几个数公有的因数叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 最大公因数和最小公倍数的性质
(1)两个数分别除以它们的最大公因数,所得的商一定是互质数。 (2)两个数的最大公因数的因数,都是这两个数的公因数,
(3)两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
例:有一个长方体的木头,长3.25米,宽1.75米,厚0.75米。如果把这块木头截成许多相等的小立方体,并使每个小立方体尽可能大,小立方体的棱长及个数各是多少? 解:根据题意,小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚各数的最大公约数。即:(325、175、75)=25(厘米)
因为325÷25=13; 175÷25=7 ; 75÷25=3
所以13×7×3=273(个)或(325×175×75)÷(25×25×25)=273
例:有一个两位数,除50余2,除63余3,除73余1。求这个两位数是多少?
解:这个两位数除50余2,则用他除48(52-2)恰好整除。也就是说,这个两位数是48的约数。同理,这个两位数也是60、72的约数。所以,这个两位数只可能是48、60、72的公约数1、2、3、4、6、12,而满足条件的只有公约数12,即(48、60、72)=12。
练 习
1.新年联欢会上,张老师把42个打气球和30个小气球平均分给几个小组,正好分完。最多可以分给几个小组?每个小组分的大、小气球各多少个?
2.雨辰小学五年二班有54人,五年三班有63人,两班决定分小组去博物馆参观,两班每组人数相等并且没有剩余每小组最多有多少人?每个班可以分多少个小组? 3.同学们买了24朵百合花的18朵玫瑰花送个老师,两种花混在一起扎成一束,想要扎成每束百合花、玫瑰花朵数相同,最多扎几束?每束几朵百合花,几朵玫瑰花?
4.明明有一张长84厘米,宽60厘米的长方形纸板,剪成边长相等的小正方形,边长最长是多少?可以剪几块?
解答公约数或公倍数问题的关键是:从约数和倍数的意义入手来分析,把原题归结为求几个数的公约数或公倍数问题。
例:有三根铁丝,一根长18米,一根长24米,一根长30米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米?一共可以截成多少段?
分析:截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。先求这三个数的最大公因数,再求一共可以截成多少段。(18、24、30)=6 (18+24+30)÷6=12段
例:一张长方形纸,长60厘米,宽36厘米,要把它截成同样大小的长方形,并使它们的面积尽可能大,截完后又正好没有剩余,正方形的边长可以是多少厘米?能截多少个正方形? 分析:要使截成的正方形面积尽可能大,也就是说,正方形的边长要尽可能大,截完后又正好没有剩余,这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。 (36、60)=12 (60÷12)×(36÷12)=15个
例:用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同,白玫瑰花的朵数也相同,最多可以做多少个花束?每个花束里至少要有几朵花?
)
分析:要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束,每束花里的红白花朵数同样多,那么做成花束的个数一定是96和72的公因数,又要求花束的个数要最多,所以花束的个数应是96和72的最大公因数。
(1)最多可以做多少个花束? (96、72)=24 (2)每个花束里有几朵红玫瑰花? 96÷24=4朵 (3)每个花束里有几朵白玫瑰花? 72÷24=3朵 (4)每个花束里最少有几朵花? 4+3=7朵
练 习
1、有一堆西瓜与一堆木瓜,分别为24个与36个,将其各分成若干小堆,各小堆的个数要相等,则每小堆最多几个?这时候西瓜分成多少小堆?木瓜分成多少小堆 ? 2、甲、乙两队学生,甲队有121人,乙队有143人,各分成若干组,各组人数要相等,则每组最多有几人 ?这时候甲队可分成多少组? 乙队可分成多少组?
3、今有梨320个,糖果240个,饼干200个,将这些东西分成相同的礼品包送给儿童,但包数要最多,则每包有多少个梨? 有多少个糖果? 有多少个饼干? 4、有一张长6公分,宽4公分的长方形色纸,将它剪成最大的正方形而不浪费纸,此正方形边长为几公分 ?
例:公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5分钟发车一次,第二路车每隔10分钟发车一次,第三路车每隔6分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后,最少过多少分钟再同时发车?
分析:这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数,也就是说是5、10和6的公倍数,“最少多少时间”,那么,一定是5、10、6的最小公倍数。[5、10、6]=30
练 习 1、利用每一小块长6公分,宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案.问:拼成的正方形的边长可能是多少? 2、王伯伯有三个小孩,老大3天回家一次,老二4天回家一次,老三6天回家一次,这次10月1日一起回家,则下一次是几月几日一起回家?
3、美美客运有A,B两种车,A车每45分发车一次,B车每1小时发车一次,两车同时由上午6点发车,下一次同时发车是什麼时候 ?
例:某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个;第二道工序每个工人每小时可完成12个;第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使流水线能正常生产,各道工序每小时至少安排几个工人最合理?
分析:安排每道工序人力时,应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数,一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。
(1)在相同的时间内,每道工序完成相等的零件个数至少是多少? [3、12、5]=60 (2)第一道工序应安排多少人? 60÷3=20人 (3)第二道工序应安排多少人? 60÷12=5人 (4)第三道工序应安排多少人? 60÷5=12人
例:有一批机器零件。每12个放一盒,就多出11个;每18个放一盒,就少1个;每15个放一盒,就有7盒各多2个。这些零件总数在300至400之间。这批零件共有多少个? 分析:每12个放一盒,就多出11个,就是说,这批零件的个数被12除少1个;每18个放一盒,就少1个,就是说,这批零件的个数被18除少1;每15个放一盒,就有7盒各多2个,多了2×7=14个,应是少1个。也就是说,这批零件的个数被15除也少1个。 如果这批零件的个数增加1,恰好是12、18和15的公倍数。
)
① 刚好能12个、18个或15个放一盒的零件最少是多少个? [12、18、15]=180 ② 在300至400之间的180的倍数是多少? 180×2=360 ③ 这批零件共有多少个? 360-1=359个
例:有一批水果,总数在1000个以内。如果每24个装一箱,最后一箱差2个;如果每28个装一箱,最后一箱还差2个;如果每32个装一箱,最后一箱只有30个。这批水果共有多少个? 分析:根据题意可知,这批水果再增加2个后,每24个装一箱,每28个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数,也就是说,只要把这批水果增加2个,就正好是24、28和32的公倍数。我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672,再根据“总数在1000以内”确定水果总数。 [24,28,32]=672 672-2=670(个)
即:这批水果共有670个。
练 习
1,一所学校的同学排队做操,排成14行、16行、18行都正好能成长方形,这所学校至少有多少人?
2,有一批乒乓球,总数在1000个以内。4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个?
3,食堂买回一些油,用甲种桶装最后一桶少3千克,用乙种桶装最后一桶只装了半桶油,用丙种桶装最后一桶少7千克。如果甲种桶每桶能装8千克,乙种桶每桶能装10千克,丙种桶每桶能装12千克,那么,食堂至少买回多少千克油?
例题: 一盒围棋子,4颗4颗数多3颗,6颗6颗数多5颗,15颗15颗数多14颗,这盒棋子在150至200颗之间,问共有多少颗?
分析:由已知条件可知:这盒棋子只要增加1颗,就正好是4、6、15的公倍数。换句话说,这盒棋子比4、6、15的最小公倍数少1。我们可以先求4、6、15的最小公倍数,然后再根据“这盒棋子在150至200颗之间”这一条件找出这盒棋子数。4、6、15的最小公倍数是60。 60×3-1=179颗,即这盒棋子共179颗。
练 习
1,有一批树苗,9棵一捆多7棵,10棵一捆多8棵,12棵一捆多10棵。这批树苗数在150至200之间,求共有多少棵树苗。
2,五(1)班的五十多位同学去大扫除,平均分成4组多2人,平均分成5组多3人。请你算一算,五(1)班有多少位同学?
3,有一批水果,每箱放30个则多20个,每箱放35个则少10个。这批水果至少有多少个? 例:公路上一排电线杆,共25根。每相邻两根间的距离原来都是45米,现在要改成60米,可以有几根不需要移动?
分析:不需要移动的电线杆,一定既是45的倍数又是60的倍数。要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长,再求可以有几根不需要移动。
① 从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动? [45、60]=180(米) ② 公路全长多少米? 45×(25-1)=1080(米) ③ 可以有几根不需要移动? 1080÷180+1=7(根)
例:从学校到少年宫的这段公路上,一共有37根电线杆,原来每两根电线杆之间相距50米,现在要改成每两根之间相距60米,除两端两根不需移动外,中途还有多少根不必移动? 分析:从学校到少年宫的这段路长50×(37-1)=1800米,从路的一端开始,是50和60的公倍数处的那一根就不必移动。因为50和60的最小公倍数是300,所以,从第一根开始,每隔300米就有一根不必移动。1800÷300=6,就是6根不必移动。去掉最后一根,中途共有5
)
根不必移动。
练 习 1,插一排红旗共26面。原来每两面之间的距离是4米,现在改为5米。如果起点一面不移动,还可以有几面不移动?
2,一行小树苗,从第一棵到最后一棵的距离是90米。原来每隔2米植一棵树,由于小树长大了,必须改为每隔5米植一棵。如果两端不算,中间有几棵不必移动?
3,学校开运动会,在400米环形跑道边每隔16米插一面彩旗,一共插了25面。后来增加了一些彩旗,就把彩旗间隔缩短了,起点彩旗不动,重新插完后发现一共有5面彩旗没动。问:现在彩旗的间隔是多少米?
例:甲、乙、丙三人是朋友,他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲3天去一次,乙4天去一次,丙5天去一次。有一天,他们三人恰好在图书馆相会,问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会?
分析:从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会,相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。因为3、4、5的最小公倍数是60,所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。
练 习
1、1路、2路和5路车都从东站发车,1路车每隔10分钟发一辆,2路车每隔15分钟发一辆,而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后,至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车?
2、甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步,甲跑一圈用120秒,乙跑一圈用80秒,丙跑一圈用100秒。问:再过多少时间三人第二次同时从起点出发? 3、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷,二班的同学每6天去看一次,三班的同学每两周去看一次。如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷,那么,再过多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家?
例:一块砖长20厘米,宽12厘米,厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块?
分析:把若干个长方体叠成正方体,它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现在要求长方体砖块最少,它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数,求出正方体棱长后,再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。
练 习
1、用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体,至少需要用这样的长方体多少块?
2、有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块,要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体,这个正方体的体积是多少立方厘米?
3、一个长方体长2.7米、宽1.8分米、高1.5分米,要把它切成大小相等的正方体小块,不许有剩余,这些小正方体的棱长最多是多少分米?
例:甲每秒跑3米,乙每秒跑4米,丙每秒跑2米,三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步,经过多少时间三人又同时从出发点出发?
分析:甲跑一圈需要600÷3=200秒,乙跑一圈需要600÷4=150秒,丙跑一圈需要600÷2=300秒。要使三人再次从出发点一齐出发,经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数。200、150和300的最小公倍数是600,所以,经过600秒后三人又同时从出发点出发。 练 习
)
1、有一条长400米的环形跑道,甲、乙二人同时同地出发,反向而行,1分钟后第一次相遇;若二人同时同地出发,同向而行,则10分钟后第一次相遇。已知甲比乙快,求二人的速度。
2、一环形跑道长240米,甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行,甲每秒行8米,乙每秒行6米,丙每秒行5米。至少经过几分钟,三人再次从原出发点同时出发?
3、甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步,甲每秒跑4米,乙每秒跑5米,丙每秒跑3米。若三人同时从一端出发,再经过多少时间三人又从此处同时出发? 例:有一个自然数,被10除余7,被7除余4,被4除余1。这个自然数最小是多少?
分析:根据已知条件可知,假如把这个自然数增加3,所得的数就正好能被10、7和4这三个数整除,即10、7和4的最小公倍数,然后再减去3就能得到所求的数了。所以这个自然数最小是137。
练 习
1、学校六年级有若干个同学排队做操,如果3人一行余2人,7人一行余2人,11人一行也余2人。六年级最少多少人?
2、一个数能被3、5、7整除,但被11除余1。这个数最小是多少? 3、一袋糖,平均分给15个小朋友或20个小朋友后,最后都余下5块。这袋糖至少有多少块? 例:在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记,分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。如果沿这三种标记把木棍锯断,木棍总共被锯成多少段?
分析 因为10、12和15的最小公倍数是60,所以,设这根木棍长60厘米。三种颜色的标记分别把木棍分成的小段长是60÷10=厘米,60÷12=5厘米,60÷15=4厘米。因为5和6的最小公倍数是30,所以红黄两种标记重复的地方有60÷30-1=1处,另两种情况分别有2处和4处。因此,木棍总共被锯成(10+12+15-2)-1-2-4=28段。
练 习
1,用红笔在一根木棍上做了三次记号,第一次把木棍分成12等份,第二次把棍分成15等份,第三次把木棍分成20等份,然后沿着这些红记号把木棍锯开,一共锯成多少小段?
2,父子二人在雪地散步,父亲在前,每步80厘米,儿子在后,每步60厘米。在120米内一共留下多少个脚印?
3,在96米长的距离内挂红、绿、黄三种颜色的气球,绿气球每隔6米挂一个,黄气球每隔4米挂一个,。如果绿气球和黄气球重叠的地方就改挂一个红气球,那么,除两端外,中间挂有多少个红气球?
3. 五(1)班学生参加跳绳比赛,进行分组。按每组6人或每组8人,都能恰好分成若干组,参加跳绳比赛的至少有多少人?
解答:[6,8]=24 所以参加跳绳比赛的学生至少有24人。
4. 把47根跳绳和36个毽子分别平均分给一个组的同学,结果跳绳剩2根,毽子剩1个,你知道这个组最多有几名同学吗? 解答:(45,35)=5 所以这个组最多有5名同学。
5. 一条72米长的路,原来从一端起,每隔9米有一盏路灯。现在重新安装,要从一端起每隔6米装一盏。为节省施工成本,有些位置的路灯是不需要重新安装的。不需要重新安装的路灯至少有多少盏?
解答:[6,9]=18 ; 0, 18、36、54、72 答:不需要重新安装的灯至少有5盏。
6. 五(1)班学生数不超过50人,小组合作学习时,根据教学内容不同可以分为每组3人,每组4人,每组6人,每组8人,各种分法都刚好分完。这个班可能有学生( 24)人或( 48 )人。
)
解答:[3,4,6,8]=24 所以这个班可能有学生24或48人。
练 习 1、24的因数共有多少个?36的因数共有多少个?24和36的公因数是哪几个?其中最大的一个是?
答:24的因数共有8个,36的因数共有9个,24和36的公因数是1、2、3、4、6、12。其中最大的一个是12。
2、一个长方形的面积是323平方厘米,这个长方形的长和宽各是多少厘米?(长和宽都是素数)
答:长方形的长是19厘米,宽是17厘米。
3、两个自然数的乘积是420,它们的最大公因数是12,求它们的最小公倍数。 答:它们的最小公倍数是35。
4、两个自然数相乘的积是960,它们的最大公因数是8,这两个数各是多少? 答:这两个数分别是24和40。
5、两个数的最小公倍数是126,最大公因数是6,已知两个数中的一个数是18,求另一个数。 答:另一个数是42。
6、有一种长51厘米,宽39厘米的水泥板,用这种水泥板铺成一块正方形地,至少需要多少块水泥板?
答:至少需要221块水泥板。
7、有三根铁丝长度分别为120厘米、90厘米、150厘米,现在要把它们截成相等的小段,每根无剩余,每段最长多少厘米?一共可以截成多少段? 答:每段最长30厘米,一共可以截成12段。
8、有两个不同的自然数,它们的和是48,它们的最大公因数是6,求这两个数。 答:这两个数是42和6或18和30。
9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗,如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗,都正好分完,这些碗最少有多少个? 答:这些碗最少有60个。
10、有A、B两个两位数,它们的最大公因数是6,最小公倍数是90,则A、B两个自然数的和是多少?
答:A、B两个自然数的和是48。
例:两个数的最大公因数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?
分析:根据“两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可先求出这两个数的乘积,再把这个积分解成两个数,且这两个数一定是最大公因数的倍数,这两个数除以最大公因数得到的商互素。根据题意:
当a1b1分别是1和6时,a、b分别为15×1=15,15×6=90;当a1b1分别是2和3时,a、b分别为15×2=30,15×3=45。所以,这两个数是15和90或者30和45。 练 习
1、两个数的最大公因数是9,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少? 2、两个数的最大公因数是12,最小公倍数是60,求这两个数的和是多少? 3、两个数的最大公因数是60,最小公倍数是720,其中一个数是180,另一个数是多少? 例:两个自然数的积是360,最小公倍数是120,这两个数各是多少?
分析:我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数的积。根据这一规律,我们可以求出这两个数的最大公因数是360÷120=3。又因为(甲÷3=a,乙÷3=b)中,3×a×b=120,a和b一定是互质数,所以,a和b可以是1和40,也可以是5和8。当a和b是1和40时,所求的数是3×1=3
)
和3×40=120;当a和b是5和8时,所求的数是3×5=15和3×8=24。 练 习
1、求36和24的最大公因数和最小公倍数的乘积。
2、已知两个数的积是3072,最大公因数是16,求这两个数。
3、已知两个数的最大公因数是13,最小公倍数是78,求这两个数的差。
例:两个数的最大公因数是4,最小公倍数是252,其中一个数是28,另一个数是多少? 分析:根据“两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。”先求出4与252的乘积,再用积去除以28即可。4×252÷28=1008÷28=36
1、某农场周围360公尺,原本每隔10公尺立一根木桩,后来改为12公尺立一根木桩,则不必移动的木桩有几根?
2.三项国小有男生540人,女生612人,校方规定每辆游览车所坐的人要一样多,且车辆尽量减少,则共需要多少辆游览车?
3.一篮芒果,6颗一数剩下4颗,10颗一数剩下8颗,15颗一数剩下13颗,这篮芒果最少有多少颗?
4.一长方形池塘长95公尺,宽85公尺,甲乙丙三人同时同地同方向沿着池塘边竞走,每分钟甲走45公尺、乙走60公尺、丙走40公尺,经过几分钟后三人又在起点相遇?
5.大明和珍珍在7月15日两人同一天放假,已知大明每工作5天放假1天,珍珍每工作7天放假1天,下次两人同一天放假是几月几日?(提示:每工作7天放假一天表示每6天放假一天) 6.在下列两行数中同时出现的第15个数是多少? 第一列:1、7、13、19、…、997 第二列:1、10、19、28、…、1000
7.一队童子军人数在400~500人之间,每16人、20人或30人一组,都多出15人,问这队童子军有几人?
8.清静农场里有4百多只羊,14只一数或20只一数都刚好剩5只,清静农场里有几只羊? 9.一盒巧克力约有700~800粒,每18粒、24粒或30粒装1袋都不足7粒,求这盒巧克力有几粒?
10.90除以某数余2,50除以某数也是余2,请问某数最大是多少? 11.10~20中与30互质的数,总和是多少? 答 案
1. [10,12]最小公倍数=60 360÷60=6
不必移动的木桩有6根
2. (540,612)最大公因数=36 540÷36=15; 612÷36=17
每辆游览车坐36人,男生的专车有15辆,女生的专车有17辆 3. 6颗一数剩下4 颗,用6除剩下4颗,即用6除不足2颗 10颗一数剩下8颗,用10除剩下8颗,即用10除不足2颗 15颗一数剩下13颗,用15除剩下13颗,即用15除不足2颗 [6,10,15]最大公倍数=30
一篮芒果的数量是30的倍数减2,所以最小有30×1-2=28颗
4. 长方形池塘长95公尺,宽85公尺,周长=2×(95+85)=360公尺 甲走一圈要360÷45=8分钟 乙走一圈要360÷60=6分钟 丙走一圈要360÷40=9分钟 [8,6,9]=72
)
要72分钟后三人再起点相遇 5. [5,7]的最小公倍数=35 7月15日+35日=8月19日
6. 第一列:1、7、13、19、…、997,后数和前数差6 第二列:1、10、19、28、…、1000,后数和前数差9 [6,9]的最小公倍数=18
同时出现的第1个数是1,第二个数是19,第三个数是37,…… 第15个数是1+18×14=253
7. 每16人、20人或30人一组,[16,20,30]的最小公倍数=240 童子军人数=240的倍数再加15 500÷240=2.08 240×2+15=495 童子军有495人
8. [14,20]最小公倍数=140 羊的数量=140的倍数再加5
400÷140=2.86; 140×3+5=425 清静农场里有425只羊
9. [18,24,30]最小公倍数=360 巧克力的数量=360的倍数再减7
800÷360=2.22; 360×2-7=713 巧克力有713粒
10. 90-2=88; 50-2=48 [88,48]=最小公倍数8 某数是8
11. 10~20 中与30互质的数有11、13、17、19 11+13+17+19=60
练习
1. 有饼干30块,橙36个,分給若干个儿童,每人所得的相等,最多可分給兒童多少人? A 6 B 5 C 8 D 180
2. 上米50公斤,中米60公斤,下米90公斤,分別裝成重量相等的若干袋,各種米恰好裝完,每袋的重量最多是多少公斤?
A 20 B 10 C 30 D 180
3. 用某数去除218,170,290都余2,問某數最大是多少? A 26 B 28 C 24 D 22
4. 一個長方形銅片長18厘米,闊24厘米,要剪成為面積相等的小正方形,每個正方形的面積是多少平方厘米?
A 6 B 36 C 144 D 432
5. 客厅長600厘米,宽690厘米,如果鋪上正方形瓷砖,每块瓷砖的邊長最大是多少厘米? A 100 B 120 C 60 D 30
6. 把一個長24厘米,闊36厘米,高16厘米的長方體,分割成大小相同的小正方體,問共可分割成多少個?
A 216 B 108 C 432 D 864
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