高二下学期月考试卷（理）（解析版）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线x+y+1=0的倾斜角是（ ） A．﹣
B．
C．
D．
2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ） A．
B．
C．2
D．4
3．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ） A．﹣
B．﹣
C．
D．2
4．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ） A．（￢p）∨q
B．p∧q
D．（￢p）∨（￢q）
C．（￢p）∧（￢q）
5．某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的表面积是（ ） A．24
B．20+4
C．24+4
D．20+4
6．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax+by=r2，那么（ ） A．m∥l，且l与圆相交 C．m∥l，且l与圆相离
B．m⊥l，且l与圆相切 D．m⊥l，且l与圆相离
7．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（ ） A．
﹣
B．
﹣1
C．
D．
8．如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧棱AA1长为4，且AA1与A1B1，A1D1的夹角都是60°，则AC1的长等于（ ） A．10
B．
C．
D．
9．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a
的值为（ ） A．或﹣1
B．2或
C．2或1
D．2或﹣1
10．在圆x2+y2=5x内，过点a1，最长弦长为an，若公差A．{4，5，6} 11．已知椭圆T：
有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项
，那么n的取值集合为（ ）
C．{3，4，5}
D．{3，4，5，6}
B．{6，7，8，9} +
=1（a＞b＞0）的离心率为
=3C．
，过右焦点F且斜率为k（k＞0）
的直线与T相交于A，B两点，若A．1
B．
，则k=（ ）
D．2
12．关于下列命题，正确的个数是（ ）
（1）若点（2，1）在圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0外，则k＞2或k＜﹣4 （2）已知圆M：（x+cos θ）2+（y﹣sin θ）2=1，直线y=kx，则直线与圆恒相切
（3）已知点P是直线2x+y+4=0上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，则四边形PACB的最小面积是为2
xcos θ+ysin θ=2+2cos θ，M中的直线所能围成的正三角形面积都等于12（4）设直线系M：A．1
B．2
C．3
D．4
．
二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分.
13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则异面直线AD1与A1C1所成角的余弦值是 ． 14．命题P：将函数sin 2x的图象向右平移题Q：函数y=sin（x+
cos）（
个单位得到函数y=sin（2x﹣
）的图象；命
﹣x）的最小正周期是π，则复合命题“P或Q”“P且Q”“非
P”为真命题的个数是 个．
15．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最
大值为12，则的最小值为 ．
16．已知以T=4为周期的函数f（x）=
3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤．
，其中m＞0．若方程
17．x+1=0已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）无实数根．
（1）若“￢p”为假命题，求m范围；
（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．
18．某人有楼房一幢，室内面积共计180 m2，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15 m2， 可以住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1 000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8 000元用于装修，且假定游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？
19．如图1，2，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上，过点E作交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置（点A与P重合），使得∠PEB=60°． （1）求证：EF⊥PB；
（2）试问：当点E在何处时，四棱锥P﹣EFCB的侧面的面积最大？并求此时四棱锥P﹣EFCB的体积及直线PC与平面EFCB所成角的正切值． 20．在平面直角坐标系xOy中，经过点两个不同的交点P和Q． （Ⅰ）求k的取值范围；
y轴正半轴的交点分别为A，B，（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、是否存在常数k，使得向量与
共线？如果存在，求p值；如果不存在，请说明理由．
且斜率为k的直线l与椭圆
有
21．平面上两点A（﹣1，0），B（1，0），在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上取一点P， （Ⅰ）x﹣y+c≥0恒成立，求c的范围；
（Ⅱ）从x+y+1=0上的点向圆引切线，求切线长的最小值； （Ⅲ）求|PA|2+|PB|2的最值及此时点P的坐标．
22．如图，椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为a和y=±b所围成的，直线x=±
矩形ABCD的面积为8． （Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求
的最大值及取得最大值时m的值．
参考答案
一、选择题 1．D
【解析】∵直线方程为x+y+1=0，
∴化简得y=﹣x﹣1，直线的斜率为k=﹣1， 设直线的倾斜角为α，则tan α=﹣1， ∵α∈（0，π），∴故选：D 2．A
【解析】椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴故选 A． 3．A
【解析】圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4）， 故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d=
=1，
，
，即直线x+y+1=0的倾斜角是
．
解得：a=4．D
，故选：A．
p为假命题，¬q为真命题， 【解析】不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而¬所以A、B、C均为假命题，故选D． 5．B
【解析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的， 该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，
如图所示： ∴四棱锥的侧高为：
）=20+4
，
22+4×2×故该几何体的表面积为：5×（×故选：B 6．C
【解析】∵点P（a，b）（ab≠0）在圆内，∴a2+b2＜r2， ∵kOP=，直线OP⊥直线m，∴km=﹣， ∵直线l的斜率kl=﹣=km，∴m∥l，
∵圆心O到直线l的距离d=∴l与圆相离．故选C． 7．B
＞=r，
【解析】设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点， 设|F1F2|=2c，则|DF1|=c，|DF2|=椭圆定义，得2a=||DF1|+|DF2|=所以e==8．C 【解析】因为 ∴（=（
）2=（ ）2+（
=+）2+（
+
+
+
）2 ）2+2
•
+2
•
+2
•
；
=
c． c+c，
﹣1，故选B．
=42+32+32+2×4×3cos 120°+2×4×3cos 120°+2×3×3cos 90° =10．∴AC1=故选C． 9．D
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）． 由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，
若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一， 则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，
若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一， 则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1， 综上a=﹣1或a=2， 故选：D 10．A
【解析】由题意得
，
，
∴，∵，∴，
∴3≤n﹣1＜6，∴4≤n＜7， ∵n∈N*，∴n=4，5，6．故选A． 11．B
【解析】A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵∵
，∴y1=﹣3y2， ，设
，b=t，∴x2+4y2﹣4t2=0①， ，代入①中消去x，可得
，
设直线AB方程为
∴，，
解得故选B 12．C
，
【解析】对于（1）：∵点（2，1）在圆外，∴k2+2k﹣8＞0，解得k＜﹣4，或k＞2， 故（1）正确；
对于（2）：圆心M到直线的距离d=
=|sin（θ+φ）|，其中sin φ=，cos φ=，
∵|sin（θ+φ）|≤1，∴直线与圆相交或相切．故（2）错误；
对于（3）：圆C：x2+y2﹣2y=0，即x2+（y﹣1）2=1，故圆心C（0，1），半径r=1， 圆心C到直线2x+y+4=0的距离d=
，即PCmin=
，
∵∵
，∴PAmin=2，
，∴（S四边形PACB）min=2，故（3）正确；
对于（4）：直线系M：xcos θ+ysin θ=2+2cos θ，即（x﹣2）cos θ+ysin θ=2 ∵点（2，0）到直线的距离d=
∴直线系M都是圆C：（x﹣2）2+y2=4的切线．
AB=2AD=2设△ABC是M中的直线所能围成的一个正三角形，则AC=2r=4，∴S=
，故（4）正确．
，
综上可知，正确的是（1），（3），（4），共有3个．故选：C 二、填空题 13．
【解析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵A1C1∥AC，∴∠D1AC是异面直线AD1与A1C1所成角， 连结AC，CD1，
∵AD1=AC=CD1，∴∠D1AC=60°，
=． ∴异面直线AD1与A1C1所成角的余弦值为cos 60°故答案为：． 14． 2
【解析】对于命题P：将sin 2x的图象向右平移﹣
），
个单位得到函数y=sin2（x﹣
=sin）（2x
故命题P为假命题；
y=sin对于命题Q：（x+cos）（=sin[﹣x）]cos（=）
==，周期T=，故命题Q为真命题．
根据真值表，“P或Q“为真命题，“P且Q“为假命题，“非P“为真命题． 故答案为：2． 15．
【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时， 目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12， 即4a+6b=12，即2a+3b=6， 而
=
．
．
故答案为：16．
【解析】∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，
=1（y≥0），
同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象， 由图易知直线 y=与第二个椭圆（x﹣4）2+
=1（y≥0）相交，
而与第三个半椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，
将 y=代入（x﹣4）2+=1 （y≥0）得，（9m2+1）x2﹣72m2x+135m2=0，令t=9m2（t＞0），
15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞则（t+1）x2﹣8tx+15t=0，由Δ=（8t）2﹣4×0得 m
，
同样由 y=与第三个椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）由Δ＜0可计算得 m＜，
综上可知m∈（故答案为：（三、解答题
，
，）
）
17．解：（1）由p得：Δ1=m2﹣4＞0，﹣m＜0，则m＞2； （2）Δ2=16（m﹣2）2﹣16＜0，则1＜m＜3， ∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题， ∴p，q一真一假， ①p真q假时：
，解得：m≥3，
②p假q真时：，解得：1＜m≤2，
∴m的取值范围是：m≥3或1＜m≤2．
18．解：设分割大房间为x间，小房间为y间，收益为z元
根据题意得：
求：z=200x+150y的最大值． 作出约束条件表示的平面区域 把目标函数z=200x+150y化为平移直线，直线越往上移，z越大， 所以当直线经过M点时，z的值最大， 解方程组
得
，
因为最优解应该是整数解，通过调整得，当直线过M'（3，8）和M''（0，12）时z最大 所以当大房间为3间，小房间为8间或大房间为0间，小房间为12间时，可获最大的收益为1 800元．
19．证明：（1）∵EF∥BC且BC⊥AB，
∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE．又BE∩PE=E， ∴EF⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE， ∴EF⊥PB．
解：（2）设BE=x，PE=y，则x+y=4． ∴
当且仅当x=y=2时，S△PEB的面积最大，此时，BE=PE=2． 由（1）知EF⊥平面PBE，
∵EF⊂平面EFCB，∴平面EFCB⊥平面PBE．
在平面PBE中，作PO⊥BE于O，则PO⊥平面EFCB． 即PO为四棱锥P﹣EFCB的高． 又∴∵
∴BO=1，在Rt△OBC中，
，
． ． ．
∵PO⊥平面EFCB，∴∠PCO就是PC与平面EFCB所成角． ∴
，
，
故直线PC与平面EFCB所成角的正切值为20．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为代入椭圆方程得整理得
． ①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式Δ=
，
解得
或
．即k的取值范围为
，
．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
由方程①，． ②
又而
． ③
．
所以与共线等价于
． ，
，
将②③代入上式，解得由（Ⅰ）知
或
故没有符合题意的常数k．
21．解：（Ⅰ）由x﹣y+c≥0，得c≥y﹣x，由圆的参数方程得c≥4+2sin θ﹣3﹣2cos θ， 所以
，切线长的最小值为
（Ⅱ）圆心C到直线x+y+1=0的距离为
（Ⅲ）设P（a，b），则|PA|2+|PB|2=2a2+2b2+2，a2+b2为圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上的点到原点的距离平方，所以最小值为20，
；最大值为100，
．
22．解：（I）
矩形ABCD面积为8，即2a•2b=8…② 由①②解得：a=2，b=1， ∴椭圆M的标准方程是
．
…①
（II）
由Δ=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0得设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
，
．
，
．
当l过A点时，m=1，当l过C点时，m=﹣1． ①当
时，有
，
，
其中t=m+3，由此知当②由对称性，可知若
，即
，则当
时，
时，
取得最大值
取得最大值．
．
③当﹣1≤m≤1时，由此知，当m=0时，综上可知，当
，取得最大值或m=0时，
． 取得最大值
，
．
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