第一单元 圆
圆概念总结
1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。
2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。
例：圆是平面上的一种（ 曲线 ）图形，将一张圆形纸片至少对折（ 两 ）次可以得到这个圆的圆心。
3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
例：要画一个周长是31.4厘米的圆，圆规两角之间的距离是（ 5 ）厘米。
4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
例：（ 半径 ）决定圆的大小；（ 圆心 ）决定圆的位置。
5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。
例：圆中最长的线段是圆的（ 直径 ）。
6．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7．在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。
例：圆有（ 无数 ）条半径，（ 无数 ）条直径，（ 无数 ）条对称轴。
8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。
1用字母表示为：d＝2r r ＝2d
用文字表示为：半径=直径÷2 直径=半径×2
例：画一个直径4厘米的圆，那么圆规两脚间的距离应该是（ 2 ）厘米。
9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
10．圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
例：圆的周长是它的直径的（ 3 ）倍多一些，这个倍数是一个固定的数，我们把它叫（ 圆周率 ），常用字母（ π ）表示。它是一个（ 无限不循环 ）小数，取两位小数是（ 3.14 ）。
11．圆的周长公式：C=πd 或C=2r
圆周长=×直径 圆周长=×半径×2
例：一个圆形养鱼池，直径是4米，这个鱼池的周长是多少米？
解：C=πd=4米×π=4π米
答：这个鱼池的周长是4π米。
12．圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。
13．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（r）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积= r×r。圆的面积公式：Ｓ＝ｒ²。
例：把一个圆平均分成若干份，可以拼成一个近似于长方形。长方形的长相当于圆（ 周长的一半 ），宽相当于圆的（ 半径 ），所以圆的面积S=（ ｒ² ）。
14．圆的面积公式：Ｓ＝ｒ² 或者S=（d2）² 或者S=（C 2）²
例：一个半圆形池塘，它的直径是4米，求它的面积。
解：S=（d2）²÷2
=2π㎡
答：面积是2π平方米
15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
例：边长为4厘米的正方形中画一个最大的圆，这个圆的面积是（ 4π ）厘米。
216．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
例：在一个长8厘米、宽5厘米的长方形纸板上剪一个最大的圆，圆的面积是（ 6.25π ）平方厘米。
17．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是S=R²－ｒ² 或 S=（R²－ｒ²）。（其中R＝r＋环的宽度．）
例：在一个直径是2米的圆形水池四周修一条宽1米的石子路，石子路的面积是多少？
解：r=2米÷2=1米 R=1米＋1米=2米
S=R²－ｒ²
=（2²-1²）㎡
=3π㎡
答：石子路的面积是3π㎡。
18．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。
半圆的周长公式：Ｃ＝d2＋d 或 Ｃ＝r＋2r
圆周长的一半=r
例：半圆的周长就是用圆的周长除以2。（ × ）
19．半圆面积＝圆的面积2 公式为：Ｓ＝ｒ²2
例：一个半径为20米的舞台，面积是多少？
解：S=πｒ² ÷2
=π×20×20÷2
=200π㎡
答：舞台的面积是200π㎡。
20．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。
例：在同一个圆里，半径扩大4倍，那么直径和周长就都扩大（ 4 ）倍，而面积扩大（ 16 ）倍。
21．两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。
例如：两个圆的半径比是2：3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2：3，而面积比是4：9。
22．圆周长和直径的比是：1，比值是；
圆周长和半径的比是2：1，比值是2；
例：已知一个圆形跑到的周长是1256米，求该圆的直径和半径。
解:d=c÷π=1256÷3.14=400米
r=c÷2π=200米
答：圆的直径和周长分别是400米和200米。
23．当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加2ａ厘米；
当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加ａ厘米。
例：一个半径为3米的圆，半径增加1米，周长增加多少米？
解：C1 =2πr=6π 米
C2 =2πr=8π 米
增加量：C2- C1=8π-6π=2π 米
答：周长增加了2π米。
24．在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。
25．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。
n26．扇形弧长公式： 扇形的面积公式： S=360ｒ² （n为扇形的圆心角度数，r
为扇形所在圆的半径）
例：一个圆心角是90°的扇形，半径是4厘米，面积是多少？
解：90°÷360°×πr²=4π 平方厘米
答：面积是4π平方厘米。
27．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
28． 有一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
有2条对称轴的图形是：长方形
有3条对称轴的图形是：等边三角形
有4条对称轴的图形是：正方形
有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。
29．直径所在的直线是圆的对称轴。
例：圆是（ 轴对称）图形，有（无数）条对称轴。半圆有（1）条对称轴。
第二单元 百分数应用题
（一）百分数的基本概念
1．百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。
百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，所以百分数不能带单位。
2．百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。
例如：25％的意义：表示一个数是另一个数的25％。
3．百分数通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。分子部分可为小数、整数，可以大于100，小于100或等于100。
例：初一八班有54人，某次体育测试，54人达标，那么初一八班体育达标率是多少？
解：54÷54×100%=100%
答：体育达标率为100%。
4．小数与百分数互化的规则：
把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；
把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
5．百分数与分数互化的规则：
把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数），再把小数化成百分数；
把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
2 5=（ 0.4 ）=( 40 )%
（二）百分数应用题
百分数应用题（一）
求增加百分之几？减少百分之几？
公式：增加百分之几=增加的部分÷单位1
减少百分之几=减少的部分÷单位1
例：1、45立方厘米的水结成冰后，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1；
先确定单位1是水，已经知道是45；增加的部分不知道，可以利用50减45求得5；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米
第二步：增加的部分：50—45=5立方厘米
第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
4、“减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同。
5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几”
“增长百分之几“等。
与减少百分之几相同的还有“少百分之几”“降低百分之几”“节约百分之几”等。
百分数应用题（二）
比一个数增加百分之几的数，比一个数减少百分之几的数。
例1、某小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年增加了25%，今年有多少名学生？
解题思路：单位1去年已经知道用乘法，增加用（1+25%）
算式：80×（1+25%）
2、某小学去年有80名学生，今年的学生人数比去年减少了25%，今年有多少名学生？
解题思路：单位1去年已经知道用乘法，减少用（1-25%）
算式：80×（1-25%）
3、某小学今年有100名学生，比去年增加了25%，去年有多少名学生？
解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用（1+25%）
算式：100÷（1+25%）
4、某小学今年有100名学生，比去年减少了25%，去年有多少名学生？
解题思路：单位1去年不知道用除法，增加用（1-25%）
算式：100÷（1-25%）
百分数应用题（三）列方程解百分数应用题
1、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，第一天比第二天多看20页，这本书一共有多少页？
解题思路：单位1一本书不知道，可以选用方程或除法来解答。
根据“第一天比第二天多看20页”可以知道第一天是多的，第二天是少的，第一天减去第二天等于多出的20页。
等量关系式：（第一天）—（第二天）=20页
方法1：解：设这本书一共有X页。
由“第一天看了全书的25%”可以知道第一天等于全书乘以25%，用X可以表示为25%X，由“第二天看了全书的20%”可以知道第二天等于全书乘以20%，用X可以表示为20%X.依据等量关系式“第一天—第二天=20页”
可以列方程为：25%X—20%X=20
方法2：“第一天比第二天多看20页”可以知道20页是第一天和第二天的差。要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。
列算式为：20÷(25%—20%)
2、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，两天共看了20页，这本书一共有多少页？
等量关系式：由“两天共看了20页”可以知道（第一天）+（等二天）=20页。
方程法：
解：设这本书共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。
方程列为：25%X+20%X=20
算术法：由“两天共看了20页”可以知道20页是第一天和第二天的和，要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。
列算式为：20÷(25%+20%)
3、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%，还剩20页，这本书一共有多少页？
等量关系式：（一本书）—（第一天）—（第二天）=20页
方程法：
解设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为20%X。
列方程为：X—25%X—20%X=20
算术法：
20÷（1- 25%- 20%）
4、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天比第一天多看10页，还剩20页，这本书一共有多少页？
方程法：
解：设这本书一共有X页，则第一天为25%X，第二天为（25%X+10）页。
列方程为：X—25%X—（25%X+10）=20
百分数应用题（四）
利息的计算
1.本金：存入银行的钱叫做本金。
2．利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息=本金×利率×时间
3．2008年10月9日以前国家规定，存款的利息要按20％的税率纳税。国债的利息不纳税。2008年10月9日以后免收利息税。所以如无特殊说明，就不在计算利息税。
4．利率：利息与本金的比值叫做利率。
5．银行存款税后利息的计算公式：税后利息＝利息×（１－20％）
6．国债利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间
7．本息：本金与利息的总和叫做本息。
8．应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额。
9．税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
10．应纳税额的计算：应纳税额＝各种收入×税率
例如：李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期时，李老师的本金和利息共有多少元？
解题思路：要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。
解题步骤：第一步：根据“利息＝本金×利率×时间”算利息
利息：2000×4.14%×5=414元
第二步：本金+利息：2000+414=2414元。
例如：李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率按4.14%计算，到期时，李老师的本金和利息共有多少元？（如果利息按20%来上税）
解题思路：要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。
解题步骤：第一步：根据“利息＝本金×利率×时间”算利息
利息：2000×4.14%×5=414元
第二步：算税后利息：414×（1—20%）=331.2元
本金+利息：2000+331.2=2331.2元。
第三章 图形的变换
1、 图形变换的三种方法：
第一种平移：要说明向什么方向（上、下、左、右）平移几个单位。
第二种旋转：要说明绕哪个点，顺时针还是逆时针，旋转多少度（90度、180度、270度）
第三种作对称图形：要说明是关于哪条直线作哪个图形的对称图形。
2、比赛场次、握手次数的计算
第一步：首先要算出有多少个人（或多少支队伍）进行比赛。有多少个人进行握手。
第二步：计算比赛场次、握手次数。
例如：如果是5人，从1加到4，如果是6人，从1加到5，如果是8人，从1加到7，如果是100人，从1加到99.
3、计算起跑线。
例如：第一道的弯道半径是36米，每个道的跑道宽度是1.2米
那么：第二道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度=36+1.2。
第三道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2
第四道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2+1.2
第五道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2+1.2+1.2
不同的两个道的起跑点相差多少米的算法：
第一步：先算出要跑几圈。
第二步：计算出两个半圆性跑道所构成的圆的周长。
第三步：有两个道的圆周长相减，就得出了在两个道种跑一圈的起点相差多少米。第四步：用这个相差数×要跑的圈数。
第四章 比的认识
（一）比的基本概念
1． 两个数相除又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
2． 比值通常用分数、小数和整数表示。
3． 比的后项不能为0。
4． 同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；
5． 根据分数与除法的关系，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数的值。
6．比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0除外），比值不变。
（二）求比值
求比值：用比的前项除以比的后项
例如：36分：1小时=0.6 8立方分米：2立方分米=4
（三）化简比
化简比：用比的前项除以比的后项求出分数的比值后，在把分数比值改成比。
例如：12 : 16=3:4
（四）比的应用
1、比的第一种应用：
已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或这几个数量是多少？
例如：六年级有60人，男女生的人数比是5：7，男女生各有多少人？
题目解析：60人就是男女生人数的和。
解题思路：第一步求每份：60÷（5+7）=5人
第二步求男女生：男生：5×5=25人 女生：5×7=35人。
2、比的第二种应用：
已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？
例如：六年级有男生25人，男女生的比是5：7，求女生有多少人？全班共有多少人？
题目解析：“男生25人”就是其中的一个数量。
解题思路：第一步求每份：25÷5=5人
第二步求女生： 女生：5×7=35人。 全班：25+35=60人
3、比的第三种应用：
已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或这几个数量是多少？
例如：六年级的男生比女生多20人（或女生比男生少20人），男女生的比是7：5，男女生各有多少人？全班共有多少人？
题目解析：“男生比女生多20人”就是两个量的差。
解题思路：第一步求每份：20÷（7-5）=10人
第二步求男生、女生、全班总人数：女生：10×5=50人，
男生：10×7=70人，全班：50＋70=120人
要求量份数4、要求量=已知量×已知量份数
5、比在几何里的运用：
（1）已知长方形的周长，长和宽的比是ａ：ｂ。求长和宽、面积。
ab长=周长÷2×ab 宽=周长÷2×ab 面积＝长×宽
（2）已知已知长方体的棱长和，长、宽、高的比是ａ：ｂ：ｃ。求长、宽、高、体积
ab长=周长÷４×abc 宽=周长÷４×abc
c高=周长÷４×abc 体积＝长×宽×高
（3）已知三角形三个角的比是ａ：ｂ：ｃ，求三个内角的度数。
三个角分别为：
abc180×abc 180×abc 180×abc
（4）已知三角形的周长，三条边的长度比是ａ：ｂ：ｃ，求三条边的长度。
三条边分别为：
abc周长×abc 周长×abc 周长×abc
第五章 圆柱和圆锥
一、 面的旋转
1.“点、线、面、体”之间的关系是：
点的运动形成线；线的运动形成面；面的旋转形成体。
2.圆柱的特征：
（1）圆柱的两个底面是半径相等的两个圆。
（2）两个底面间的距离叫做圆柱的高。
（3）圆柱有无数条高，且高的长度都相等。
3.圆锥的特征：
（1）圆锥的底面是一个圆。
（2）圆锥的侧面是一个曲面。
（3）圆锥只有一条高。
二、 圆柱的表面积
1.沿圆柱的高剪开，圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形）。
（如果不是沿高剪开，有可能还会是平行四边形）
2.圆柱的侧面积＝底面周长×高，用字母表示为：S侧＝ch。
3.圆柱的侧面积公式的应用：
（1）已知底面周长和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝ch；
（2）已知底面直径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝dh；
（3）已知底面半径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝2rh
4.圆柱表面积的计算方法：如果用S侧表示一个圆柱的侧面积，S底表示底面积，d表示底面直径，r表示底面半径，h表示高，那么这个圆柱的表面积为：
S表=S侧+2S底
或S表=dh+d²/2
或S表=2rh+2r2
5.圆柱表面积的计算方法的特殊应用：
（1）圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积的，例如无盖水桶等圆柱形物体。
（2）圆柱的表面积只包括侧面积的，例如烟囱、油管等圆柱形物体。
三、 圆柱的体积
1. 圆柱的体积：一个圆柱所占空间的大小。
2. 圆柱的体积＝底面积×高。如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么
V＝Sh。
3. 圆柱体积公式的应用：
（1） 计算圆柱体积时，如果题中给出了底面积和高，可用公式：V＝Sh。
（2） 已知圆柱的底面半径和高，求体积，可用公式：V＝r2h；
（3） 已知圆柱的底面直径和高，求体积，可用公式：V＝(d/2)2h；
（4） 已知圆柱的底面周长和高，求体积，可用公式：V＝(C/2)2h；
圆柱形容器的容积＝底面积×高，用字母表示是V＝Sh。
5.圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同。
四、 圆锥的体积
1. 圆锥只有一条高。
2. 圆锥的体积＝1/3×底面积×高。
如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，则字母公式为：
V=1/3Sh
3. 圆锥体积公式的应用：
（1）求圆锥体积时，如果题中给出底面积和高这两个条件，
可以直接运用“v= 1/3 Sh”这一公式。
（2）求圆锥体积时，如果题中给出底面半径和高这两个条件，
可以运用1/3πr²h
（3）求圆锥体积时，如果题中给出底面直径和高这两个条件，
可以运用1/3π（d/2）²h
（4）求圆锥体积时，如果题中给出底面周长和高这两个条件，
可以运用1/3π（c/2π）²h
第六章 正比例和反比例
一、 变化的量
生活中存在着大量互相依存的变量，一种量变化，另一种量也随着变化。
二、 正比例
1. 正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为：y/x=k（一定）。
2. 应用正比例的意义判断两种量是否成正比例：有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例，例如：被减数与差，正方形的面积与边长等。
三、 画一画
正比例的图像是一条直线。
四、 反比例
1. 反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，反比例的关系式可以表示为：x·y=k（一定）。
2. 判断两个量是不是成反比例：要先想这两个量是不是相关联的量；再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定；最后作出结论。
例：A、B 、C 三种量的关系是: A×B ＝ C
（1）如果 A一定，那么 B和 C成（正）比例；
（2）如果 B一定，那么 A和C 成（正）比例；
（3）如果 C一定，那么 A和 B成（正）比例．
五、观察与探究
当两个变量成反比例关系时，所绘成的图像是一条光滑曲线。
六、图形的放缩
一幅图放大或缩小，只有按照相同的比来画，画的图才像。
七、比例尺
1. 比例尺：图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
比例尺=图上距离÷实际距离
图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺
例：在一幅地图上量得甲乙两地距离6厘米，乙丙两地距离8厘米；已知甲乙两地间的实际距离是120千米，乙丙两地间的实际距离是（ 160 ）千米；这幅地图的比例尺是（ 1:2000000 ）。
2. 比例尺的分类：比例尺根据实际距离是缩小还是扩大，分为缩小比例尺和放大比例尺。根据表现形式的不同，比例尺还可分为线段比例尺和数值比例尺。
例：一种微型零件的长5毫米，画在图纸上长20厘米，这幅图的比例尺是（40：1）。
3. 比例尺的应用：
（1）、已知比例尺和图上距离，求实际距离
比例尺=图上距离÷实际距离
图上距离=实际距离×比例尺
实际距离=图上距离÷比例尺
例如：在比例尺是1:4000000的地图上，图上距离1厘米表示实际距离（40）千米。也就是图上距离是实际距离的，实际距离是图上距离的（ 4000000）倍。
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