多维高斯积分

2021-10-15 来源：小侦探旅游网

设G和K是满秩矩阵。K的本征方程如下，

KVV (1)

VTKV (2)

其中，V是K正交归一化的本征矢量阵，是K的本征值1,2,构成的对角矩阵。试求下面的多维高斯积分。

1TTdzzGzexpzKz2

(3)

其中

zz1,z2,

T(4)

求解：

做积分变量代换

zVy (5)

将式(5)代入到式(3)，得

1TT1TTTTdyyVGVyexpyVKVydyyMyexpyy22

(6)

其中，

MVTGV 对于指数部分，非对角项已经消除，即

dyyTMyexp1T2yydy1mijyiyjexpij22iyiimy21212idyiexpiyimijdyyiyjexp2iyii2iiji由于，

mijdyyyexp1y2ijij2ii0i

所以，

(7)

(8)

(9)

dyyTMyexp1T2yymy211iiidyiiexp2iy2idykexpky2kk2m22ii3iikik2mkiikiiN2detTrM12NdetVTKVTrVTGVVTKV12NdetKTrVTGK1V2NdetKTrGK1 (10)

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