题型十三 几何图形探究题

类型一 图形变化问题 1．(2019·烟台)【问题探究】

(1)如图①，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD.

①请探究AD与BD之间的位置关系：__AD⊥BD__；

②若AC＝BC＝10，DC＝CE＝2，则线段AD的长为__4__； 【拓展延伸】

(2)如图②，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝21，BC＝7，CD＝3，CE＝1.将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α(0°≤α＜360°)，作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．

解：【拓展延伸】(2)若点D在BC右侧，如图①，过点C作CF⊥AD于点F，∵∠ACBACCD＝∠DCE＝90°，AC＝21，BC＝7，CD＝3，CE＝1.∴∠ACD＝∠BCE，＝3＝，

BCCE∴△ACD∽△BCE.∴∠ADC＝∠BEC，

∵CD＝3，CE＝1，∴DE＝DC2＋CE2＝2.∵∠ADC＝∠BEC，∠DCE＝∠CFD＝90°，∴△DCE∽△CFD，∴53AC2－CF2＝，

2

DEDCCE23133＝＝，即＝＝，∴CF＝，DF＝，∴AF＝DCCFDF223CFDF

∴AD＝DF＋AF＝33，如图②，若点D在BC左侧，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝ACCD

21，BC＝7，CD＝3，CE＝1.∴∠ACD＝∠BCE，＝3＝，∴△ACD∽△BCE，

BCCE∴∠ADC＝∠BEC，∴∠CED＝∠CDF，∵CD＝3，CE＝1.∴DE＝DC2＋CE2＝2，∵∠

DEDCCE23

CED＝∠CDF，∠DCE＝∠CFD＝90°，∴△DCE∽△CFD，∴＝＝，即＝＝

DCCFDF3CF13353.∴CF＝，DF＝，∴AF＝AC2－CF2＝，∴AD＝AF－DF＝23. DF222

2．(2019·益阳)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．

(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；

21

(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；

2(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．

解：(1)如图，过点C作CE⊥y轴于点E，∵矩形ABCD中，CD⊥AD，∴∠CDE＋∠ADO＝90°，又∵∠OAD＋∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠OAD＝30°，

1

∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝CD2－CE2＝23，在Rt△OAD中，∠OAD

21

＝30°，∴OD＝AD＝3，∴点C的坐标为(2，3＋23)；

2

(2)∵M为AD的中点，∴DM＝3，S△DCM＝6，又S四边形OMCD＝

219

，∴S△ODM＝，∴S22

122

＝9，设OA＝x，OD＝y，则x＋y＝36，xy＝9，∴x2＋y2＝2xy，即x＝y，将x＝y△OAD2代入x2＋y2＝36得x2＝18，解得x＝32(负值舍去)，∴OA＝32；

(3)OC的最大值为8，∴cos∠OAD＝

5

. 5

类型二 几何图形中的动点问题

1

1．(2018·抚顺)如图，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D，∠FAC＝∠ABC，且

2∠FAC在AC下方．点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE.

(1)若∠ABC＝60°，BP＝AQ.

①如图①，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；

②如图②，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；

(2)若∠ABC＝2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示)．

1

解：(1)①DE＝AQ，DE∥AQ，理由：如图①，连接PC，PQ，在△ABC中，AB＝AC，

2∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC，∵AB＝BC，BD⊥AC，11

∴AD＝CD，∠ABD＝∠CBD＝∠BAC，∵∠CAF＝∠ABC，

22

∴∠CBP＝∠CAQ，在△BPC和△AQC中， BC＝AC，



∠CBP＝∠CAQ，∴△BPC≌△AQC(SAS)，∴PC＝QC，∠BCP＝∠ACQ，∴∠PCQBP＝AQ，

＝∠PCA＋∠ACQ＝∠PCA＋∠BCP＝∠ACB＝60°，∴△PCQ是等边三角形，∵PE⊥CQ，11

∴CE＝QE，∵AD＝CD，∴DE＝AQ，DE∥AQ；②DE∥AQ，DE＝AQ，理由：如图②，

221

连接PQ，PC，同①的方法得出DE∥AQ，DE＝AQ；

2

(2)AQ＝2BP·sinα.

2．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC是边长为2的等边三角形，

E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF.

(1)如图①，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明；

7

(2)当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为3，求

4AE的长；

(3)如图②，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探究△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系，并说明理由；

(4)如图②，当△ECD的面积S1＝

3

时，求AE的长． 6

解：(1)△ABE≌△CBF.

证明：∵△ABC，△BEF都是等边三角形， ∴BA＝BC，BE＝BF，∠ABC＝∠EBF， ∴∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△CBF(SAS)； 3

(2)AE＝；

2

(3)结论：S2－S1＝3.理由：如图，

∵△ABC，△BEF都是等边三角形，∴BA＝BC，BE＝BF，∠ABC＝∠EBF，∴∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△CBF，∴S△ABE＝S△BCF，∵S△BCF－S△BCE＝S2－S1，∴S2－S1＝S△

ABE－S△BCE＝S△ABC＝

3；

373，∴S△BDF＝，∵△ABE≌△CBF，66

(4)由(3)可知：S△BDF－S△ECD＝3，∵S△ECD＝∴AE＝CF，∠BAE＝∠BCF＝60°，∴∠ABC＝∠DCB，∴CF∥AB，则△BDF的DF边上771

的高为3，可得DF＝，设CE＝x，则2＋x＝CD＋DF＝CD＋，∴CD＝x－，∵CD∥

3331x－3CDCEx2

AB，∴＝，即＝，化简得：3x2－x－2＝0，解得：x＝1或x＝－(舍去)，

ABAE2x＋23∴CE＝1，AE＝3.

类型三 静态几何图形综合探究 1．(2019·铁岭)如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E(点E与点C不重合)．点F为AC上一点，G为AB上一点(点G与点A不重合)，且∠GEF＋∠BAC＝180°.

(1)如图①，当∠B＝45°时，线段AG和CF的数量关系是__相等__； (2)如图②，当∠B＝30°时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明；

3

(3)若AB＝6，DG＝1，cos B＝，请直接写出CF的长．

4

解：

1

(2)AG＝CF，理由：连接AE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∵

2DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°，∴∠CAE＝90°，∠BAE＝∠C，∵∠GEF＋∠BAC＝180°，∴∠AGE＋∠AFE＝180°，∴∠AGE＝∠CFE，∴△AGE∽△CFE，AGAEAE1AG11∴＝，在Rt△ACE中，∵∠C＝30°，∴＝sinC＝，∴＝，∴AG＝CF；(3)CFCFCECE2CF22＝2.5或5.

2．在Rt△ABC中，AC＝BC＝82，点D是边AB的中点，连接CD，点E是边BC所在直线上任意一点，连接DE，以DE为边在DE的左侧作正方形DEFG，连接CF.

1

(1)如图①，当点E在线段BC上且CE＜BC时，请直接写出线段CD，CF，CE之间

2的数量关系__CD－CF＝2CE__；

(2)如图②，当点E在线段BC的延长线上时，(1)中的结论是否成立；若成立，请证明；若不成立，请写出新结论，并证明；

(3)当正方形DEFG的边长为52时，直接写出CE的长．

解：(2)不成立，CF－CD＝2CE.证明：如图，过点E作EH⊥CE交DC的延长线于点H，

1

∴∠CEH＝90°，∴∠2＋∠H＝90°，∵AC＝BC，点D是AB的中点，∴∠1＝∠ACB

2＝45°，∴∠2＝∠1＝45°，∴∠H＝90°－∠2＝45°，∴CE＝HE，∵四边形DEFG是正方形，∴ED＝EF，∠DEF＝90°，∵∠CEH＝90°，∴∠CEH＝∠DEF＝90°，∴∠CEH＋∠3＝∠DEF＋∠3，即∠DEH＝∠FEC，∴△DEH≌△FEC(SAS)，∴DH＝CF，∵在Rt△CEH中，∠2＝45°，CH＝

CECE

＝＝2CE，∵CH＝DH－CD，∴CF－CD＝2CE； cos∠2cos45°

(3)CE＝2或72.

3．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连接BD，点E是线段BD延长线上一点，连接AE，CE，使∠CAE＝∠CBE，过点C作CF⊥CE，交BD于点F.

(1)①如图①，当∠ABC＝45°时，线段AE与BF之间的数量关系是__BF＝AE__；

②如图②，当∠ABC＝60°时，线段AE与BF之间的数量关系是__AE＝3BF__； (2)如图③，当∠ABC＝30°时，线段AE与BF之间具有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图④，当∠ABC＝α(0°＜α＜90°)时，直接写出线段AE与BF之间的数量关系．(用含α的式子表示)

解：(2)结论：AE＝

3

BF.理由：∵∠BCA＝∠FCE＝90°，∴∠BCF＝∠ACE，∵∠CAE3

AEACAC3＝，∵∠ABC＝30°，∴tan30°＝＝，∴AEBFBCBC3

＝∠CBF，∴△BCF∽△ACE，∴＝3

BF； 3

(3)结论：AE＝BF·tanα.理由：∵∠BCA＝∠FCE＝90°，∴∠BCF＝∠ACE，∵∠CAE＝∠CBF，∴△BCF∽△ACE，∴α.

AEACAC

＝，∵∠ABC＝α，∴tanα＝，∴AE＝BF·tanBFBCBC