山东大学网络教育《线性代数(1-3)》

一．单选题.

1.下列（ A ）是4级偶排列．

（A） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 2341． 2. 如果

a11Da21a31那么D1（ D ）．

a12a22a32a134a112a113a122a213a222a313a32a13a23， a33a231，D14a21a334a31（A） 8； (B) 12； (C) 24； (D) 24．

3. 设A与B均为nn矩阵，满足ABO，则必有（ C ）．

（A）AO或BO； （B）ABO；

（C）A0或B0； （D）AB0．

4. 设A为n阶方阵(n3)，而A是A的伴随矩阵，又k为常数，且k0,1，则必有kA**等于（ B ）．

（A）kA； （B）k*n1A*； （C）knA*； （D）k1A*．

5.向量组1,2,....,s线性相关的充要条件是（ C ） （A）1,2,....,s中有一零向量 (B) (C) (D)

1,2,....,s中任意两个向量的分量成比例 1,2,....,s中有一个向量是其余向量的线性组合 1,2,....,s中任意一个向量都是其余向量的线性组合

6. 已知1,2是非齐次方程组Axb的两个不同解，1,2是Ax0的基础解系，k1,k2为任意常数，则Axb的通解为（ B ） (A) k11k2(12)122; (B) k11k2(12)122

(C) k11k2(12)122; (D) k11k2(12)－

122

7. λ＝2是A的特征值，则（A2/3）1的一个特征值是（B）

(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/4

-1

8. 若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B-I|=(B)

(a)0 (b)24 (c)60 (d)120

9. 若A是（ A ），则A必有AA．

（A）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵． 10. 若A为可逆矩阵，下列（ A ）恒正确． （A）2A2A； (B) 2A (C) (A)12A1 ；

111(A)1； (D) (A)(A1)1．

二．计算题或证明题

1. 设矩阵

3 Ak421k 23－1

2(1)当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得PAP为对角矩阵？

(2)求出P及相应的对角矩阵。

参考答案：

2. 设n阶可逆矩阵A的一个特征值为λ，A*是A的伴随矩阵，设|A|=d，证明：d/λ是A*的一个特征值。

3. 当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．

ax1x2x31 x1ax2x3a

xxaxa2231参考答案：

a11(a1)2,x2,x3. 当a1,2时有唯一解：x1 a2a2a2x11k1k2 当a1时，有无穷多解：x2k1

xk23 当a2时，无解。

4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．

10321130111,2,3,4,5

21752421460参考答案：

5. 若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，试证：ABBA是对称矩阵．

参考答案：

线性代数模拟题（二）

一．单选题.

1. 若(1)N(1k4l5)a11ak2a43al4a55是五阶行列式aij的一项，则k、l的值及该项符号为（ A ）．

（A）k2，l3，符号为负； (B) k2，l3符号为正； (C) k3，l2，符号为负； (D) k1，l2，符号为正． 2. 下列行列式（ A ）的值必为零．

2nn个； 阶行列式中，零元素个数多于n(A)

(B)

n阶行列式中，零元素个数小于n2n个；

(C) n阶行列式中，零元素个数多于n个；

(D) n阶行列式中，零元素的个数小于n个．

3. 设A，B均为n阶方阵，若ABABA2B2，则必有（ D ）． （A）AI； (B)BO； (C)AB； (D)ABBA． 4. 设A与B均为nn矩阵，则必有（ C ）． （A）ABAB；（B）ABBA；（C）ABBA；（D）AB5. 如果向量可由向量组1,2,....,s线性表出，则（ D/A ）

(A) 存在一组不全为零的数k1,k2,....,ks，使等式k11k22....kss成立 (B) 存在一组全为零的数k1,k2,....,ks，使等式k11k22....kss成立 (C) 对的线性表示式不唯一 (D) 向量组,1,2,....,s线性相关

6. 齐次线性方程组Ax0有非零解的充要条件是（ C ） (A)系数矩阵A的任意两个列向量线性相关 (B) 系数矩阵A的任意两个列向量线性无关 (C )必有一列向量是其余向量的线性组合 (D)任一列向量都是其余向量的线性组合

－

7. 设n阶矩阵A的一个特征值为λ，则(λA1)2＋I必有特征值（B）

22

(a)λ+1 (b)λ-1 (c)2 (d)-2

1 A1B1．

8. 已知

321A00a 与对角矩阵相似，则a＝（ A）

000 (a) 0 ; (b) －1 ; (c) 1 ; (d) 2

9. 设A，B，C均为n阶方阵，下面（ D ）不是运算律．

（A）ABC(CB)A ； （B）(AB)CACBC； （C）(AB)CA(BC)； （D）(AB)C(AC)B． 10. 下列矩阵（ B ）不是初等矩阵．

001100100100(A)010；（B）000；（C）020；（D）012．

100010001001二．计算题或证明题

1. 已知矩阵A，求A10。其中A参考答案：

10 12

-1-1

2. 设A为可逆矩阵，λ是它的一个特征值，证明：λ≠0且λ是A的一个特征值。 参考答案：

3. 当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．

ax1x2x3a3 x1ax2x32

xxax2231` 参考答案：

当a1,2时有唯一解：x1a133,x2,x3 a2a2a2x12k1k2 当a1时，有无穷多解：x2k1

xk23 当a2时，无解。

4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．

111121101,2,3,4

31204112参考答案：

极大无关组为：a2,a3,a4，且a1a2a3a4

5. 若A是对称矩阵，T是正交矩阵，证明T1AT是对称矩阵．

参考答案：

线性代数模拟题（三）

一．单选题. 1. 设五阶行列式aij． m，依下列次序对aij进行变换后，其结果是（ C ）

交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，

最后用4除第二行各元素．

（A）8m； (B)3m； (C)8m； (D)

1m． 43xkyz04yz0有非零解，则（ D ）2. 如果方程组． kx5yz0 （A）k0或k1；（B）k1或k2；（C）k1或k1；（D）k1或k3．

3. 设A，B，C，I为同阶矩阵，若ABCI，则下列各式中总是成立的有（ A ）． （A） BCAI； (B) ACBI； (C) BACI； (D) CBAI． 4. 设A，B，C为同阶矩阵，且A可逆，下式（ A ）必成立． （A）若ABAC，则BC； (B) 若ABCB，则AC； (C) 若ACBC，则AB； (D) 若BCO，则BO． 5. 若向量组1,2,....,s的秩为r，则（ D ） （A）必定r(B)向量组中任意小于r个向量的部分组线性无关 (C )向量组中任意r个向量线性无关

(D)向量组中任意个r1向量必定线性相关

6. 设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ C ）

(A)

12,23,31 ; (B) 1,12,321 ; 12,23,31 ; (D) 12,223,331 .

(C)

7. 设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，I为n阶单位矩阵，则（D） (a)λI-A＝λI-B (b)A与B有相同的特征值和特征向量

(c)A与B都相似于一个对角矩阵 (d)kI-A与kI-B相似（k是常数）

8. 当（C）时，A为正交矩阵，其中 Aab 0c(a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 . 9. 已知向量组1,2,3,4线性无关，则向量组（ A ） (A)

12,23,34,41线性无关;

(B) (C)

12,23,34,41线性无关;

12,23,34,41线性无关; 12,23,34,41线性无关.

a1Ab1c1a2b2c2a3a13c1b3b1c3c1a23c2b2c2a33c3b3． c3(D)

10. 当A（ B ）时，有

100103003100（A）010；（B）010；（C）010；（D）010．

301001101031二．计算题或证明题

1. 设A～B,试证明

－－

(1)Am～Bm(m为正整数)（2）如A可逆，则B也可逆，且A1～B1 参考答案：

2. 如n阶矩阵A满足A=A，证明：A的特征值只能为0或-1。 参考答案：

3. 当a、b取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．

2

x12x22x32x41x2x3x41 

xxx3xa2341x1x2x35x4b参考答案：

x11k2x1kk212 当a=0, b = －2时有解

x3k1x4k24. 判断向量能否被1,2,3线性表出，若能写出它的一种表示法．

82353756， ,,123710310321参考答案：

不能被1,2,3线性表示。

5. 若方阵A可逆，则A的伴随矩阵A也可逆，并求出A的逆矩阵． 参考答案： 证明（略），(A*)1**1A |A|