立体几何与空间向量知识点归纳总结

立体几何与空间向量知识点归纳总结

一、立体几何知识点

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。

棱柱的性质：侧面都是平行四边形；侧棱都平行，侧棱长都相等。

直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。

（2）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。

棱柱的性质：平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。

（3）棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱台。

棱台的性质：①上下底面平行且是相似的多边形；②侧面是梯形；③侧棱交于原棱锥的顶点。

（4）圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。

圆柱的性质：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆锥。

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圆锥的性质：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆台。

圆台的性质：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇环形。

（7）球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。

球的性质：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，l为母线）

'S直棱柱侧面积chS圆锥侧面积rlS正棱台侧面积

S圆柱侧2rh

S正棱锥侧面积1ch' 21(c1c2)h' S圆台侧面积(rR)l 2S圆柱表2rrl S圆锥表rrl S圆台表r2rlRlR2

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

V柱Sh V圆柱Shr2h V锥1Sh V圆锥1r2h

331'1'221V台(S'S'SS)h V圆台(SSSS)h(rrRR)h

333（4）球体的表面积和体积公式：V球=4R3 ； S球面=4R32

3、平面及基本性质

公理1 Al,Bl,A,Bl 公理2 若P,P,则a且P

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公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）

4、空间两直线的位置关系

共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线 5、异面直线

（1）对定义的理解：不存在平面，使得a且b （2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理：P15

★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形.

②向量法 cos|cosa,b||ab||a||b| （注意异面直线所成角的范围(0,

2

]

（4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；

②向量法 abab0

（5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.

6、 直线与平面的位置关系

1、直线与平面的位置关系

a,a//,aA

2、直线与平面平行的判定

b（1）判定定理: b//ab// (线线平行，则线面平行P17)

a（2）面面平行的性质：

//a// (面面平行，则线面平行) a3、直线与平面平行的性质

a//,aa//b (线面平行，则线线平行P18)

b;..

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★4、直线与平面垂直的判定 （1）直线与平面垂直的定义的逆用

l,la alm,ln（2）判定定理：m,nl （线线垂直，则线面垂直P23）

mnA（3）

a//ba （P25练习 第6题） b（4）面面垂直的性质定理：la （面面垂直，则线面垂直P51）

a,al（5）面面平行是性质：5、射影长定理

★6、三垂线定理及逆定理 线垂影线垂斜

//l l7、 两个平面的位置关系：空间两个平面的位置关系 相交和平行

8、两个平面平行的判定 （1）判定定理： （2）

a//,b//// （线线平行，则面面平行P19）

a,b,abPl// 垂直于同一平面的两个平面平行 l（3）//,//// 平行于同一平面的两个平面平行 （P21练习 第2题） 9、两个平面平行的性质

（1）性质1：//,aa//

//（2）面面平行的性质定理： a//b （面面平行，则线线

a,b平行P20）

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（3）性质2：//,ll 10、两个平面垂直的判定与性质

（1）判定定理：a,a （线面垂直，则面面垂直P50）

（2）性质定理：面面垂直的性质定理：la （面面垂直，则线

a,al面垂直P51）

12、 空间角：异面直线所成角（9.1）；斜线与平面所成的角 (0,2)

（1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足. （2）向量法：设平面的法向量为n，则直线AB与平面所成的角为，则

sin|cosAB,n|（3）两个重要结论

|ABn||AB|n|| (0,2)

最小角定理P48：coscos1cos2 ，P26,例4 P28第6题 13、空间距离：求距离的一般方法和步骤 （1）找出或作出有关的距离； （2）证明它符合定义；

（3）在平面图形内计算（通常是解三角形） 求点到面的距离常用的两种方法 （1）等体积法——构造恰当的三棱锥；

（2）向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：d|ABn||n|

直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解 异面直线的距离

① 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段） ② 求法：法1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法2 转化为点面距离

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向量法 d|ABn||n|（A，B分别为两异面直线上任意一点，n为垂直于两异面直

2222线的向量） 注意理解应用：lmnd2mncos

二、空间向量知识点 1、空间向量的加法和减法：

1求两个向量差的运算称为向量的减法，

它遵循三角形法则．即：在空间任取一点

，作a，b，则ab．

2求两个向量和的运算称为向量的加法：

在空间以同一点为起点的两个已知向量

b为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线C就是a与ba、

的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则． 2、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时，当0时，当0a与a方向相同；a与a方向相反；时，a为零向量，记为0．a的长度是a的长度的倍．

3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线． 4、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a，bb0，a//b的充要条件是存在实数，使ab．

5、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

6、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有

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序实数对x，y，使xyC；或对空间任一定点，有

xyC；或若四点，，，C共面，则

xyzCxyz1．

7、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b的夹角，记作a,b．两个向量夹角的取值范围是：a,b0,．

8、对于两个非零向量a和b，若a,b记作ab．

9、已知两个非零向量a和b，则abcosa,b称为a，b的数量积，记作ab．即ababcosa,b．零向量与任何向量的数量积为0． 10、ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosa,b的乘积． 11、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有

2，则向量a，b互相垂直，

1eaaeacosa,e；2abab0； 3ab5aba与b同向aba与b反向，aaa，aaa； 4cosa,b2abab；

abab．

12、空间向量基本定理: 若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组x,y,z，使得pxaybzc．

13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 14、设e1，e2，e3为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以e1，e2，e3的公共起点为原点，分别以e1，

z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz．则y轴，e2，e3的方向为x轴，

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对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p．存在有序实数组x,y,z，使得把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下pxe1ye2ze3．

的坐标，记作px,y,z．此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标x,y,z．

15、设ax1,y1,z1，bx2,y2,z2，则

1abx1x2,y1y2,z1z2．2abx1x2,y1y2,z1z2． 3ax1,y1,z1．

4abx1x2y1y2z1z2．5若

a、b为非零向量，则

abab0x1x2y1y2z1z20．

6若

b0，则

a//babx1x2,y1y2,z1z2．7aaax12y12z12．

8cosa,bababx1x2y1y2z1z2xyzxyz212121222222．

则dx2x12y2y12z2z12． 9x1,y1,z1，x2,y2,z2，

16、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为a，b．为平面上任意一点，存在有序实数对x,y使得xayb，这样点与向量a，

b就确定了平面的位置．

17、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量．

18、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则

a//ba//b

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abR，ababab0．

19．anan0，aaa//nan．

20、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则

//a//b

ab，abab0．

21、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有coscosabab．

22、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l与n的夹角为，则有sincoslnln．

23、设n1，n2是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1，（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角ln2的夹角

的平面角为，则cosn1n2n1n2．

24、在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直线l的距离为dcos,nnn．

25、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．

26、点是平面外一点，是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点到平面的距离为dcos,n

nn

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