魏立国：暴露思维过程案例分析(2)

暴露思维过程案例分析

例谈不等式exx1”和“ln(x+1)x”的应用

江苏省响水中学高数组 魏立国

内容摘要：“exx1和ln(x1)x,(x1)”

这两个基本结论，在有些不等式放缩中所起的作用，真是妙不可言，本文将试图

通过案例来说明它在不等式放缩中的应用。—、不等式”的证明。二、案例分析三、案例反思 “exx1”和“ln(x1)x”多少年来，不等式“a2b22ab”早已被人们应用得出神入化，对于不等

式“exx1和ln(x1)x,(x1)”的应用却很少有人光顾。其实这两个基本结论，在有些不等式放缩中所起的作用，真是妙不可言，本文将试图通过案例来

说明它在不等式放缩中的应用。

—、不等式”的证明。 “exx1”和“ln(x1)x”“exx1”对于的证明，只须构造函数(x)exx1则 /(x)ex1，令， /(x)0，x0，x(-,0),/(x)＜0，x(0，，)/(x＞)，0“exx1”所以，(x)(0)0.即证得。对于”的证明，只需当“ln(x1)x”x1＞0时，对“exx1”两边取对数即可。显然，这两个不等式从本质上是相

通的。

二、案例分析 案例1：

xn2给定数列｛xn｝，其中x1a,xn1,(n1,2,)，求证：如果a3，

2(xn1)a那么，当n≥3时，必有xn13。

4lg3这道题是1984年高考第八道第（3）小问，据说当年全国没有多少中学老师能做，二十多年来，第（3）小问除了官方提供的一种反证法外，笔者还没有看到有正面证明方法的报道。2009年6月高考前，我为了让学生领略一下反证法证明的精秒，特选此题，让同学们思考。我说哪一位同学会做，同学甲说，先用不动点

lg法，求xn1。

1

本文发表在 2012年《数学教学》第五期

xnn2xnx12a2nxn12(xn1)即：， 22n2n(xn2)2xnxn12(x12)(a2)22(xn1)xn1222n1(1)a，欲证xn13，即

222n1(1)a2n1<3，也就是(1)2”。再向

a3下怎么做，同学甲也做不下去了，我也认为不好做，正想准备收场，来展示一下反证法的精秒之处。可是一位同学乙说：用老师总结过的exx1基本结论可以

22n做。即证(1)ea22na，即证，e2n1aa2n112n11ln，a<。由n≥3，，4a3ln33ln3ln4n4n2n1222∴a≤3()，即证：3()<，即3()n<，①当n≥2时， 3()n333ln33ln3a442≤，即<，也就是，ln9<3，显然成立。②当n=1时，由1≥3，a>3，

433ln3lg32n211得4≥a>3，而(1)2(1)2,xn13。

aa43lg同学乙能从正面做出来，这是我始料未及的。可以说这位同学已把“exx1” 结论运用得出神入化。

22a说明：案例1的关键如何把“1”放大为“e”,即把“1x”型 放大为“ex”

a型。说明同学乙真正把exx1结论用活了。这个案例也告诉我们，老师要相信学生，学生的潜力是巨大的。 案例2 ：

已知函数f(x)exx(e为自然对数的底数) 求f(x)的最小值。

k设nN，探究()n的整数部分的值，并证明你的结论。

k1n*n（2008年江苏省姜堰中学最后一卷压轴题） 分析、（1）由f(x)exx，即，f(x)1 .

2

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(2)该小问看上去无法下手,其实,一道压轴题的前面小问,往往就是下面小问的阶梯,当你无法入手的时候看能否利用前面小问。第(1)问的实质,就是exx1.对通

k项()n如何使用exx1呢？只要根据不等式的基本结构对号入座，通项中根

nk本没有e，只能在谁是1x上下功夫，底数是，指数是n，究竟谁写成1x，

nknkknknknn只能试试看，如把写成1，则， ()(1)(en)nekn,(kN*),你会

nnnnk立刻意识到原来的和式可放缩成等比数列前n项和。如把()n放缩成

nkkn1kkk()n11()e或()n()n(n1)n nnnn11ek1k11e或，对解题都没有什么实际意义。 nnnnk()n(ek1nk1nnknnn)eknk1n1n1(n1)1eee1 1111ee1nneknk＜２，又()1()n整数部分为1. e1k1nk1nk案例2的关键是要关注第一小问，要有对不等式exx1应用的意识。即把“”

nkn写成“1”形式。事实上，本题在分析过程中，足以看出exx1的作用。

n案例3.

2n+1 求证：ne＜21.3,(nN*)

2n（2008年江苏省响水中学最后一卷压轴题）

分析:本题用e1n11没有用。用数学归纳法也不容易找到从nk成立到nnk1也成立的因果关系。对于基本不等式也很难找到解决问题的切入点。这时候我们就想能否通过构造函数，把离散型变为连续型，利用导数去研究。由

nee，在构造函数时，可以把

1n1看成x，这样可减少求导后的繁琐运算。令nx2(x)ex1.3. x(0,1].(x)/ex1x，则一眼看出，(x)/＞0，

2x 3

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112n+11.3。

2n2n2说明：案例3的关键学会构造合适的函数，在求导过程中，巧用了不等式

(x)(1)e11.3e2.8＜0,(0,1](n)＜0ne＜exx1。

案例4

（2011年清华大学自主招生试题）已知函数f(x)1令x1，xn1f(xn)。

22x12，f(1)1，f()。axb23(I)求数列{xn}的通项公式； (II)证明x1x2xn11。 2e12n1分析：仅分析第二小问由（1）可知xnn1，证明x1x2xn1，即证

2e21e1，也就是e2x1x2xn111212n21n22121111,e(1)(12)(1n)，

222即

1111111ln(1)ln(12)ln(1n),由ln(1x)x得，即证1>2n22222211(1n)11121,原命题显然成立。 2n2122212111说明：案例4的关键是将代数式ln(1)ln(12)ln(1n)使用了不等式

222ln(1x)x进行放缩，让一道清华大学自主招生数学难题，显得平淡无奇。

案例5.

x2已知函数f(x)=ln(1x)

1x2求函数f(x)的单调区间。

1若不等式(1+)ne对于任意的nN*都成立

n（其中e是自然对数的底数）。求α的最大值。（2008年高考数学湖南卷21题）

分析：（1）本题最常规的解法，对f(x)求导，由

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2ln(x1)2xx22(1x)ln(1x)2xx2f(x)1x(1x)2(1x)2/，令f/(x)，0即

几乎就无法入手，是不是这2(1+x)ln(1+x)-2x-x20，(x＞1).但解这个方程，

个方程初等方法就不能解呢？现在不能下这一结论。至少说我们常人很难解，此时，我们应该换位思考，是不是f/(x)0根本就没有根，这一想法是错误的。因为，我们一眼看出0就是它的一个根，那么是不是只有一根为0呢？是否还有其

它的根呢？显然，接下来的工作，必须研究(x)=2(1+x)ln(1+x)-2x-x2的单调性。 由(x)/2ln(x1)222x2[ln(x1)x], ln(x1)x 立刻意识到

当x(1,0)时，(x)＞(0)0，当x(0,)时，(x)/0，而(0)0,(x)＜(0)。0∴当x(1,0)时, f(x)单调递增，当x(0,)时,f(x)单调递减。 （2）略

案例6：

已知函数f(x)1*aln(x1),其中nN,a为常数。 n(1x)当n2时，求函数f(x)的极值。

当a1时，对任意正整数n，当x2时，有f(x)x1. （2008年山东高考卷21题）

只分析第（2）小题。当a1时，f(x)1ln(x1)x1.x2(1x)n1ln(x1),欲证f(x)x1.即证：n(1x)ln(x-1)由立刻意识到，

1ln(x-1)=ln[(x-2)+1]x-2.即证：1.x2，显然成立。 n(1x)说明：对于案例5利用导数判断函数单调性的时候。不等式“ln(x1)x”起了决定性的作用。对于案例6第（2）小问，如果我们脑中有不等式ln(x1)x这一基本模型，当看到ln(x1)就会立刻意识到ln(x1)x2，那么，第（2）小问就显得非常简单。

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三、案例反思

1、从上面案例可以看出，解决问题最关键的地方都是使用了不等式”。而，所以“exx1”和“ln(x1)x”“exx1”“ln(x+1)x,(x1＞0)”我们可以说它们是多题一解，是一个具有普适性的思考规律。

2、要提高学生的思维水平，有必要引领学生探索发现常见的、具有普适性的思考规律。有助于学生解题少走弯路，更好更快地找到解题捷径。

3、教师要注重在课堂教学中将自身是如何看待问题、又是如何找出解决问题的办法这一思维过程展示给学生，使学生理解和认识知识发生和发展的必然的因果关系，从中领悟到思考、分析和解决问题的思想方法和步骤，培养和提高学生思维的能力。 参考文献：《黄河清中学数学问题导学教学策略》

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