反比例函数
一、选择题
1．下列式子中表示y是x的反比例函数的是（ ） A．y=2x﹣3 B．xy=5 C．y=
D．y=
x
的图象位于（ ）
2．已知点（2，﹣6）在函数y=kx的图象上，则y=
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第一、三象限 3．函数A．x≠3
中，自变量x的取值范围是（ ） B．x≠﹣3 C．x＞3 D．x＞﹣3
的图象的一个交点坐标为（2，4），则它们的
4．如图，直线y=2x与双曲线y=另一个交点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（﹣4，﹣2） D．（2，﹣4）
5．已知k＞0，则函数y=kx，y=﹣的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．已知某村今年的荔枝总产量是p吨（p是常数），设该村荔枝的人均产量为y（吨），人口总数为x（人），则y与x之间的函数图象是（ ）
A．
B． C．
1
D．
7．若反比例函数y=（ ） A．（﹣2，﹣1）
的图象经过点（﹣1，2），则这个函数的图象一定经过点
B．（﹣，2） C．（2，﹣1） D．（，2）
8．在反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1
＞x2＞0，则y1﹣y2的值为（ ） A．正数
B．负数
C．非正数 D．非负数
的图象上关于原点O点对称的任意两点，AC垂直于
9．如图：A，B是函数y=
x轴于点C，BD垂直于y轴于点D，设四边形ADBC的面积为S，则（ ）
A．S=2 B．2＜S＜4 C．S=4 D．S＞4
10．若m＜0，则下列函数①y=（x＞0），②y=﹣mx+1，③y=mx，y的值随x的值的增大而增大的函数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题
11．对于函数y=，当x=12．若函数y=（m﹣1）13．反比例函数y=值范围是 ．
14．若反比例函数y=的图象在一、三象限，则一次函数y=kx﹣k的图象不过第 象限．
15．已知点P在反比例函数y=轴的对称点是 ．
2
时，y= ．
是反比例函数，则m的值等于 ．
，当x＞0时，y的值随x的值的增大而减小，则m的取
的图象上，且点P的纵坐标是3，则P点关于x
三、解答题：
16．请你举出一个生活中能用反比例函数关系描述的实例，写出其函数表达式，并画出函数图象． 举例： 函数表达式：
17．已知如图，反比例函数y=﹣的图象上有一点A（﹣2，■），它的纵坐标被墨水污染了，根据题意，解答下列问题． （1）求出点A的坐标；
（2）过A作AB垂直于x轴，垂足为B，求△AOB的面积．
18．已知函数y=和y=kx+1（k≠0）．
（1）若这两个函数的图象都经过点（1，a），求a和k的值； （2）当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点．
3
19．如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=B（3，m）两点，
（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积．
的图象交于A（1，4），
20．如图，直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于点A、B，点C（1，a）是直线与双曲线y=
的一个交点，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，且△BCD的面积为1．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若在y轴上有一点E，使得以E、A、B为顶点的三角形与△BCD相似，求点E的坐标．
4
答案解析
一、选择题：
1．下列式子中表示y是x的反比例函数的是（ ） A．y=2x﹣3 B．xy=5 C．y=【考点】反比例函数．
【分析】根据反比例函数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、y=2x﹣3是一次函数，故本选项错误； B、xy=5是反比例函数，故本选项正确； C、y=D、y=
不是函数，故本选项错误； x是正比例函数，故本选项错误．
D．y=
x
故选B．
【点评】本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如y=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数是解答此题的关键．
2．已知点（2，﹣6）在函数y=kx的图象上，则y=
的图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第一、三象限 【考点】反比例函数的性质．
【分析】首先将已知点代入正比例函数的解析式求得k值，然后判断﹣k的符号，从而根据反比例函数的性质确定其图象经过的象限． 【解答】解：∵点（2，﹣6）在函数y=kx的图象上， ∴2k=﹣6， 解得：k=﹣3， ∴﹣k=3＞0， ∴y=
的图象位于一三象限，
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是能够利用待定系数法确定
5
正比例函数的解析式，难度不大． 3．函数A．x≠3
中，自变量x的取值范围是（ ） B．x≠﹣3 C．x＞3 D．x＞﹣3
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据分式有意义的条件，列不等式求解． 【解答】解：根据分式有意义的条件，得x﹣3≠0， 解得x≠3， 故选A．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围．涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0．
4．如图，直线y=2x与双曲线y=另一个交点坐标是（ ）
的图象的一个交点坐标为（2，4），则它们的
A．（﹣2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（﹣4，﹣2） D．（2，﹣4）
【考点】反比例函数图象的特点． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：由于反比例函数是中心对称图形，所以正比例函数y=2x与反比例函数y=
的两交点A、B关于原点对称．又因为点（2，4）关于原点对称点的坐
标为（﹣2，﹣4）． 故选A．
【点评】本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．
6
5．已知k＞0，则函数y=kx，y=﹣
的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数图象的特点．
【分析】根据反比例函数和正比例函数的性质结合比例系数的符号确定图象即可． 【解答】解：当k＞0时，﹣k＜0， 故函数y=kx的图象位于一三象限，y=﹣故选C．
【点评】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的交点问题，在解题时要注意图象在那个象限内，是解题的关键．
6．已知某村今年的荔枝总产量是p吨（p是常数），设该村荔枝的人均产量为y（吨），人口总数为x（人），则y与x之间的函数图象是（ ）
的图象位于二、四象限，
A． B． C． D．
【考点】反比例函数与一次函数的综合应用． 【专题】应用题；压轴题．
【分析】根据题意有：xy=p；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x y实际意义x、y应＞0，其图象在第一象限；故可以判断． 【解答】解：∵xy=p（p是常数） ∴y=
（x＞0，y＞0）
故选：D．
【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是
7
确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
7．若反比例函数y=（ ） A．（﹣2，﹣1）
B．（﹣
，2） C．（2，﹣1） D．（
，2）
的图象经过点（﹣1，2），则这个函数的图象一定经过点
【考点】反比例函数图象的特点． 【分析】将（﹣1，2）代入y=【解答】解：∵反比例函数y=
即可求出k的值，再根据k=xy解答即可． 的图象经过点（﹣1，2），
∴k=﹣1×2=﹣2，只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣2的，就在此函数图象上；
四个选项中只有C：2×（﹣1）=﹣2符合． 故选C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
8．在反比例函数y=
（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1
＞x2＞0，则y1﹣y2的值为（ ） A．正数
B．负数
C．非正数 D．非负数
【考点】反比例函数的性质．
【分析】先根据k＜0、x1＞x2＞0判断出反比例函数所在的象限，再根据反比例函数的性质判断出y1、y2的大小． 【解答】解：因为k＜0．
所以图象分别位于第二、四象限，
又因为在每个象限内y随x的增大而增大，x1＞x2＞0， 故y1＞y2，
所以y1﹣y2的值为正数． 故选A．
【点评】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同
8
学们应重点掌握．
9．如图：A，B是函数y=
的图象上关于原点O点对称的任意两点，AC垂直于
x轴于点C，BD垂直于y轴于点D，设四边形ADBC的面积为S，则（ ）
A．S=2 B．2＜S＜4 C．S=4 D．S＞4 【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S=|k|可知，S△AOC=S△BOD=的对称性可知，O为DC中点，则S△AOD=S△AOC=求出四边形ADBC的面积． 【解答】解：∵A，B是函数y=
的图象上关于原点O对称的任意两点，且AC
|k|，再根据反比例函数
|k|，进而
|k|，S△BOC=S△BOD=
垂直于x轴于点C，BD垂直于y轴于点D， ∴S△AOC=S△BOD=×2=1，
假设A点坐标为（x，y），则B点坐标为（﹣x，﹣y）， 则OC=OD=x，
∴S△AOD=S△AOC=1，S△BOC=S△BOD=1，
∴四边形ADBC面积=S△AOD+S△AOC+S△BOC+S△BOD=4． 故选C．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
9
10．若m＜0，则下列函数①y=（x＞0），②y=﹣mx+1，③y=mx，y的值随x的值的增大而增大的函数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质，将m的取值范围代入函数关系式，由函数系数判断出增减性．
【解答】解：①当m＜0时，反比例函数y=（x＞0）的图象在第四象限内y随x的增大而增大，故正确；
②当m＜0时，﹣m＞0，则一次函数y=﹣mx+1的图象是y随x的增大而增大，故正确；
③当当m＜0时，正比例函数y=mx的图象是y随x的增大而减小，故错误； 综上所述，正确的结论有2个． 故选：C．
【点评】本题考查了一次函数、正比例函数以及反比例函数图象的性质．解题时，需要掌握函数解析式中系数与图象增碱性的关系．
二、填空题
11．对于函数y=，当x=【考点】反比例函数． 【分析】直接把x=【解答】解：当x=
代入函数y=时，y=
求出y的值即可．
时，y= 8 ．
=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
12．若函数y=（m﹣1）【考点】反比例函数．
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是反比例函数，则m的值等于 ﹣1 ．
【分析】根据反比例函数的定义先求出m的值，再根据系数不为0进行取舍． 【解答】解：∵y=（m﹣1）∴m2﹣2=﹣1，m﹣1≠0， ∴m=﹣1． 故答案为﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y=kx﹣1（k≠0）的形式．
13．反比例函数y=
，当x＞0时，y的值随x的值的增大而减小，则m的取
（k≠0）转化为
是反比例函数，
值范围是 m＞﹣1 ． 【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵反比例函数y=∴m+1＞0， 解得m＞﹣1． 故答案为：m＞﹣1．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而减小．
14．若反比例函数y=的图象在一、三象限，则一次函数y=kx﹣k的图象不过第 二 象限．
【考点】反比例函数的性质． 【专题】压轴题．
【分析】由题可知k＞0，则﹣k＜0，所以一次函数y=kx﹣k的图象不过第二象限． 【解答】解：∵反比例函数y=∴k＞0． ∴﹣k＜0．
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，当x＞0时，y的值随x的值的增大而减小，
的图象在一、三象限，
∴一次函数y=kx﹣k的图象不过第二象限． 【点评】对于反比例函数
（k≠0），（1）k＞0，反比例函数在一、三象限；
（2）k＜0，反比例函数在第二、四象限内．
15．已知点P在反比例函数y=
的图象上，且点P的纵坐标是3，则P点关于x
轴的对称点是 （2，﹣3） ． 【考点】反比例函数图象的特点．
【分析】先求出P点坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特点即可得出结论． 【解答】解：∵点P在反比例函数y=∴P（2，3），
∴P点关于x轴的对称点是（2，﹣3）． 故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
三、解答题：
16．请你举出一个生活中能用反比例函数关系描述的实例，写出其函数表达式，并画出函数图象． 举例： 函数表达式：
的图象上，且点P的纵坐标是3，
【考点】反比例函数在实际问题中的应用． 【专题】开放型．
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【分析】只要是生活中符合反比例函数关系的实例均可．本题是开放性习题，可以先列出一个反比例函数，再赋予它实际意义．
【解答】解：举例：要编织一块面积为2米2的矩形地毯，地毯的长x（米）与宽y（米）之间的函数关系式为y=
（x＞0）．
评分说明：①举出例子（4分），写出关系式得（2分），作出图形得（2分）． x y … … 1 2 2 1 … … 4 ②作图如不符合自变量的取值范围得（1分）．
【点评】主要考查了反比例函数的应用．要充分理解反比例函数的意义，知道生活中一些常用的公式，如电流，压强，速度等，知道它们与各个量之间的关系．
17．已知如图，反比例函数y=﹣的图象上有一点A（﹣2，■），它的纵坐标被墨水污染了，根据题意，解答下列问题． （1）求出点A的坐标；
（2）过A作AB垂直于x轴，垂足为B，求△AOB的面积．
【考点】；反比例函数系数k的几何意义．
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【分析】（1）把x=﹣2代入反比例函数y=﹣，求出y的值即可；
（2）根据A点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：（1）∵当x=﹣2时，y=﹣∴A（﹣2，3）；
=3，
（2）∵A（﹣2，3）， ∴S△AOB=
OB•AB=
×2×3=3．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
18．已知函数y=和y=kx+1（k≠0）．
（1）若这两个函数的图象都经过点（1，a），求a和k的值； （2）当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点． 【考点】反比例函数与一次函数的综合应用． 【专题】计算题．
【分析】（1）因为这两个函数的图象都经过点（1，a），所以x=1，y=a是方程组
的解，代入可得a和k的值；
（2）要使这两个函数的图象总有公共点，须方程组解，根据判别式△即可求出K的取值范围．
【解答】解：（1）∵两函数的图象都经过点（1，a）， ∴∴
有解，即有
． ．
（2）将y=代入y=kx+1，消去y．得kx2+x﹣2=0．
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∵k≠O，
∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可． ∴△=b2﹣4ac=1+8k≥0， 解得k≥﹣∴k≥﹣
；
且k≠0．
【点评】此题难度中等，考查了反比例函数、一次函数图象性质及一元二次方程判别式，综合性较强，同学们应熟练掌握．
19．如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=B（3，m）两点，
（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积．
的图象交于A（1，4），
【考点】反比例函数与一次函数的综合应用． 【专题】计算题．
【分析】（1）先把A点坐标代入y=
中计算出k2=4，从而得到反比例函数为y=
，再利用反比例函数解析式确定B（3，），然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）设直线y=﹣
x+
与x轴交于点C，如图，先确定C点坐标，然后根据三
角形面积公式，利用S△AOB=S△ACO﹣S△BOC进行计算即可． 【解答】解：（1）∵点A（1，4）在y=∴k2=1×4=4， ∴反比例函数为y=
，
的图象上，
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又∵B（3，m）在y=的图象上，
∴3m=4，解得m=， ∴B（3，
），
∵A（1，4）和B（3，）都在直线y=k1x+b上，
∴，解得，
∴一次函数解析式为y=﹣（2）设直线y=﹣当y=0时，﹣x+∴S△AOB=S△ACO﹣S△BOC ==
×4×4﹣×4×．
x+；
x+与x轴交于点C，如图，
=0，解得x=4，则C（4，0），
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了三角形面积公式和待定系数法求函数解析式．
20．如图，直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于点A、B，点C（1，a）是直线与双曲线y=
的一个交点，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，且△BCD的面积为1．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若在y轴上有一点E，使得以E、A、B为顶点的三角形与△BCD相似，求
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点E的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的综合应用． 【专题】综合题．
【分析】（1）直线y=kx+2与y轴交于B点，则OB=2；由C（1，a）及△BCD的面积为1可得BD=2，所以a=4，即C（1，4），分别代入两个函数关系式中求解析式；
（2）根据△BAE∽△BCD、△BEA∽△BCD两种情形求解． 【解答】解：（1）∵CD=1，△BCD的面积为1， ∴BD=2
∵直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴当x=0时，y=2， ∴点B坐标为（0，2）． ∴点D坐标为（O，4）， ∴a=4． ∴C（1，4）
∴所求的双曲线解析式为y=
．
（2）因为直线y=kx+2过C点， 所以有4=k+2，k=2， 直线解析式为y=2x+2．
∴点A坐标为（﹣1，0），B（0，2）， ∴AB=
，BC=
，
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当△BAE∽△BCD时，此时点E与点O重合，点E坐标为（O，0）； 当△BEA∽△BCD时，∴∴BE=∴OE=
， ， ，
）．
，
此时点E坐标为（0，﹣
综上：当E为（0.0）或（0．﹣）时△EAB与△BCD相似．
【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，关键是求交点C的坐标以及相似形中的分类讨论思想，搞清楚对应关系．
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