1）P点第一次与D点重合前与边相碰 次；P点从A点出发到第一次与D点．．．

（2） 进一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足ADAB．动点P从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位

置在矩形ABCD相邻的两边上. 若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则 ．．．

AB:AD的值为 .

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．已知反比例函数yk的图象经过点A(3，1)． x（1） 试确定此反比例函数的解析式；

（2） 点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，判断点B是

否在此反比例函数的图象上，并说明理由；

（3） 已知点P(m，3m6) 也在此反比例函数的图象上（其中 m0），过P点作x

轴的垂线，交x轴于点M． 若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是设Q点的纵坐标为n，求n223n9的值．

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1， 224．在平面直角坐标系xOy中，抛物线ym125mxxm23m2与x轴的交点分 44别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上． （1） 求B点的坐标；

（2） 点P在线段 OA 上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线 OB

交于点E，延长PE到点D，使得EDPE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直 角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）．

① 当等腰直角三角形 PCD的顶点 C 落在此抛物线上时，求OP的长； ② 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA

上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O点时停止运动，P点也同时 停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与 直线AB交于点F，延长QF到点M， 使得FMQF，以QM为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q 点运动时，M点、N点也随之运动）． 若P点运动到 t秒时，两个等腰直角

三角形分别有一条边恰好落在同一条 直线上，求此刻t的值．

25．问题：已知△ABC中，BAC2ACB，点D是△ABC内的一点，且ADCD，

BDBA．探究DBC与ABC度数的比值．

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明. （1） 当BAC90时，依问题中的条件补全右图．

观察图形，AB与AC的数量关系为 ；

当推出DAC15时，可进一步可推出DBC的度数为 ； 可得到DBC与ABC度数的比值为 ．

（2） 当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否

与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

数学试卷 第 6 页 （共 6页）

2010年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷答案及评分参考

阅卷须知：

1.为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。

2.若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。 3.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题 号 答 案 题 号 答 案 1 A 9 x1 22 C 3 Ｄ 10 m(m2)(m2) 4 A 5 B 11 2 6 D 7 B 12 8 B 二、填空题（本题共16分，每小题4分）

B 603 6n3 三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）

1解: 2010043tan60

331433 233．

114．（本小题满分5分）

解：去分母，得 32xx2．

整理，得 3x5．

5． 35经检验，x是原方程的解．

35所以原方程的解是x．

3解得 x15．（本小题满分5分）

证明：∵ ABDC，

∴ ACDB． ∵ EAAD，FDAD， ∴ AD90． 在△EAC与△FDB中，

EAFD， AD，

ACDB， ∴ △EAC≌△FDB． ∴ ACEDBF． 16．（本小题满分5分）

解：由题意可知 0．

数学试卷 第 7 页 （共 6页）

即 (4)24(m1)0． 解得 m5．

当m5时，原方程化为x24x40． 解得 x1x22．

所以，原方程的根为 x1x22．

17．（本小题满分5分）

解法一：设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水(5.8x)亿立方米． 依题意，得 5.8x3x0.6． 解得 x1.3．

5.8x5.81.34.5．

答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米． 解法二：设生产运营用水x亿立方米，居民家庭用水y亿立方米．

xy5.8, 依题意，得 

y3x0.6.x1.3, 解这个方程组，得 

y4.5.答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．

18．（本小题满分5分）

3解：（1）令 y0，得 x．

23∴ A点坐标为 (,0)．

2令 x0，得 y3． ∴ B点坐标为 (0,3)．

0)． （2）设P点坐标为 (x，依题意 得 x3．

∴ P点坐标分别为 P1(3,0)或P2(3,0)．

1327∴ SABP1(3)3；

224139SABP2(3)3．

224279或． 44四、解答题（本题共20分，每小题5分）

∴ △ABP的面积为

19．（本小题满分5分）

解法一：分别作AFBC，DGBC，F、G是垂足． ∴ AFBDGC90．

∵ AD∥BC，

数学试卷 第 8 页 （共 6页）

图1

∴ 四边形AFGD是矩形． ∴ AFDG． ∵ ABDC，

∴ Rt△AFB≌ Rt△DGC． ∴ BFCG．

∵ AD2，BC4， ∴ BF1．

在Rt△AFB中，

BF1 ∵ cosB，

AB2 ∴ B60．

∵ BF1， ∴ AF3． ∵ FC3，

由勾股定理，得 AC23． ∴ B60，AC23． 解法二：过A点作AE∥DC交BC于点E．

∵ AD∥BC，

∴ 四边形AECD是平行四边形． ∴ ADEC，AEDC．

∵ ABDCAD2，BC4， ∴ AEBEECAB．

可证△BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形． ∴ BAC90，B60．

在Rt△ABC中，ACABtan6023． ∴ B60，AC23．

20.（本小题满分5分）

（1）证明：∵ ODOC，DOC90，

∴ ODCOCD45． ∵ DOC2ACD90， ∴ ACD45．

∴ ACDOCDOCA90． ∵ 点C在⊙O上，

∴ 直线AC是⊙O的切线．

（2）解：∵ ODOC2，DOC90，

可求 CD22．

∵ ACB75，ACD45， ∴ BCD30． 作DEBC于点E． ∴ DEC90．

∴ DEDCsin302． ∵ B45，

∴ DB2．

21.（本小题满分5分）

解：（1）2008；28； （2）78%；

（3）30；

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图2

22．（本小题满分5分） 解：（1）5，242； （2）4:5．

解题思路示意图：

五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．（本小题满分7分）

k解：（1） 由题意得 1．

3解得 k3．

3． x（2） 过点A作x轴的垂线交x轴于点C．

∴ 反比例函数的解析式为 y在Rt△AOC中，OC3，AC1． 可得 OAOC2AC22，AOC30． 由题意，AOB30，OBOA2， ∴ BOC60．

过点B作x轴的垂线交x轴于点D． 在Rt△BOD中，可得 BD3，OD1． ∴ B点坐标为(1，3)． 将x1代入y3中，得 y3． x3的图象上． x∴ 点B(1，3)在反比例函数y（3） 由 y3 得 xy3． x∵ 点P(m，3m6)在反比例函数y∴ ∴ ∵ ∴

3的图象上，其中m0， xm(3m6)3． m223m10． PQx轴，

Q点坐标为（m，n）．

1∵ △OQM的面积是 ，

2数学试卷 第 10 页 （共 6页）

11OMQM． 22∵ m0，

∴ mn1．

∴ m2n223mn2n20． ∴ n223n1． ∴ n223n98．

24．（本小题满分8分）

m125m 解：（1）∵ 抛物线yxxm23m2经过原点，

44∴ m23m20． 解得 m11，m22． 由题意知 m1， ∴ m2．

15∴ 抛物线的解析式为 yx2x．

42∴

15n)在抛物线 yx2x上， ∵ 点B(2，42∴ n4．

4)． ∴ B点的坐标为 (2，（2）① 设直线OB的解析式为 yk1x． 求得直线OB的解析式为 y2x．

∵ A点是抛物线与x轴的一个交点，

0)． 可求得A点的坐标为 (10，2a)． 0)，则E点的坐标为 (a，设P点的坐标为 (a，根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1．

2a)． 可求得点C的坐标为 (3a，由C点在抛物线上，

15得 2a(3a)23a．

42即

9211aa0． 4222． ，a20（舍去）

9图1

解得 a1∴ OP22． 9② 依题意作等腰直角三角形 QMN．

设直线AB的解析式为 yk2xb．

10)，点B(2，4)，求得直线AB的解析式为 yx5．由点A(10，2 当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：

第一种情况：CD与NQ在同一条直线上，如图2所示． 可证 △DPQ为等腰直角三角形． 此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、 2t个单位．

数学试卷 第 11 页 （共 6页）

图2

∴ PQDP4t． ∴ t4t2t10． ∴ t10． 7第二种情况：PC与MN在同一条直线上，如图3所示． 可证 △PQM为等腰直角三角形．

此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位． ∴ OQ102t． ∵ F点在直线AB上， ∴ FQt． ∴ MQ2t．

∴ PQMQCQ2t． ∴ t2t2t10． ∴ t2．

第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示． 此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位． ∴ t2t10． ∴ t图3

10． 31010，2，． 73综上，符合题意的t值分别为

图4

25．（本小题满分7分）

解：（1） 相等 ；

15° ；

1︰3 ．

（2）猜想：DBC与ABC度数的比值与（1）中的结论相同．

证明：如图2，作 KCABAC，

过B点作BK∥AC交CK于点K，连结DK． ∵ BAC90，

∴ 四边形ABKC是等腰梯形． ∴ CKAB． ∵ DCDA，

∴ DCADAC． ∵ KCABAC， ∴ KCD3．

数学试卷 第 12 页 （共 6页）

图1

图2

∴ △KCD≌△BAD． ∴ 24，KDBD． ∴ KDBDBAKC． ∵ BK∥AC， ∴ ACB6． ∵ KCA2ACB， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴

5ACB． 56．

KCKB．

KDBDKB． KBD60．

ACB6601，

BAC2ACB12021．

1(601)(12021)2180，

221．

DBC与ABC度数的比值为1:3．

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