第 17 章 勾股定理
教课方案
教课方案思想：
勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的相关性质的基础长进行学习的， 它是直角三
角形的一条特别重要的性质， 是几何中最重要的定理之一， 它揭露了一个三角形三条边之间的数目关系， 它能够解决直角三角形中的计算问题， 是解直角三角形的主要依据之一， 在实 际生活顶用途很大。 教材在编写时注意培育学生的着手操作能力和剖析问题的能力， 际剖析、拼图等活动，使学生获取较为直观的印象；经过联系和比较，理解勾股定理，以利 于正确的进行运用。 关于勾股定理的逆定理， 教课中经过相应的绘图考证，
使该定理成为学
经过实
生经历研究活动后的必定结果。而后给出例题，指引学生先自己研究，而后同学互相沟通、商讨，最后师生一同规范作答。最后经过练习增强学生对逆定理的理解。
教课目的：
1．掌握勾股定理及其逆定理
2．经历研究和考证勾股定理的过程，发展对图形性质或数目关系猜想及查验的能力，领会拼图考证的合理性。
3．领会勾股定理逆定理的研究和证明过程。
4．能够运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实质问题。
教具准备：
多媒体，纸，剪刀 课时安排 3 课时
教课过程：第一课时：教课重难点：要点：勾股
定理
难点：勾股定理的考证
教课环节：
一、创建问题的情境，激发兴趣引入课题 经过介绍我国数学家华罗庚的建议
—— 向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系，
并说
明勾股定理是我国古代数学家于 2000 年前就发现了的，介绍我国古代在勾股定理研究方面的
贡献，叙述我国是最早认识勾股定理的国家之一，介绍商高（三千多年前周期的数学家） 在勾股定理方面的贡献。激发学生对勾股定理的兴趣和骄傲感，引入课题．
二、一同研究
1
第17章勾股定理教学设计(共3课时)
（出示投影），察看书中图
17— 3—1（ 1）答：
_______个小方格，面积为 ______个单位。
1．以 AC 为边的正方形中有
以 BC 正方形中有 _______个小方格，面积为 ______个单位。以 AB 正方形中有 _______个小方格，面积为 ______个单位。
这三个正方形的面积之间有如何的关系?
2．图 17— 3— 1（2）中，分别以 AC、 BC、AB 为边的三个正方形的面积之间有如何的关系？
3．你能说出正方形面积之间的等量关系反应了
写出来。
学生议论、沟通形成共鸣后，教师总结：
Rt△ABC 三边之间如何的关系吗？把它
以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。
直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：假如直角三角形的两直角边为
a，b，斜边为 c。
那么 a 2
b2 c 2 。
这就是有名的 “勾股定理 ”。
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，
的由来。
较长的为股， 斜边为弦， 这就是勾股定理
练一练：分别以 5 厘米和 12 厘米为直角边做出一个直角三角形，
生丈量后回答斜边长为
三、做一做
并丈量斜边的长度 （学
13），知足勾股定理吗？
1．该图是 2002 年 8 月在北京召开的国际数学大会的会标表示图， 取材于我国古代数学
著作《勾股圆方图》 ，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形。
（ 1）请你用四个以下图的直角三角形拼出上图所示的图形。
（ 2）借助你所拼出的图形的面积之间的关系，考证勾股定理
a 2 b2 c 2
2
第17章勾股定理教学设计(共3课时)
学生活动：亲身着手，达成拼图，再经过面积关系，推演出勾股定理的结论。
2．做一做，考证勾股定理 四、稳固练习
1．课后练习拼接并考证勾股定理。
2．求图所示（单位 mm）矩形部件上两孔中心 A 和 B 的距离（精准到 0.1mm）．
3．错例辨析：△ ABC 的两边为 3 和 4，求第三边 解：因为三角形的两边为
3、 4
因此它的第三边的 c 应知足 c 2
32 42 =25
即： c=5
辨析：（ 1）要用勾股定理解题，第一应具备直角三角形这个必不行少的条件，可此题
△ABC 并未说明它是不是直角三角形，因此用勾股定理就没有依照。
（ 2）若告诉 △ ABC 是直角三角形，第三边
C 也不必定是知足 a 2 b2 c2 ，题目中并
为交待 C 是斜边。
综上所述这个题目条件不足，第三边没法求得。
五、作业
课本习题 152 页 1， 2， 3
六、板书
勾股定理
一同研究
勾股定理
图
做一做 练习
a 2 b2
c 2
3
第17章勾股定理教学设计(共3课时)
第二课时
教课目的：
知识与技术：
能运用勾股定理及直角三角形的鉴别条件
（即勾股定理的逆定理） 解决简单的实质问题。
过程与方法：
在解决实质问题的过程中， 进一步培育从 “形 ”到“数 ”和从 “数”到 “形 ”的转变， 发辗转变、推理能力。
感情态度价值观：
经过研究勾股定理的历史， 认识中华民族文化的发展对数学发展的贡献， 激发爱国热忱和学习数学的兴趣。
教课重难点：
要点：利用勾股定理及逆定理，解决实质问题
.
利用勾股定理及逆定理， 解决实质问题 .
难点：利用数学中的建模思想结构直角三角形，
教课方法：
研究学习、合作学习
教课器具
多媒体
教课过程：
一、创建问题情境，引入新课
师：我们学习了勾股定理和直角三角形的鉴别条件（即勾股定理逆定理）
下.
.一同回想一
生：勾股定理：假如直角三角形两直角边是 直角三角形鉴别条件（即勾股定理逆定理）
a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形 .
师：我们知道这两个定理特别重要
a， b，斜边为 c，则 a2+b2=c2.
： a， b， c 是一个三角形的三条边，假如
.而之因此重假如因为它们是联系数学中最基本也是
最原始的两个对象 —— 数和形 .由直角三角形的 “形 ”，可获取三边关系的 “数 ”；反过来， 由三 角形三边关系这个 “数”，也可获取直角三角形这个 “形”更.为重要的是， 用它们能解决生活中 的实质问题 .
比如：欲登 12 米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物
的梯子？
5 米，起码需多长
4
第17章勾股定理教学设计(共3课时)
因此起码需 13 米长的梯子 .
师：不言而喻，勾股定理及其逆定理，应用十分宽泛
.下边我们再来看一个例子 .
二、解说新课
例 1 以下图，为了测得湖两岸点 A 和点 C 间的距离，一个观察者在点 B 建立了一根标杆，使∠ ACB=90°。测得 AB =200m，BC=160 m。依据丈量结果，求点 A、 C 间的距离。
剖析：它对应的数学识题是什么？
例 2 爬山运动员在山顶一平展处直立起一面会旗， 旗杆被系在 A 处的三条等长的铁索
ABC=∠ ABD =∠ABE=90°，
拉近紧，并分别固定在地面的 C， D， E 处，以下图。假如∠
那么 BC， BD ， BE 这三条线段的长度有如何的关系？
剖析：（ 1）线段 BC， BD， BE 分别在哪些三角形中？这些三角形是直角三角形吗？
（ 2）这些直角三角形的边之间有如何的关系？
（ 3）能由已知推出 BC， BD ，BE 长度之间的关系吗？
三、一同研究
工人在制作铝合金窗框时，为保证窗框的四个角都是直角，有时采纳以下的方法：
5
第17章勾股定理教学设计(共3课时)
如图，先亮出框 AB，BC 的长，再量出两点
A， C 的距离，由此判断∠ B 能否直角。
1．判断∠ B 能否直角的依照是什么？
2．假如 AB=1.2m，BC=0.9m，那么，只有当点 A，C 的距离为多少时， ∠ B 才是直角呢？
指引学生思虑： （ 1）这个实质问题能够归纳为一个什么样的数学识题？
（ 2）你想如何解决这个数学识题？
（ 3）由数学识题的解决如何解说实质问题？四、试一试
在我国古代数学著作 《九章算术》中记录了一道风趣的问题，
个水池，水面是一个边长为 根芦苇的长度各为多少？
尺.假如把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰巧抵达岸边的水面
这个问题的意思是： 有一
1
10 尺的正方形 .在水池正中央有一根重生的芦苇，它超出水面
.请问这个水池的深度和这
（这是一道我国古代数学著作中记录的一个风趣的问题， 让学生在全班对这个问题进行议论，从中进一步认识勾股定理的悠长历史和宽泛应用，认识我国古代人民的聪慧才华）
师生共析：我们能够将这个实质问题转变成数学模型
.
解：如图，
6
第17章勾股定理教学设计(共3课时)
设水深为 x 尺，则芦苇长为（ x+1）尺，由勾股定理可求得
（ x+1） 2=x2+52， x2+2x+1=x2+25
解得 x=12
则水池的深度为 12 尺，芦苇长 13 尺。
五、小结
这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实质问题
. 我们从中能够发
现用数学知识解决这些实质问题，更加重要的是将它们转变成数学模型。
六、练习
1．课后习题
2．举出生活中的一些实例，并用勾股定理解决它 3．采集勾股定理的历史
.
.
七、作业
习题 153 页
1，2，3
八、板书设计
勾股定理的应用
例 1
一同研究
试一试
例 2
方向、行程问题
转变
用勾股定理能解决的数学识题 .
勾股定理的灵巧应用 .
7
第17章勾股定理教学设计(共3课时)
第三课时
教课重难点：
要点：研究并掌握勾股定理的逆定理。难点：用勾股定理的逆定理辨别直角三角形。
教课环节：
一、引入
回答：什么是勾股定理？
在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
那么反过来，我们就会想，在一个三角形中，假如有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形必定是直角三角形吗？
二、一同研究
1．小活动：以四人为小组，取出准备好的
12 根火柴棒，随意摆出一个三角形，看你能摆出几种不一样性质的三角形。
学生着手操作，共摆出
3 种，边长分别是： 2， 5， 5； 3， 4， 5； 4， 4， 4
思虑：假如火柴的长度为
1，那么
（ 1）图中哪个三角形的三边拥有
“两边的平方和等于第三边的平方
”的关系？
（ 2）此中哪个三角形是直角三角形？
（ 3）请你用量角器进行胸怀，考证你的判断。
2．小活动：
（ 1）画一个三角形，使它的边长分别为
5cm， 12cm， 13cm。
（ 2）边长 5， 12， 13 之间有如何的关系？（ 52 122
132 ）
（ 2）用量角器胸怀这个三角形内角，它是什么三角形？（直角三角形）
思虑：经过以上我们的试验， 我们可否知道如何由边的关系辨别一个三角形为直角三角形呢？
8
第17章勾股定理教学设计(共3课时)
结论：假如三角形的三边长
a、 b、c 知足 a2＋ b2＝ c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
3， 4， 5； 5， 12， 13
知足 a2＋b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数。如
大家能够想这样的勾股数是好多的。
三、例题解说
例
如图，是一个机器部件表示图，∠ ACD =90°是这类部件合格的一项指标。现测得
AB=4cm， BC=3cm， CD=12cm， AD=13cm，∠ ABC=90 °，依据这些条件，可否知道∠ ACD 等于 90°？
D
A
B
C
四、稳固练习
1．课后练习 1， 2
2． △ABC 中，∠ C＝ 90°，∠ B＝ 30°，AC＝1，以 BC 为边的正方形面积为
3．三条线段 m、 n、 p 知足 m2 一 n2＝ p2，以这三条线段为边构成的三角形为
4．三角形的三边长分别为
（
）
A．直角三角形 C．锐角三角形 五、小结
a2＋ b2、 2ab、 a2－ b2（ a、b 都是正整数） ，则这个三角形是
B．钝角三角形
D ．不可以确立
如何辨别直角三角形？
六、作业
习题 157
2， 3， 4
七、板书设计
由边的数目关系辨别直角三角形
活动1
定理 例题 练习
活动 2
9
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