等差数列 习题
一、选择题（共14小题；共70分）
1. 在等差数列 {𝑎𝑛} 中，𝑎1+𝑎9=10，则 𝑎5 的值为 ( )
A. 5
A. 𝑎1+𝑎101>0 A. 15 A. 32
A. 6，6，6，⋯，6，⋯ C. 5，8，11，⋯，3𝑛+2，⋯
B. 6
B. 𝑎2+𝑎100<0 B. 30 B. 64
C. 8
C. 𝑎3+𝑎99=0 C. 31 C. 108
D. 10 D. 𝑎51=51 D. 64 D. 128
2. 已知等差数列 {𝑎𝑛} 满足 𝑎1+𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎101=0，则有 ( ) 3. 已知在等差数列 {𝑎𝑛} 中，𝑎7+𝑎9=16，𝑎4=1，则 𝑎12 的值是 ( ) 4. 等差数列 {𝑎𝑛} 中，𝑎3=5，𝑎4+𝑎8=22，则 {𝑎𝑛} 的前 8 项和为 ( ) 5. 下列数列不是等差数列的是 ( )
B. −2，−1，0，⋯，𝑛−3，⋯ D. 0，1，3，⋯，
𝑛2−𝑛2
，⋯
6. 若等差数列 {𝑎𝑛} 的前 𝑛 项和为 𝑆𝑛，且 𝑎2+𝑎3=6，则 𝑆4 的值为 ( )
A. 12
8
B. 11 C. 10
83
D. 9
8
7. 若首项为 −24 的等差数列从第 10 项起为正数，则公差的取值范围是 ( )
A. (,+∞)
3
A. 𝑎1=−2，𝑑=3
8
B. (−∞,3) C. [,3)
D. (,3]
3
D. 𝑎1=3，𝑑=−2
8
8. 等差数列 {𝑎𝑛} 的前 𝑛 项和为 𝑆𝑛，𝑎5=10，𝑆3=3，则首项 𝑎1 与公差 𝑑 为 ( )
B. 𝑎1=2，𝑑=−3
C. 𝑎1=−3，𝑑=2
8
9. 若等差数列的首项是 −24，且从第 10 项开始大于 0，则公差 𝑑 的取值范围是 ( )
A. [3,+∞) A. 31 A. −3 A. 5 A. 21
B. (−∞,3)
C. [3,3) C. 33 C. 1 C. 3 C. 23
D. (3,3] D. 34 D. 2 D. 2 D. 24
10. 设数列 {𝑎𝑛} 是等差数列，其前 𝑛 项和为 𝑆𝑛，若 𝑎6=2 且 𝑆5=30，则 𝑆8 等于 ( )
B. 32 B. 0 B. 4 B. 22
1
11. 在等差数列 {𝑎𝑛} 中，𝑎4+𝑎5=15，𝑎7=15，则 𝑎2= ( )
12. 已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为 ( ) 13. 等差数列 {𝑎𝑛} 中，𝑎1=84，𝑎2=80，则使 𝑎𝑘≥0，且 𝑎𝑘+1<0 的正整数 𝑘=( ) 14. 在等差数列 {𝑎𝑛} 中，𝑎9=2𝑎12+3，则数列 {𝑎𝑛} 的前 11 项和 𝑆11= ( )
A. 24
B. 48
C. 66
D. 132
二、填空题（共4小题；共20分） 15. 等差中项
由三个数 𝑎，𝐴，𝑏 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，𝐴 叫做 𝑎 与 𝑏 的 ．
2
16. 已知 {𝑎𝑛} 是等差数列，𝑆𝑛 是其前 𝑛 项和．若 𝑎1+𝑎2=−3，𝑆5=10，则 𝑎9 的值是 ．
17. 若 2，𝑎，𝑏，𝑐，9 构成等差数列，则 𝑐−𝑎= ． 18. 完成下列各题．
（1）在等差数列 {𝑎𝑛} 中，若 𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4=30，则 𝑎2+𝑎3= ．
（2）设等差数列 {𝑎𝑛} 的前 𝑛 项和为 𝑆𝑛，𝑎2=−1，𝑆4=−8，则 𝑎𝑛= ；𝑆𝑛= ．
三、解答题（共2小题；共26分）
19. 已知等差数列 {𝑎𝑛} 的前 𝑛 项和为 𝑆𝑛，且 𝑆5=16，𝑆10=64，求 𝑆15． 20. 已知数列 {𝑎𝑛} 中，𝑎1=1，𝑎3=4．
（1）若数列 {𝑎𝑛} 是等差数列，求 𝑎11 的值； （2）若数列 {
11+𝑎𝑛
} 是等差数列，求数列 {𝑎𝑛} 的通项公式．
第一部分 1. A 2. C 3. A
【解析】由于题目中的数列是等差数列，就容易联想到利用相关性质来求解，并且注意到 7+
9=12+4，从而利用性质很快求解．
由 𝑎7+𝑎9=𝑎4+𝑎12，得 𝑎12+1=16．故 𝑎12=15． 4. B
【解析】设等差数列 {𝑎𝑛} 的公差为 𝑑，
又 𝑎3=5，𝑎4+𝑎8=22， 所以 2𝑎3+6𝑑=22，得 𝑑=2， 所以 𝑎1=𝑎3−2𝑑=1， 所以 𝑆8=8×1+5. D
𝑛2−𝑛2
8×72
×2=64．
【解析】选项A，B，C都是等差数列，数列 {
(𝑛+1)2−(𝑛+1)
2
} 不是等差数列．事实上，𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=
−
𝑛2−𝑛2
=𝑛 不是常数．
4(𝑎1+𝑎4)
2
6. A 7. D 9𝑑．
【解析】由于 𝑎1+𝑎4=𝑎2+𝑎3=6，故 𝑆4=
=
4(𝑎2+𝑎3)
2
=12，选A．
【解析】设该等差数列的公差为 𝑑，则 𝑎𝑛=−24+(𝑛−1)𝑑，𝑎9=−24+8𝑑，𝑎10=−24+
因为从第 10 项起为正数，
𝑎≤0,−24+8𝑑≤0,8
所以 {9 即 { 即 <𝑑≤3．
𝑎10>0,−24+9𝑑>0,38. A 9. D 10. B
𝑎1=,𝑎1+5𝑑=2,3
【解析】由已知可得 { 解得 {4 5𝑎1+10𝑑=30,𝑑=−,
326
所以 𝑆8=8𝑎1+11. B
8×72
𝑑=32．
5𝑎+20𝑑=15,12. C 【解析】{1⇒𝑑=3．
5𝑎1+25𝑑=30
13. B 【解析】由等差数列定义得，公差 𝑑=𝑎2−𝑎1=−4， 所以通项 𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑=88−4𝑛．
𝑎=88−4𝑘≥0,由 {𝑘 解得 21<𝑘≤22．
𝑎𝑘+1=88−4(𝑘+1)<0因为 𝑘∈𝐍∗， 所以 𝑘=22．
14. C 【解析】设公差为 𝑑，因为 𝑎9=2𝑎12+3，
1
所以 𝑎1+8𝑑=(𝑎1+11𝑑)+3，
2
1
整理可得 𝑎1+5𝑑=6，即 𝑎6=6． 所以 𝑆11= 第二部分 15. 等差中项 16. 20
【解析】设等差数列 {𝑎𝑛} 的公差为 𝑑，
2
则 𝑎1+𝑎2=𝑎1+(𝑎1+𝑑)2=−3，𝑆5=5𝑎1+10𝑑=10．
11(𝑎1+𝑎11)
2
=
11×2𝑎6
2
=66．
解得 𝑎1=−4，𝑑=3，则 𝑎9=𝑎1+8𝑑=−4+24=20． 17. 2
18. 15，−2𝑛+3，−𝑛2+2𝑛 【解析】（1）方法一 设等差数列 {𝑎𝑛} 的公差为 𝑑，
则 𝑎1+(𝑎1+𝑑)+(𝑎1+2𝑑)+(𝑎1+3𝑑)=30，即 2𝑎1+3𝑑=15． 因为 𝑎2+𝑎3=𝑎1+𝑑+(𝑎1+2𝑑)=2𝑎1+3𝑑， 所以 𝑎2+𝑎3=15． 方法二
由等差数列的基本性质，可得 𝑎2+𝑎3=𝑎1+𝑎4=（2）设等差数列 {𝑎𝑛} 的公差为 𝑑， 𝑎+𝑑=−1,依题意，得 {1
4𝑎1+6𝑑=−8.解得 𝑎1=1，𝑑=−2．
所以数列 {𝑎𝑛} 的通项公式为 𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑=−2𝑛+3． 前 𝑛 项和为 𝑆𝑛= 第三部分 19. （方法一）
𝑎1=,𝑆5=5𝑎1+2𝑑=16,25
由 { 可得 {10×932
𝑆10=10𝑎1+2𝑑=64,𝑑=25.所以 𝑆15=15𝑎1+（方法二）
在等差数列 {𝑎𝑛} 中，𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4+𝑎5，𝑎6+𝑎7+𝑎8+𝑎9+𝑎10，𝑎11+𝑎12+𝑎13+𝑎14+𝑎15 这三项也构成等差数列．
由 𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4+𝑎5=𝑆5=16，及 𝑎6+𝑎7+𝑎8+𝑎9+𝑎10=𝑆10−𝑆5=48， 可得 𝑎11+𝑎12+𝑎13+𝑎14+𝑎15=2×48−16=80， 又 𝑎11+𝑎12+𝑎13+𝑎14+𝑎15=𝑆15−𝑆10，
15×142
5×4
16
𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)
2
302
7
=15．
=
𝑛(−2𝑛+4)
2
=−𝑛2+2𝑛．
𝑑=144．
所以 𝑆15=80+𝑆10=144． （方法三）
由 𝑎6+𝑎7+𝑎8+𝑎9+𝑎10=得 𝑎6+𝑎10=
965
5(𝑎6+𝑎10)
2
=𝑆10−𝑆5=48，
，
96
又 𝑎6+𝑎10=𝑎1+𝑎15， 所以 𝑎1+𝑎15=所以 𝑆15=
5
15(𝑎1+𝑎15)
2
， =144．
3
20. （1） 设等差数列 {𝑎𝑛} 的公差为 𝑑，则 𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑， 由题设 2𝑑=4−1=3，所以 𝑑=2． 所以 𝑎𝑛=1+(𝑛−1)=−+
2
2
3
1
3𝑛2
．
12
15
12
320
13−3𝑛20
1
所以 𝑎11=16． （2） 设 𝑏𝑛=
13−3𝑛20
11+𝑎𝑛
，则数列 {𝑏𝑛} 是等差数列，𝑏1=，𝑏3=，𝑏𝑛=−
(𝑛−1)=
，1+𝑎𝑛
=
，
7+3𝑛13−3𝑛
所以 𝑎𝑛=
．
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