已知：正方形ABCD中，E、F分别是AE、DC的中点，BE与 AF交于点G, 求证：△GCB为等腰三角形
方法1
证明：作CP‖AF交AB于P，交BE于Q
E∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BA、∠ADF=∠BAE=90°，ADCD‖AB，
∵E、F分别是AE、DC的中点，∴DF=AE、
FP∴△ADF≌△BAE,∴∠EBA=∠FAD、∠AEB=∠DFA,
∵在△ADF中，三角形内角和180°∴∠FAD+∠AFD=90° Q∴ ∠AEB+∠FAD=90°
B∵在△AEB中，三角形内角和180°∴∠AGE= 90°
C∴AF垂直BE；
∵CP‖AF ,CD‖AB， 所以FCPA为平行四边形 FC=AP 因为F是CD中点所以CF=1/2 CD 所以，AP= 1/2 AB即P为AB中点， 因为CP‖AF ,所以Q为BG中点
∵AF⊥BE，C P⊥BE ∴CQ是BG垂直平分线 ∴CG=CB ∴△GCB为等腰三角形
方法2
证明：延长AF和BC交于点P
∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BA、∠ADF=∠BAE=90°，CD‖AB， ∵E、F分别是AE、DC的中点， ∴DF=AE、 EAD∴△ADF≌△BAE,
∴∠EBA=∠FAD、∠AEB=∠DFA, ∵在△ADF中，三角形内角和180° F∴∠FAD+∠AFD=90° ∴ ∠AEB+∠FAD=90°
∵在△AEB中，三角形内角和180°∴∠AGE= 90° BC∴∠BGF= 90°（对顶角相等）
根据ASA可证△ADF≌△PCF所以CP=AD所以CP=BC
因为在直角三角形BPG中，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得CG=CB ∴△GCB为等腰三角形
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