上海市松江区2013届高三数学三模试卷(理科,含答案)

高三数学（理科）

（满分150分，完卷时间120分钟）

2013.5

一、填空题 (每小题4分,满分56分)

1．已知集合A{x0x3,xR}，B{xx12,xR}，则AB ▲ ． 2．已知数列an是公差为2的等差数列，Sn是an的前n项和，则lim3．函数f(x)Sn= ▲ ．

nnan2cosxsinx的最小正周期为 ▲ ．

sinx2cosx4．某小组中有6名女同学和4名男同学，从中任意挑选3名同学组成环保志愿者宣传队，则这个宣传队由2名女同学和1名男同学组成的概率是 ▲ （结果用分数表示）． 5．已知圆柱M的底面直径与高均等于球O的直径，则圆柱M与球O的体积之比V圆柱：V球

6．已知e1、e2是平面上两个不共线的单位向量，向量ae1e2，bme12e2．若ab，则实数m= ▲ ．

1157．二项式(x)的展开式中系数最大的项是第 ▲ 项．

x8．已知直线l1：x3y10，l2：xty10，若直线l1与

l2的夹角为60，则t= ▲ ．

9．已知yf= ▲ ．

(x)是函数f(x)arcsin(1x)的反函数，则

f1(x) ▲ ．

110．阅读右边的程序框图，如果输出的函数值y在区间[,1]内，

4则输入的实数x的取值范围是x ▲ ．

11．若等差数列an的首项为a1,公差为d，前n项的和为Sn，

SSd则数列{n}为等差数列，且通项为na1(n1)．类

nn2似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则 ▲ ．

12．若集合M(x,y)x(y3)y1(y3),1它元素(c,d)，总有ca,则a ▲ ．

25y3,(a,b)M,且对M中其213．已知f(x)x，1x0x1x2xn1，an|f(xn)f(xn1)|,nN，

Sna1a2a3an，则Sn的最大值等于 ▲ ．

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14．平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，命题：

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点； ③如果k与b都是有理数，则直线ykxb必经过无穷多个整点； ④如果直线l经过两个不同的整点，则l必经过无穷多个整点； ⑤存在恰经过一个整点的直线；

其中的真命题是 ▲ （写出所有真命题编号）．

二、选择题 (每小题5分,共20分)

15．在极坐标系中，圆C过极点，且圆心的极坐标是(a，)(a0)，则圆C的极坐标方程是

A．2asin． B．2asin．

2

C．2acos． D．2acos．

16．已知:|z|1,zC,：|zi|a,zC．若是的充分非必要条件，则实数a的

取值范围是 A．a1．

B．a1．

C．a2．

D．a2．

17．若x022py0(p0)，则称点(x0,y0)在抛物线C：x22py(p0)外．已知点P(a，b)在抛物线C：x22py(p0)外，则直线l：axp(yb)与抛物线C的位置关系是 A．相交

B．相切

C．相离

D．不能确定

18．在正方体AC1中，若点P在对角线AC1上，且P点到

三条棱CD 、A1D1、 BB1的距离都相等，则这样的点共有

A．1 个． B．2 个． C．3 个． D．无穷多个．

三．解答题（本大题满分74分）

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分

如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，ABAC1，侧棱

EF且AA AA1底面ABC，12，是BC的中点，是AC1上的点．

（1）求异面直线AE与AC（结果用反三角函数1所成角的大小表示）；

（2）若EFAC1，求线段CF的长．

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20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

已知函数f(x)2xa2x(aR)． （1）讨论函数f(x)的奇偶性；

（2）若函数f(x)在(,2]上为减函数，求a的取值范围．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”， 并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”． （1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；

（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x元/张(xN)，则“足球0.10迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少

0.0600.5频率组距0.720.520.440.16小时11.522.5310x%，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少

100x%．问票价至少定为多少元/张时，x11才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？

3 / 4

22．（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分

已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x2的距离为d1，到点F(1，0)的距离为d2，且

d22．直线l与椭圆C交于不同两点A、B(A，B都在轴上方)，且

xd12OFAOFB180． （1）求椭圆C的方程；

（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；

（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论OFA如何变化，直线l总经过此定点？

若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

若正项数列{an}满足条件：存在正整数k，使得立，则称数列{an}为k级等比数列．

（1）已知数列{an}为2级等比数列，且前四项分别为4,,2,1，求a8a9的值；

ankan对一切nN,nk都成anank136合，并求取最小正值时数列{an}的前3n项和S3n；

n（2）若an2sin(n)(为常数），且{an}是3级等比数列，求所有可能值的集

（3）证明：{an}为等比数列的充要条件是{an}既为2级等比数列，{an}也为3级等比数列．

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松江区2012学年度第二学期月考 高三数学（理科）参考答案

2013.5

一、填空题

1．{x1x3} 2．

11 3． 4．． 225． 3：2 6．2 7． 9 8．0或3 9．1sinxx[,] 10．[2,0]

2211．数列{nTn}为等比数列，且通项为nTnb1(q)n1．

12．

9 13．2 14．①④⑤ 4

二选择题 15．B 16．C 17．A 18. D

三、解答题

19.（本题12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

AE与AC解：（1）取B1C1的中点E1，连A1E1，则A1E1//AE，即CA1E1即为异面直线1所成的角．„„„„（2分）

连E1C.

在RtE1C1C中，由E1C1知AC12，CC12 2132 422在RtAC5„„（4分） 11C中，由AC111，CC12知AC1(在A1E1C中，cos22322)(5)2()11022 10210252∴arccos10„„„„（6分） 1011525,0)，F(0,1x,x)，2255（2）以A为原点，建立如图空间直角坐标系，设CF的长为x 则各点的坐标为，E(,A1(0,0,2)，C(0,1,0)„„（2分）

11525x,x)，AC∴EF(,(0,1,2) 12255由EFAC0„„„„（4分） 1知EFAC15 / 4

15255 x2x0，解得x255105∴线段CF的长为„„„„（6分）

10即

20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 解：（1）f(x)2xa2x„„„„（1分）

若f(x)为偶函数，则对任意的xR，都有f(x)f(x)，

2xa2x，2x(1a)2x(1a)，(2x2x)(1a)0对任意的xR都xx成立。由于22不恒等于0，故有1a0，即a1 ∴当a1时，f(x)是偶函

即2a2数。„„„„（4分）

若f(x)为奇函数，则对任意的xR，都有f(x)f(x)，

xx2xa2x0，(2x2x)(1a)0对任意的xR都成立。由于2x2x不恒等于0，故有1a0，即a1 ∴当a1时，f(x)是奇函数。„（6分）

∴当a1时，f(x)是奇函数；当a1时，f(x)是偶函数；当a1时，f(x)是非奇

即2a2xx非偶函数。„„„„（7分）

（2）因函数f(x)在(,2]上为减函数，故对任意的x1x22，都有

f(x1)f(x2)0，„„„„（2分）

axx即f(x1)f(x2)(2122)(1xx)0恒成立。„（4分）

2122axxxx由21220，知1xx0恒成立，即2122a恒成立。

2122xx由于当x1x22时(2122)max4„„„„（6分） ∴a4„„„„（7分）

21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解：

（1）样本中“足球迷”出现的频率=(0.160.100.06)0.516%„„„„（2分）

“足球迷”的人数=10016%16（万）„„„„（4分）

“铁杆足球迷”=100(0.060.5)3（万）

所以16万“足球迷”中，“铁杆足球迷”约有3万人. „„„„（6分）

（2）设票价为10010x元，则一般“足球迷”中约有13(110x%)万人，“铁杆足球迷”

约有3(1100x%)万人去现场看球. „„„„（3分） x11100x13x3x%)1610„„„„（5分） x1110x11令13(110x%)3(12化简得：13x113x6600

6 / 4

解得：x165,或x4 ，由xN，x4 „„（7分） 13即平均票价至少定为100+40=140元，才能使前往现场观看足球比赛的“足球迷”不超过10万人. „„„„（8分）

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

解：解：（1）设P(x,y)，则d1|x2|,d2(x1)2y2，„„„„„„„„（2分）

(x1)2y2d22 d1|x2|2x2x22y1 椭圆C的方程为：y21„„„„（4分） 化简得：22101， （2）A(0,1),F(1,0)kAF0(1)OFAOFB180kBF1，BF:y1(x1)x1„„„„（3分） x24y21得：3x24x0，x0,或x，代入yx1得 代入

324xx0413(舍)，或B(,)„„„„（5分） ，33y1y131131,AB:y1x1，„„„„（6分） kAB420()23（3）解法一：由于OFAOFB180，kAFkBF0。„„„„（1分）

设A(x1,y1),B(x2,y2)

x2y21得： 设直线AB方程：ykxb，代入21(k2)x22kbxb210„„„„（3分）

22kbb21x1x2,x1x2

1122kk22y1ykxbkx2b(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)210 x11x21x11x21(x11)(x21)(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)2kx1x2(kb)(x1x2)2bkAFkBFb212kb2k(kb)2b01122kk227 / 4

b2k0，„„„„（5分）

直线AB方程：yk(x2)直线l总经过定点M(2,0)„„„„（6分）

解法二：由于OFAOFB180，所以B关于x轴的对称点B1在直线AF上。

设A(x1,y1),B(x2,y2),B1(x2,y2)

Ayx2By21得： 设直线AF方程：yk(x1)，代入

M2F12222(k)x2kxk10 B122k2k21x1x2,x1x2

11k2k222yyyykAB12，AB:yy112(xx1)，令y0，得：

x1x2x1x2xxxyxyxx1y1122112

y1y2y1y2y1k(x11)，y2k(x21)

xyxyxk(x11)x1k(x21)2x1x2x1x2 x21122y1y2k(x11)k(x21)x1x22xOk212k22112kk2222 22k21k22直线l总经过定点M(2,0)

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

a4313)39„„„„（2分）a23 a11a9a1(3)444

a1249a8a9„„„„（4分）

4aa（2）{an}是3级等比数列，n3n

anan3[2nsin(n)]22n3sin[(n)3]2n3sin[(n)3]„„（1分）

6662 sin(n)sin[(n)3]sin[(n)3]

666解 （1）a8a2(8 / 4

2 sin(n6)cos23cos2(n6)sin23

sin2(n)cos23cos2(n)sin23 66sin2(n)sin23 6所以sin230，3k(kZ),k(kZ), 3{|k(kZ)}„„（3分） 3n最小正值等于，此时an2nsin()

36311an38，a1212,a242,a38()4，a1a2a30

22ana3n2a3n1a3n(a1a2a3)(8)n10„„（5分）

S3n(a1a2a3)(a4a5a6)(a3n2a3n1a3n)0„„（6分）

aa（3）充分性：若{an}为等比数列，则nknqk

anank对一切kN成立，显然对k2,3成立。

所以{an}既为2级等比数列，{an}也为3级等比数列。„„（2分）

an2an，则{a2n1},{a2n}均成等比数列，设等比数anan2aa列{a2n1},{a2n}的公比分别为q1,q2，{an}为3级等比数列，n3n，则{a3n2}成等

anan3比数列，设公比为Q„„„„„„（3分）

aa1,a7既是中{a2n1}的项，也是{a3n2}中的项，7q13Q2

a1a3a4,a10既是中{a2n}的项，也是中{a3n2}的项，10q2Q2

a4必要性：若{an}为2级等比数列，

33q1q2Q2,q1q2„„„„„„（5分）

设q1q2q2，则Qq

n1n122n所以a2n1a1q1，a2na（nN）， a1q2n2（nN）aq22q2**3又a4a1Qa1q3，a4a2q2a2q2， 所以a2a1q，„„„„„„（7分）

a2na1q2n1（nN*）

所以，a2n1a1q2n2，a2na1q2n1（nN）

综合得：ana1qn1(nN)，显然{an}为等比数列。„„„„„„（8分）

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